2017年宝山区高考数学一模试卷含答案
2017年上海市宝山区中学考试数学一模试卷(解析汇报版)
2017年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可【解答】解：∵∠A=30°，∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，∴AC=AB=，故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数【考点】二次函数的定义．【分析】找出二次函数的定义域即可．【解答】解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反【考点】*平面向量．【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．【解答】解：A、由=﹣3，得||=3||，故A错误；B、由=﹣3，得||=3||，||：||=3：1，故B错误；C、由=﹣3，得=﹣3方向相反，故C错误；D、由=﹣3，得=﹣3平行且方向相反，故D正确；故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选C．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到的结果．【解答】解：∵2a=3b，∴=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．故答案为1：16．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中AC是AD和AB的比例中项．【考点】比例线段．【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解：在△ACD与△ABC中，∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∴AC是AD和AB的比例中项．故答案为AC．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．【考点】解直角三角形．【分析】先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠CDA=90°，∴△BDC∽△CDA，∴CD2=BD•AD，∴CD=6，∴tanA==故答案为：11．计算：2（+3）﹣5=2+．【考点】*平面向量．【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．【解答】解：2（+3）﹣5=2+6﹣5=2+，故答案为：2+．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为8．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．【解答】解：延长AG交BC于D，∵G为△ABC的重心，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=BC=5，AD⊥BC，由勾股定理得，AD==12，∵G为△ABC的重心，∴AG=AD=8，故答案为：8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【解答】解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．故答案为y=5（x﹣2）2+2．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．【解答】解：∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，∴其对称轴为x==2故答案为：x=2．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1＞y2．（填不等号）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、B两点的坐标分别代入求出纵坐标，再进行判断．【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，∵﹣＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=1：2.4．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得：x=12，故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．故答案为：1：2.4．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵特征数为{1、﹣4、3}，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═6：5．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】先根据DE⊥AB，tanA═，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据△CFG∽△DFH，得到===即可．【解答】解：∵DE⊥AB，tanA═，∴DE=AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，∴BC=4，AB==4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE==5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE==5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．故答案为：6：5．