上海市闵行区2017届高三一模数学试卷(含答案)

高三年级质量调研考试数学试卷 第1页共9页

C 1

D 1 B 1

A 1

C

A B D

E 闵行区2016学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 方程()lg 341x +=的解=x _____________． 2. 若关于x 的不等式

0x a

x b

->-(),a b ∈R 的解集为()(),14,-∞+∞ ，则a b +=____． 3. 已知数列{}n a 的前

n 项和为21n

n S =-，则此数列的通项公式为___________． 4. 函数()1f x =的反函数是_____________．

5.

()

6

12x +的展开式中3

x 项的系数为___________．（用数字作答）

6. 如右图，已知正方体1111ABCD A BC D -，12AA =，

E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为________________．

7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含 有“a ”的共有_____________种排法．（用数字作答）

8. 集合[]{}

cos(cos )0,0,x x x ππ=∈= _____．（用列举法表示） 9. 如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=?，P 为弧 AB

上的一个动点，则OP AB ?

的取值范围是__________．

10. 已知,x y 满足曲线方程2

21

2x y

+

=，则22x y +的取值范围是____________．

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A

B

O

D

C

11. 已知两个不相等的非零向量a 和b

，向量组()1234,,,x x x x 和()

1234,,,y y y y 均由

2个a 和2个b

排列而成.记11223344S x y x y x y x y =?+?+?+? ，那么S 的所有可能取值中的最小值是________________．（用向量,a b

表示）

12. 已知无穷数列{}n a ，121,2a a ==，对任意*

n ∈N ，有2n n a a +=，数列{}n b 满足

1n n n b b a +-=（*n ∈N ）

，若数列2n b n ??

????

中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为_______________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 若,a b 为实数，则“1a <”是“

1

1a

>”的 ( ) (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )

(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2

15. 函数()2

f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是 ( )

(A) [)0,+∞ (B) 1,12?????? (C) 1,2??

+∞????

(D) [)1,+∞

16. 曲线1C :sin y x =，曲线2C :()2

22102x y r r r ?

?++-=> ??

?，它们交点的个数 ( )

(A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过2017 (D) 可超过2017

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在AOB Rt △中，π

6

OAB ∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将AOB Rt △以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且90BOC ∠=?， 求：

（1）圆锥的侧面积；

（2）直线CD 与平面BOC 所成的角的大小．（用反三角函数表示）

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18. （本题满分14分）本题共有2

个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

已知()

m = ，2cos ,sin 2A n A ??= ???

，A B C 、、是ABC △的内角．

（1）当2

A π

=时，求n 的值；

（2）若23

C π

=，3AB =，当m n ? 取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米．以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放．两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）．依据经验公式，建厂的费用为0.7

()25f m m =?（万元），m 表示污水流量；铺设管道的费用（包括管道费）()g x =，x 表示输送污水管道的长度（千米）．

已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米．

假定：经管道输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中．

请解答下列问题（结果精确到0.1）：

（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围．

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20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分． 如图，椭圆2

214

y

x +

=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B

为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点

Q ，

线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点．

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；

（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分．

在平面直角坐标系上，有一点列01231n n P P P P P P - ，，，，，，，设点k P 的坐标(),k k x y （,k k n ∈≤N ）

，其中k k x y ∈Z 、． 记1k k k x x x -?=-，1k k k y y y -?=-，且满足2k k x y ???=（*

,k k n ∈≤N ）．

（1）已知点()00,1P ，点1P

满足110y x ?>?>，求1P 的坐标； （2）已知点()00,1P ，1k x ?=（*,k k n ∈≤N ）

，且{}k y （,k k n ∈≤N ）是递增数列，点n P 在直线l ：38y x =-上，求n ；

（3）若点0P 的坐标为()0,0，2016100y =，求0122016x x x x ++++ 的最大值．

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闵行区2016学年第一学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准

一. 填空题 1．2； 2．5； 3．1

2n n a -=； 4．()()

2

1

1(1)f

x x x -=-≥； 5．160；

6．43； 7．240；8．2,33ππ??????；9．11,22??-????

； 10．1,2??+∞????； 11．4a b ? ；

12．2；

二. 选择题 13．C ； 14．B ； 15．C ； 16．D ． 三. 解答题

17．[解] （1）=S rl π侧 …………………………2分

248ππ=??= …………………………6分

（2）取OB 的中点E ，连接DE 、CE ， ………………8分 则//DE AO ，所以DE BOC ⊥平面，

所以DCE ∠是直线CD 与平面BOC 所成的角， …………10分 在DEC Rt △

中，CE DE =

tan 5DCE ∠=

= …………12分

所以DCE ∠= 所以直线CD 与平面BOC

所成的角的大小为arctan 5

（arcsin 4） (14)

分

18．[解] （1）当2A π

=时，1,12n ??= ???

n ∴== …………4分

（2

）)2sin 1cos sin 2A m n A A A ?=+=++ …………6分

2sin 3A π?

