2018-2019学年上海市松江区高三一模试卷

松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分150分，完卷时间120分钟） 2018.12
考生注意：
1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2. 答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 设集合{}|1A x x =>，|
03x B x x ⎧⎫
=<⎨⎬-⎩
⎭
，则A B = .
2. 若复数z 满足()3443i z i -=+，则||z = .
3. 已知函数()y f x =的图像与函数()0,1x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，且点()4,2P 在函
数()y f x =的图像上，则实数a = .
4. 已知等差数列{}n a 的前10和为30，则14710a a a a +++= .
5. 若增广矩阵为111
2m m m m +⎛⎫
⎪⎝⎭
的线性方程组无解，则实数m 的值为 . 6. 已知双曲线标准方程为2
213
x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 .
7. 若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为 . 8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()2
26c a b =-+，3
C π
=。

则△ABC
的面积= . 9. 若函数()()|lg 10
sin 0|x x f x x
x ⎧->⎪=⎨
≤⎪⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对. 10. 已知A ，B ，C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值
是 .
11. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当
12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为
()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题：
①线段AB 的中点的广义坐标为1212
,
2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
； ②A 、B 两点间的距离为()()2
2
1212x x y y -+-； ③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 .（请写出所有真命题的序号）
12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，
若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为 . 二、选择题（本大题满分20分）
13. 过点()0,1且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）
（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）220x y -+= （D ）210x y --= 14. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨
⋅>⋅⎩是x a
y b >⎧⎨>⎩
的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
15. 将函数()2sin 34f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其
中[]12,0,4x x π∈，则1
2
x x 的最大值为（ ） （A ）9 （B ）
37
5
（C ）3 （D ）1 16. 对于平面上一点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点
P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集
(){}|,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）
（A ）36 （B ）3633- （C ）36π+ （D ）3633π-+
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知向量()3sin ,1a x =，()cos ,1b x =-. （1）若∥a b ，求tan 2x 的值；
（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数()f x 的最小正周期及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时的最大值.
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数()2
21
x f x a =-
+（常数a R ∈） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2x
m
f x ≥成立，求m 的最大值.
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。

同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护支出，并判断第6个月该产品的收入是否够支付第6个月的维护支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总收入包括维护费支出和研发投资支出）
20. （本题满分16分）板梯共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分
已知曲线Γ上的任意一点到两定点()11,0F -、()210，F 的距离之和为22，直线l 交曲线Γ于A 、
B 两点，O 为坐标原点.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若l 不过O 点且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（3）若⊥OA OB ，求△AOB 面积的取值范围.
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分8分
对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有()()110n n n n a b a b ++--<，则称数列
{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.
（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；
（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”； （3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.。