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣+1=+﹣+1=++1．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．【考点】*平面向量．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．【解答】解：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．==，==．=﹣=﹣．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，∵PD⊥AB，DB⊥AB，∴四边形PDBE是矩形，∵BD=36m，∠EPB=45°，∴BE=PE=36m，∴AE=PE•tan30°=36×=12（m），∴AB=12+36（m）．答：建筑物AB的高为米．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点．【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．【解答】解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a=，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【分析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=AC=，得出BF=BC﹣FC=，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴，又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，∵AE：EC=2：1，∴AC=3，∴AB=BC=AC=，∴BF=BC﹣FC=，∴．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，∴0=16a+6+2，解得a=﹣，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；∴点C的坐标为（0，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC的函数解析式为：；（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D（m，﹣m2﹣m+2），过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，x1=0，x2=﹣3，∴点E的坐标为（﹣3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，∵BQ=2PB，∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，∴∠BQP=30°，这个显然不可能，∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，∴=，∴=，∴IC=﹣．2017年1月20日。
2018年上海市宝山区高考数学一模试卷和参考答案
ï ï 1 1 1 n2 2上海市宝山区 2017—2018 学年高三第一学期期末测试卷数学 2017.12考生注意:1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.2. 本试卷共有 23 道试题, 满分 150 分. 考试时间 20 分钟.一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. 设集合A ={2 ，3 ，4 ，12 }，B = {0 ，1 ，2 ，3 }, 则AI B = .2. l i m n 5n- 5n + 7 = .7n 3. 函数y = 2 cos 2(3px )- 1 的最小正周期为 . 4. 不等式x + 2 > x + 11 的解集为 .5. 若z = - 2 + 3i i, 则I m z = .（其中 i为虚数单位）6. 若从五个数- 1 ，0 ，1 ，2 ，3 中任选一个数m , 则使得函数f (x ) = 调递增的概率为. （结果用最简分数表示）(m 2- 1)x + 1 在R 上单7. 在( 3 + x 2x )n的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为 1024, 则常数项的值等于.8. 半径为 4 的圆内接三角形ABC 的面积是 1 16, 角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ,则a b c 的值为.9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点, 双曲线x - y = 1 的右焦点是C 的焦点F . 若斜率25 144为- 1 , 且过F 的直线与C 交于A ，B 两点, 则 AB = .10. 直角坐标系xOy 内有点P (- 2,- 1), 体的体积为.Q (0,- 2)将D POQ 绕x 轴旋转一周, 则所得几何11. 给出函数 g (x ) = - x 2+ b x , h (x ) = - mx 2 + x - 4 , 这里 b ,m ,x Î R , 若不等式g (x )+ b + 1 £ 0（x Î R）恒成立, h (x )+ 4 为奇函数, 且函数f (x ) = ìïg (x ),x £ í h (x ),x > ît , 恰有两 t 个零点, 则实数t 的取值范围为.12. 若 n （ n ³ 3 , n Î ¥ *） 个不同的点Q (a ,b ) , Q 2(a 2 ,b 2 ) , L , Q n (a n ,b n )满足: a 1 < a 2 < L < a n , 则称点Q 1,Q 2 ,L ,Q n 按横序排列. 