?=++ ??

? …………………………8分

m n ? 取到最大值时 ， 6

A π

= …………………………10分

由正弦定理sin sin AB BC

C A

=， …………………………12分 A

B

O

D

C

E

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32sin sin 36

BC

ππ?

=

解得BC …………………………14分 19．[解] （1）分别单独建厂，共需总费用

0.70.71253255131.1y =?+?≈万元 …………………………4分

（2）联合建厂，共需总费用

(

)

0.7

2535 3.2y =?++020x ≤≤）

所以y 与x

的函数关系式为0.7

258 3.2

y =?+（020x ≤≤）……8分

令(

)h x =

020x ≤≤）

()

[]2202020,40h x =++ (10)

分

0.70.7121.5258 3.2258 3.2127.4y ≈?+≤≤?+≈

y 的取值范围为[]121.5,127.4． …………………………14分

20．[解]

（1）设双曲线Γ的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，双曲线的焦距为2c ；………2分

依题意可得()1,0A -，()1,0B

，

1,a c ==

222514b c a ∴=-=-=

∴双曲线Γ的方程为2

2

14

y x -= …………………………4分

(2) 由题意可知，直线,,AP BP OM 的斜率皆存在，且不为零． 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，

直线AP 的方程为()1y k x =+ （02k <<）

联立方程组()22

114

y k x y x ?=+??+

=?? 整理，得()2222

4240k x k x k +++-=， ………6分

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解得，1x =-或2244k x k -=+，2

2244k x k -∴=+，

得22248,44k k Q k k ??- ?++??，222

4,44k k

M k k

??

- ?++??

， ………8分 因为02k <<， 244

4

4M k y k k k

=

=++在()0,2上是增函数，所以()0,1M y ∈ (10)

分

（或

者2

44144M k y k k k =

=≤=++，当且仅当2k =时取等号，所以()0,1M y ∈）（3）方法一：由题（2）知直线OM 的方程为:4

y x k

=- ………………12分

同理，解方程组()

22114

y k x y x ?=+?

?-

=??，可得21244k x k +=-， 得点P 的坐标为22248,44k k k k ??

+ ?

--??

直线BP 的斜率114

1BP y k x k

=

=- 直线BP 的方程为:()4

1y x k

=

-， …………………………14分 联立直线BP 与直线OM 的方程，解得12

x =

， 因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12

x =

对称． …………………………16分 方法二：由()11,P x y 在双曲线上可得：

111

411y y

x x ?=+- 所以4AP BP k k ?= …………………………12分 同理4AQ BQ k k ?=-，即4AP OM k k ?=-, …………………………14分

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因此0OM BP k k +=

设直线OM :y k x '=，则直线BP :()1y k x '=--,解得12

x =

因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12

x =

对称． …………………………16分

21．[解] （1）因为k x ∈Z 、k y ∈Z ，所以,k k x y ??∈Z 又因为112x y ???=，110x y

1

2x y ?=??

?=? ………………2分

所以101011x x x =+?=+=，10112y y y =+?=+

所以点1P 的坐标为 ()1,3 …………………………4分 （2）因为00x =，1k x ?=（*,k k n ∈≤N ），

得0123n n x x x x x x n =+?+?+?++?= ………………………6分 又2k k x y ???=，1k x ?=，得2k y ?=±（*,k k n ∈≤N ），

因为0123k k y y y y x y =+?+?+?++? ，而{}k y （,k k n ∈≤N ）是递增数列， 故2k y ?=（*,k k n ∈≤N ）

012312n n y y y y x y n =+?+?+?++?=+ ， ……………………8分

所以(),12n P n n +

将(),12n P n n +代入38y x =-，得

1238n n +=-，得9n = ……………10分 （3）0123n n

y y y y y y =+?+?+?++?

20161232016100y y y y y ?=?+?+?++?= …………………………12分

记012n n T x x x x =++++

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()()()0010120123n x x x x x x x x x x x =++?++?+?+++?+?+?++?

()12112n n n x n x x x -=?+-?++?+? …………………………14分

因为2016n =是偶数，100n >，

()()2

121122121n n n T n x n x x x n n n n -=?+-?++?+?≤+-+++=+???? …

16分 当

12310010110211,1,1,,1,1n n y y y y y y y y -?=?=?==?=?=?=-?=?=- ，

1232n x x x x ?=?=?==?= 时（取法不唯一）

，()2

max n T n n =+ 所以()2

2016max 201620164066272T =+= (18)

分