设四个实数 k ，x 1 ，x 2 ，x 3 使得í i 2k (x-x )，x 22 成等差数列, 且两函数y = x 2 , y =1+ 3 图象的所有交点P (x ，y ),3132x1 1 1P 2(x 2 ，y 2 ), P 3(x 3 ，y 3)按横序排列, 则实数k 的值为 .二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分. 13. 关于x ，y 的二元一次方程组ìï 3x + 4y =1 的增广矩阵为（ ）ïîx -3y = 10 骣3 4 - 1÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ A. ç ÷B. ç ÷ C. ç ÷ D. ç ÷ç桫1 - 3 10 ÷ ç桫1 - 3 - 10÷ ç桫1 - 3 10÷ ç桫1 3 10 ÷ 14. 设P 1 ，P2 ，P3 ，P4 为空间中的四个不同点, 则“ P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 中有三点在同一条直线 上”是“ P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 在同一个平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 若函数 y = f (x ) = （）f (x - 2) 的图象与函数y = log 3 x + 2 的图象关于直线y = x 对称, 则A. 32x - 2B. 32x - 1C. 32xD.32x + 116. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积. 设: 数列甲:x 1 ，x 2，L ，x 5 为递增数列, 且x Î N *（i = 1 ，2 ，L ，5 ）; 数列乙: y 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，y 5满足 y iÎ {- 1,1} （i = 1 ，2 ，L ，5 ）. 则在甲、乙的所有内积中（）A. 当且仅当x 1 = 同为奇数;B. 当且仅当x 1 = 们同为偶数;1 ，x2 = 2 ，x 2 =3 ，x 3 =4 ，x 3 =5 ，x 4 =6 ，x 4 =7 ，x 5 =8 ，x 5 = 9 时, 存在16 个不同的整数, 它们10 时, 存在16 个不同的整数, 它 C. 不存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数; D. 存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数.三. 解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分.如图, 在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,已知AB = BC = 4 , DD 1 = 8 , M 为棱C 1D 1 的中点.（1） 求四棱锥M - ABCD 的体积;（2） 求直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角的正切值.18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分已知函数f (x ) = 1- 2 sin 2x. 2轾p 3p （1） 求f (x )在 犏， 上的单调递减区间; 臌2 22 - 1 - 1（2） 设D ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边依次为a ，b ，c , 若 ca -b 且f (C ) = 1, 2- 1 1 1求D ABC 面积的最大值, 并指出此时D ABC 为何种类型的三角形.19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 设数列{a}，{b}及函数f (x )（x ÎR n n n n （1） 若等比数列{a }满足a = 1 ，a = 3 , f (x ) = 2x , 求数列{bb}的前n （n Î N *） 项和; n12n n + 1（2） 已知等差数列{a }满足a = 2 ，a = 4 ，f (x ) = l (q x + 1)（l 、q 均为常数, q > 0 , 且 n 1 2 q ¹ 1 ）, c = 3 + n + (b + b + L + b )（n Î N *）. 试求实数对(l ，q ), 使得{c }成等 n 比数列.1 2 n n20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满ï 0分 6 分 . 设椭圆C :x 2 y2+ = a 2 b21 （a > b >）过点(- 2 ，0),且直线x - 5y + 1 = 0 过C 的左焦点. （1） 求C 的方程;（2） 设(x ， 3y )为C 上的任一点, 记动点(x ，y ) 的轨迹为G , G 与x 轴的负半轴, y 轴的正半轴分别交于点G ，H , C 的短轴端点关于直线y =uuur uuur线GH 上运动时, 求P F 1 ×P F 2 的最小值; x 的对称点分别为F 1 ，F 2. 当点P 在直 （3） 如图, 直线l 经过C 的右焦点F , 并交C 于A ，B 两点, 且A , B 在直线x = 4 上的射影依次为D , E . 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标; 否则, 请说明理由.21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满分 8 分. 设z Î C , 且f (z ) =ì锍z ,R e z 0í . ïî-z ,R e z < 0 （1） 已知2f (z ) +f (z )- 4z = - 2+ 9i （z Î C ）, 求z 的值; （2） 设z （ z Î C ）与R e z 均不为零, 且z 2n¹ - 1 （ n Î N *）. 若存在k Î N *, 使得(f(z ))k 0+£ 2 , 求证: f (z ) +£ 2 ;（3） 若z = u （ u Î C ）, z= f (z 2+ z + 1) （ n Î N *）. 是否存在u , 使得数列1n + 1nnz ，z ，L 满足z= z （m 为常数, 且m Î N *）对一切正整数n 均成立?若存在, 试求12n + mn出所有的u ; 若不存在, 请说明理由.1 (f(z ))k 01f (z )5 4 51 1 12018 年宝山区高三一模数学参考答案1 2 3 4 5 6 {2 ，3} - 1 1 (- 1 ，+ 2 2 3 5 7 8 9 10 11 12 [- 2 ，0)405 1 104 4p 113 14 15 16 CACD第一部分、填选 第二部分、简答题17. 解: （1）因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 所以点M 到平面ABCD 的距离就是DD 1 = 8 , 故四棱锥M - ABCD 的体积为V= 1鬃S DD =128. M - ABCD 3 ABCD1 3（2）（如图）联结BC 1 , BM , 因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 且M Î C 1D 1 ,所以MC 1 ^ 平面BCC 1B 1 , 故直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角就是 Ð MBC 1 , 在R t D MBC 1中, 由已知可得MC 1 =1 C 1D 1 = 22 , BC 1 == 4, MC 25 因此, t a n Ð MBC = 1 == , 即直线BM 与平面BCC B 所成角的正切值为 BC 110 5 .10轾p 3p轾p 18. 解:（1）由题意 （2）由已知可得a + b = 4 , Q f (C ) =1 , \2 犏臌2 2 c o s C =1 , 又C Î (0 ，p ), \2 犏臌2C =p. 故3BB 2 + BC 21 1 133 3 nn n + 1q 225 5 臌S= 1a b s i n C =3ab Ｗ3a +b 2= , 当a = b =2 时取等号, 即D ABC 面积 D ABC2()4 4 2的最大值为 , 此时D ABC 是边长为 2 的正三角形.19. 解: （ 1 ） 由已知可得 a n = 3n - 1 （ n Î N *） , 故b = 2 ×3n - 1 （ n Î N *） , 所以b n b n + 1 = 4 ×32n - 1（n Î N * ）, 从而{bb}是以12 为首项, 9 为公比的等比数列, 故数列{b n b n + 1}的前n 项和为3 (9n - 1)（n Î N *）. 2（ 2 ） 依 题 意 得 a n = 2n （ n Î N *） , 所 以 b n = l (q 2n+ 1) （ nÎ N *） , 故 c n =lq 23 + + 1 - q 2(l +1)n -l q 22n 1 - q 2ïì l q 2 ìïl = - 1 * ï 3 + = 0（ n Î N ）, 令 í 1 - q 2 , 解得 ïí （ q = - < 0 舍去）, 因此, 存在 ï l + 1 = 0 îïq = 2 ïî 2 3 , 使得数列{c }成等比数列, 且 3 n （n Î N * ）. (l ，q ) = (- 1 ， ) 2 n c n = 3 ×( ) 420. 解: （1）依题意可得a = 2 , 半焦距c = 1 , 从而b 2= a 2 - c 2= 3 , 因此, 椭圆C 的方x 2y 2程为 + = 1 .4 3（2）因为点 (x ， 3y )在C 上, 所以x 2( 3y )2+= 431 , 故轨迹G :x+ y = 41 . 不妨设 F 1(- ，0), F 2( 3 ，0), P (x ，y ), 则P F 1 =(- - x ，- y ),PF 2 = ( 3 - x ，- y ). 易得直线GH : x - 2y + 2 = 0 , 故 uuur uuur 2 24 2 11 4 2 4P F 1 ×P F 2= x + y - 3 = 5(y - ) - , 所以当y = , 即点 P 的坐标为 (- ， ) 时, 5 5 5 5 5uuur uuur 11P F 1 ×P F 2 取得最小值- . （或这样: 因为点P 在直线GH 上运动, 所以当OP ^ GH 时, 5取得最小值, 故x 2 + y 2 也取得轾0 - 2 ×0 + 2 24 2 4 最小值, 此时(x 2+ y 2)= 犏 = , 易得对应点为垂足P (- ， ) , 从而, mi n犏 5 5 uuur uuurP F 1 ×P F 2 的最小值为 3 3 3 x 2 + y 2 ï( ( ( í í ï ï uuur uuur 4 11(P F 1 ×P F 2 )= - 3 = - . ） mi n5 5（3）易得F (1 ，0), 设l :x = my + 1 （m Î R ）, A (x 1 ，y 1), B (x 2 ，y 2 ), 则D (4 ，y 1),E (4 ，y 2),ìx 2 y 2 ï + = 1 2 2 2 由ïí 4 3 得(3m + 4)y + 6my - 9 = 0 , 显然D = 144(m + 1) > 0 , 且ïx =î my + 1y + y = -6m,yy = - 9. 将x =my + 1 代入直线AE 的方程:123m 2+ 41 23m 2+ 411(x 1 - 4)(y - y 2 ) = (y 1 - y 2)(x - 4) , 并化简可得myy + (y + y )+ 轾2y - (y + y ) x - 5y + (3 - my )y = 0, 将y + y = - 6m ,1 212臌1 1211123m 2 + 4y 1y 2= - 93m 2+ 4代入可得m ×(-9 )-6m+(2y + 6m)x - 5y + (3 - my )y =, 即直线 3m 2 + 4 3m 2 + 413m 2+ 41 1 AE 的方程为2 轾(3m 2 + 臌 4)y 1 + 3m (x - )+ (3m 2 + 24)(3 - my 1)y = 0 , 因为m ，y 1任意, 所 以直线AE 过定点 5 2 ，0) . 同理可得直线BD 也过定点 52，0).综上, 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 相交于定点 52，0).21. 解: （1）设z = a + b i （a ，b Î R ）, 则Re z = a .若 a ³ 0 , 则 f (z ) = z , 由 已 知 条 件 可 得 - a - 3b i = - 2 + 9i , Q a ，b Î R ,\ ìï- a = - 2 , 解得ìïa = 2 , \ z = 2 -3i . ïî- 3b = 9 b = - 3 î若 a < 0 , 则 f (z ) =- z , 由 已 知 条 件 可 得 - 7a - 5b i = - 2 +9i , Q a ，b Î R ,ìï- 7a = - 2 \ í ï ìï 2 ïa = , 解得ïí 7 , 但a < ìï 2 ïa = 0 , 故ïí 7 舍去. ïî- 5b = 9 ïb = - 9 ïî 5 ïb = - 9 ïî 551 z21f (z )nn nn 综上, 得z = 2 - 3i .（2） 证明如下: 令t n =(f (z )) +, 则t n = z n+（n Î N *）.假设 f (z ) +> 2 , 即t 1 > 2 , 因z 2n ¹ - 1 （n Î N *）, 故t > 0 （n Î N *）,于是2t< t ×t= z + 1 ×zn + 1 + 骣 = 珑z n + 1 鼢+骣 1 z n + 2 +n + 11n + 1z珑z鼢 桫z n + 2£ z n++ zn + 2 + 1zn + 2= t n + t n + 2 , 即2t n + 1 < t n + t n + 2（ n Î N *）, 亦即t- t < t- t, 故数列 {t- t } 单调递增. 又t> 2 , 故 n + 1nn + 2n + 1n + 1n1t = z 2 + 骣 = çz +21 ÷- 2³ z +21 - 2= t 2 - 2 > t ,即t > t, 于 是 ,2ç桫 ÷z1121t - t > t - t> L > t - t > 0 . 所以, 对任意的n Î N *, 均有t ³ t >2 , 与题n + 1nnn - 121n1设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即 f (z ) +£ 2 成立. （3） 设存在u Î C 满足题设要求, 令a = Re z ，b = I mz （n Î N *）. 易得对一切n Î N *,nnnnìïa = a 2+ a + 1 - b 2 均有a n ³ 0 , 且ïín + 1 n n n （※）. ïî b n + 1 = (2a n + 1)b n （ｉ）若u Î {- i ，i }, 则{z n}显然为常数数列, 故u = ±i 满足题设要求. （ⅱ）若u Ï {- i ，i }, 则用数学归纳法可证: 对任意n Î N *, (a ，b ) Ï {(0，- 1)，(0 ，1)}. 证明: 当n = 1 时, 由u Ï {- i ，i }, 可知(a 1 ，b 1)Ï {(0 ，- 1)，(0 ，1)}. 假设当n = k 时, (a k ，b k )Ï {(0 ，- 1) ，(0 ，1)}. 那么, 当n = k + 1 时,若 (a ，b ) Î {(0，- 1)，(0 ，1)} , 则 a = 0 , b= 1 . 故 a 2 + a + 1 - b 2= 0 ,k + 1k + 1k + 1k + 1kkk(2a k + 1)b k = 1 . （※※）如果a k = 0 , 那么由(a k ，b k ) Ï {(0 ，- 1)，(0 ，1)}可知 b k¹ 1 , 这与（※※）矛盾.1 (f(z ))n1zn 1 f (z )1zn + 11znn níî2如果a>0,那么由（※※）得b2=a2+ a + 1 > 1 , 即b > 1 , 故 2a + 1 ×b> 1 , k与（※※）矛盾.k k k k k k因此, (ak+ 1，b k+ 1) Ï{(0，-1)，(0，1)}.综上可得,对任意nÎN*,(a，b) Ï{(0，-1)，(0，1)}.记x = 2a2+ b2（n Î N *）, 注意到n n nx - x = (2a2+ b2)- (2a2+ b2) = 2 轾(a2+ a )2 + a2+ 2a + (1 -b2)2³ 0 , 即n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n nìïa n =0犏臌n n n n nxn+1-x n³0 , 当且仅当ï,亦即(an，b n)Î{(0，-1)，(0，1)}时等号成立.于是,ïb n=1有x < x （n Î N *）, 进而对任意m , n Î N *, 均有x > x , 所以z ¹ z . 从n n+ 1而, 此时的u Ï{-i，i}不满足要求.n+ m n n+ m n综上,存在u=±i,使得数列z，z，L 满足z=z（m为常数,且mÎN*）对一切1 2 n+ m nn Î N *成立.。
2017年高考数学上海卷含答案
【解析】an n2 ，n N* ，若对于一切 n N* ，bn 中的第 an 项恒等于 an 中的第 bn 项，
可得 ban abn (bn )2 ．于是 b1 a1 1 ， (b2 )2 b4 ， (b3 )2 b9 ， (b4 )2 b16 .即可得出.
C2 : {(
x2 P,
Q
y2 1 9 )} ，P
．P 为 C1 上的
在 C1 上，Q 在 （）
A.2 个
B.4 个
C.8 个
D.无穷个
数学试卷 第 2页（共 14页）
三、解答题：本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分. 17.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为
故答案为： 9π ．
【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。 5.【答案】 3 【解析】设 z a bi(a,b R) ，代入 z2 3 ，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值得
答案．
数学试卷 第 5页（共 14页）
【考点】复数代数形式的乘除运算。 6.【答案】11 【解析】根据题意，由双曲线的方程可得 a 的值，结合双曲线的定义可得 || PF1 | | PF2 || 6 ，解可得 | PF2 | 的值，即可得答案． 【考点】双曲线的几何性质。 7.【答案】 (4,3, 2) 【解析】解：如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点， 过 D的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵ DB1 的坐标为 (4,3, 2) ，∴ A(4,0,0) ， C1(0,3, 2) ， ∴ AC1 (4,3, 2) . 故答案为： (4,3, 2) ．
上海市宝山区2017届高考数学一模试卷Word版含解析.pdf
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）13．设a∈R，则“a=1”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以?U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩?U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式T r+1=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，即可得出．【解答】解：T r+1==（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC?h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=?=?=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λＳk ＞0恒成立，?＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“Ｎ*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3?﹣m=n2，∴S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，?＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n?F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n?F n=（﹣1）n+2?F n+2+（﹣1）n+1?F n+1，故A是自生集；②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1﹣1]，存在集合Ar一个有限子集{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k+1，F2k+3]讨论，若m＜F2k+2，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），故=﹣F2k+1+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1的元素的和．因为m=F2k+2﹣F2k+1+m′＝（﹣1）2k+2?F2k+2+（﹣1）2k+1?F2k+1+m′，所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．若m=F2k+2，则结论显然成立．若F2k+2＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。
【精品】2017年上海市高考数学试卷及参考答案
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n ==0．故选：B ．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0． 故选：A ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
(word完整版)2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)1.已知集合 A {1,2,3,4}，集合 B {3,4,5}，则 AI B ______________2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________x 13. 不等式1的解集为 ________x4. 已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 _____________5. 已知复数z 满足z 30，则|z| ______z2 26. 设双曲线— 爲 1(b 0)的焦点为F 1、F 2，P 为该9 b双曲线上的一点，若| PR | 5，则| PF 2 | __________7. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________3x 1 x 08. 定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数为y f lx)，若g(x) ' 为f(x), x 0奇函数，则f 1(x)2的解为 ________1 3 f9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事 x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________2 *10.已知数列｛a n ｝和｛b n ｝，其中a n n , n N , ｛0｝的项是互不相等的正整数，若对于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 P 、P 2、B 、F 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,巳，卩3,巳｝，点P ，过P 作直线I P ,使得不在I P 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D(l p )和D 2(I P )分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直 线I P 中有且只有一条满足 DdI p ) D 2(I P )，则 中 所有这样的P 为 ___________二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)2017.6任意n N *，｛b n ｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则Iggbqdbw)Ig(bb 2b 3b 4)11.设 a 1、a 2 R，且 2 sin 112 sin(2 2)2，则 |10 2|的最小值等于x 5v 013.关于x 、y 的二元一次方程组' 的系数行列式D 为(2x 3y 4A.0 5 B. 1 0C.1 5D.6 04 32 42 35 4uuu uuirOP OQ w ｝，贝U中元素个数为().解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ABG 的体积; (2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小.2 218.已知函数 f (x) cos x sin x(1 )求f(x)的单调递增区间;A 所对边a 19，角B 所对边b 5，若f (A) 0，求△ ABC 的面积.A. a 0B. b 0C. cD. a 2b c0 16. 在平面直角坐标系 2 x xOy 中，已知椭圆C : 2y 21 和 C 2: X 2- 1 P 为C 1上的动36 4 9uuu urnr占 八Q 为C 2上的动点， w 是OP OQ 的最大值. 记{(P,Q)|P 在 C 1 上, Q 在C 2上，且)使得Moo k 、X 200 k 、X 300 k 成等差数列”的一个必要条件是14.在数列｛a n ｝中, a n，则 lim a n (nA.等于-2B.等于0C.等于-2D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项2X n anbn，则“存在A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个12，x (0,).(2)设厶ABC 为锐角三角形，角19. 根据预测，某地第n (n N )个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b (单位：辆), "亠5n 15, 1 n 3其中a n , b n n 5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的10n 470, n 4累计投放量与累计损失量的差•(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？x220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆: y 1，A为的上顶点，P为上异于4上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.(1 )若P在第一象限，且|OP| 2，求P的坐标；(2)设P(8,3)，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；5 5umr uuir uuu uuun(3)若| MA | |MP |，直线AQ 与交于另一点C,且AQ 2AC，PQ 4 PM，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的X1、X2 R，当x, X2时，都有f(X1) f(X2).(1 )若f (x) ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x) f(x)g(x).证明：“ h(x)是周期函数”的充要条件是“ f (x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分) 1. 已知集合 A ｛1,2,3,4｝，集合 B ｛3,4,5｝，则 AI B ________ 【解析】AI B ｛3,4｝2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________【解析】m 32 26.设双曲线工占 1(b9 b 2则 | PF 2 | ______ 【解析】2a 6| PF 2 | 117. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________UUUU 【解析】A(4,0,0)，C 1(0,3,2)，AC 1( 4,3,2)13x 1, x 0 込 8. 定义在(0,)上的函数y f (x)的反函数为y f (x)，若g(x)为f(x), x 01奇函数，则f (x) 2的解为 ________ 【解析】f (x)3x 1f(2)9 18 f 1(x)2 的解为 x 81 3 -9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________ 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，.••概率为2017.6x1【解析】1 -10 x 0 ,解集为(xx4.已知球的体积为 36 ,则该球主视图的面积等于4【解析】43r 3 36 r 3 S 95.已知复数 z 满足3 z -z 0，则 |z| 【解析】z 23 z |z| .3,0)0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若2 *10.已知数列｛a n｝和｛b n｝，其中a n n , n N , ｛b n｝的项是互不相等的正整数，若对于任意n N * , ｛0｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则lg(blb4b9bl6)©(b^b q )【解析】b a n a b n b n 2 b n 2 bAb g% (bfeb s b q )2即 sin 1sin （2 2 ）1，二 12k,2k , I10 1 2〔min2 4412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 R 、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,P 2,P 3,P 4｝，点P ，过P 作直线I p ，使得不在I p 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D 1（I P ）和D 2（I P ）分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I p 中有且只有一条满足 D 1（I p ） D 2（I p ），则 中 所有这样的P 为__________ 【解析】P 、F 3A.0 5 B. 1 0C.1 5 D .6 04 32 42 35 4【解析】C【解析】k 、x 200 k 、x 300 k 成等差数列”的一个必要条件是©(bb q b g bj 2 IgglbAb q )11.设 a-i 、a 2，且2 sin i2，则 |102 sin(2 2)12|的最小值等于I解析】人［1,1］，口1冇［1,1］，1 1 1 ,2 si n t 2 sin(2 2)二.选择题（本5分，共 20分)13.关于x 、y 的二元一次方程组x 5y 2x 3y的系数行列式4 D 为（ ）14.在数列｛a n ｝中,(J ，，则 Iim a n (nA.等于B.等于0C. 1等于12D.不存在15.已知 b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项 2X n anbn c ，n N *，则“存在 k N *，使得X ,oo A. a 0 【解析】AB. b 0C. c 0D. a 2b c 02累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?2 2一 一 x y16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆G :盘 -1和C 2：x 2鲁1.P为C 1上的动uuu urnr点，Q 为C 2上的动点，w 是OP OQ uuu uuirOP OQ w}，贝U中元素个数为( 的最大值•记 {(P,Q)|P 在G 上，Q 在C 2上，且A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【解析】D三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76 分)17.如图，直三棱柱 ABC AB1G 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ARG 的体积;(2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小•【解析】(1) V S h 20(2) tan5.5 ，线面角为arcta n ■. 518.已知函数 2f (x) cos x sinx 1 , x (0,).(1 )求f(x)的单调递增区间;(2)设厶ABC 为锐角三角形, A 所对边a ■ 19，角B 所对边b 5，若f (A)0，求△ ABC 的面积.【解析】(1) f(x)cos2xx (0,)，单调递增区间为［―,) 2(2) cos2A根据锐角三角形，cosB2A 25 c 191…ccosAc 2 或 c 3 ,2 5c 20，二 c 3 , S - bcsin A ^^432 4 19.根据预测，某地第n 4甘出5n 15, 1其中a n10n 470,(nN *)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆),3, b n n 5，第n 个月底的共享单车的保有量是前4n 个月的(1 )若P 在第一象限，且|OP| 耳，求P 的坐标;求直线AQ 的方程. 3 uuu uuur 3 1 3y 0.Q( -x 0, 3y 。
2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为 【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题
2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题1.（2017宝山区一模）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有 项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列， 则2668型标准数列的个数为 32.（2017宝山区一模）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；3.（2017崇明县一模）实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+构成的数列（ D ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列4.（2017崇明县一模） 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；解：（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略； 5.（2017金山区一模）若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 2 6.（2017金山区一模）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a与1i a +之间插入i 个(1)ii b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由； 解：（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；7.（2017虹口区一模）若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 2 8.（2017虹口区一模）已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ； 解：（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；9.（2017闵行区一模）已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=， 数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无 数次，则满足要求的1b 的值为 210.（2017松江区一模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2nn n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→∞= 12-11.（2017松江区一模）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；解：（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在； （3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；12.（2017浦东新区一模）设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-； （1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ； （3）若11a =，n n c bn =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数； 解：（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；13.（2017青浦区一模）已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值的和为 22010314.（2017青浦区一模）如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P （1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ； （1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212n n a a -<； 解：（1）12(,)23；（2）116n n na a a ++=；（3）略；15.（2017奉贤区一模）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 516.（2017奉贤区一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的 取值范围；解：（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；17.（2017嘉定区一模）若数列{}n a23n n=+（*n N ∈），则1221lim()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 218.（2017嘉定区一模）已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例； 解：（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；19.（2017普陀区一模）已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；解：（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；20.（2017徐家汇区一模）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 [0,1) 21.（2017徐家汇区一模）正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，ka 是1k a -与1kb -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列； （3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由； 解：（1）12a =12b =（2）略；（3）21n c c c ++<；。
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2017年宝山区高考数学一模试卷含答案
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim 1
n n n →∞+=+ 2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U A
C B = 3. 不等式
102
x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为
5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =
6. 若函数cos sin sin cos x x
y x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为
7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为
8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为
9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为
10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）
11. 设常数0a >，若9()a x x +的二项展开式中5
x 的系数为144，则a =
12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A. 80
B. 96
C. 108
D. 110
15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20
P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6
P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6
P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6
P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ）
A.
72 B. 3 C. 52 D. 2
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为
4，侧面积为36；
（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小；
18. 已知椭圆C 的长轴长为(2,0)-；
（1）求C 的标准方程；
（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB = 试求直线l 的倾斜角；
19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；
（1）求数列{}n x 的通项公式；
（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559
n y >的最小 正整数n 的值；
20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；
（1）当2m =时，解不等式1
()1f x
>；
（2）若(0)1f =，且()
x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围； （3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg 2n
f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；
21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈；
（1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +； （2）设123
a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993
B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足 3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实 数λ的最大值；
（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*
N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. 2
2. {1,0,1}-
3. (2,1)--
4. 6
5. 1i +
6. 1
7. 12x - 8.
9. 18π 10. 57 11. 2 12. 3
二. 选择题
13. A 14. C 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）；（2）3arccos 10
； 18.（1）22162x y +=；（2）4
π或34π； 19.（1）14()3
n n x -=；（2）5；
20.（1）1
(0,)8；（2）1[lg12,lg1324--；（3）2{|2,}3
x x k k Z ππ=±+∈； 21.（1）{1,0,1,3,4,5}-；（2）
92；（3）略；。