2019年上海市高三数学一模分类汇编：解析几何
上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学题目分类汇编立体几何
上海市 13 区 2019 届高三上期末(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何上海市 13 区 2019 届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1 、（宝山区2019 届高三）将函数y 1 x2 的图像绕着 y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是．2、（崇明区 2019 届高三）设一个圆锥的侧面张开图是半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积等于3、（虹口区 2019 届高三）对于三个不同样平面、、与直线 l ，下来命题中的假命题是（）A. 若，则内必然存在直线平行于B.若与不垂直，则内必然不存在直线垂直于C. 若，，I l ，则 lD. 若，则内所有直线垂直于4（、金山区 2019 届高三）在120 的二面角内放置一个半径为 6 的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是5、（浦东新区2019 3，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为届高三）已知圆锥的体积为3 36、（浦东新区2019 届高三）以下命题正确的选项是（）A.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行7、（普陀区 2019 届高三）如图，正四棱柱ABCD ABC D的底面边长为4，记AC I B D F，1111 1 1 1 1BC1 I B1C E ，若AE BF ，则此棱柱的体积为8、（青浦区 2019 届高三）已知直角三角形△ABC 中， A 90 ，AB 3 ，AC 4 ，则△ ABC 绕直线 AC 旋转一周所得几何体的体积为9、（徐汇区 2019 届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽经过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为: 4 .若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）（A）16（B）163（C）16（D）1283 31/13 1上海市 13 区 2019 届高三上期末(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何10 、（杨浦区2019 届高三）若圆锥的母线长 l 5(cm) ，高 h 4(cm) ，则这个圆锥的体积等于( cm3 )11 、（长宁区2019 届高三）若圆锥的侧面面积为 2 ，底面面积为，则该圆锥的体积为12 、（闵行区2019 届高三）如图，在过正方体ABCD A1 B1C1 D1的任意两个极点的所有直线中，与直线 AC1 异面的直线的条数为13、（闵行区2019 届高三）已知a、b为两条不同样的直线，、为两个不同样的平面，I a ，a∥ b ，则下列结论不可以能成立的是（）A. b，且b∥B. b，且b∥C. b∥，且b∥D. b与、都订交14、（青浦区2019 届高三）对于两条不同样的直线m 、n 和两个不同样的平面、，以下结论正确的选项是（）A. 若m，n∥，m、n是异面直线，则、订交B. 若m，m，n∥，则n∥C. m，n∥，m、n共面于，则m∥ nD. 若m，n，、不平行，则m 、 n 为异面直线参照答案一、填空、选择题22、33、 D4、25、36、D1、3 37、32 2 8、12π9、C 10、12 11、3 312、12 13、 D 14、C二、解答题1、（宝山区2019 届高三）如图，在四棱锥P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，正方形 ABCD 的边长为2，PA 4 ，设 E 为侧棱 PC 的中点．（1）求正四棱锥E ABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．2/13 22、（崇明区 2019 届高三）如图，设长方体 ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2，直线 A1C 与平面ABCD所成的角为.4（1）求三棱锥A A1 BD 的体积；（2）求异面直线A1 B 与 B1 C 所成角的大小.3、（奉贤区2019 届高三）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1 底面ABC ，AB AC ，D是BC 的中点.（1）求证：BC 平面A1 AD1；（2）若， BC ，三棱柱1 1 1 的体积是，求异面直线 1 与 1 所成角的大小.4、（虹口区2019 届高三）在以以下列图的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点 D是母线 PA的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD所成角的大小.3/13 35、（金山区2019 届高三）如图，三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC， M 是BC的中点，若底面ABC是边长为 2 的正三角形，且PB 与底面ABC所成的角为. 求：3（1）三棱锥P ABC的体积；（2）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）6、（浦东新区2019 届高三）已知直三棱柱A1B1C1ABC 中， AB AC AA11，BAC 90 .（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离 .7、（普陀区 2019 届高三）以以下列图，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其构造能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为A（i ）i 1,2,3,4 . （1）记OA i a （ a 0 ），当A1、A2、 A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3 2cm2，要用某种线型资料复制100枚这种“钉”（耗资忽略不计），共需要该种资料多少米？4/13 48、（青浦区 2019 届高三）已知正四棱柱ABCD A1B1C1 D1的底面边长为3，A1D 5 .（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小 .9、（徐汇区 2019 届高三）如图，已知正方体ABCD A'B'C 'D ' 的棱长为1.（1）正方体ABCD A' B 'C ' D '中哪些棱所在的直线与直线A' B 是异面直线？（2）若M ,N分别是A ' B, BC '的中点，求异面直线MN 与 BC 所成角的大小.10、（杨浦区 2019 届高三）如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为矩形，PA AB 1， AD 2 ，点F是PB的中心，点 E 在边 BC上搬动 .（1）求三棱锥E PAD的体积；（2）证明：无论点 E 在边 BC的哪处，都有 AF⊥ PE.5/13 511、（长宁区 2019 届高三）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的周围体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢构造能够抽象为空间图形阳马，以以下列图，在阳马P ABCD 中， PD底面ABCD .（1）已知（精准到AD CD0.01m ）4m ，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15 ，求立柱PD 的长；（2）求证：周围体PDBC 为鳖臑.参照答案二、解答题1、解：（ 1）因为正方形ABCD 的边长为2，所以S ABCD 4，2分V P ABCD 1SABCDPA 16， 4 分3 3因为 E 为侧棱 PC 的中点，所以V 1VP ABCD86 分2.3（2）成立空间直角坐标系，A(0,0,0) ，以以下列图：B(2,0,0) ， P(0,0,4), C (2,2,0), E(1,1,2) ，8分uuur uuur2,2, uuur2,0,0,BE 1,1,2 , PC 4 ,DC 9 分r设平面 PCD 的一条法向量为n (a, b, c)6/13 613 2019 ( )uuur r0 2a 2b 4cPC n uuur r 02a 0CD ncr(0, 2,1)111nuuur rsinBE n 2 30uuur r 13BE n15BEPCD arcsin2 30.141517. 21ACAA 1平面 ABCDA 1CA A 1 C ABCD 2ACAAA22414 1V A ABD1 A 1 A4V A ABD S ABD2711332A 1D BDA 1B 1 / /CD A 1D / /B 1CBA 1D A 1B B 1C3(2 3) 2 (2 3)2 (2 2) 22 VBA 1D cos BA 1 D2 23 2 33BA 1 D26arccos 32A 1B B 1C arccos7337/137上海市 13 区 2019 届高三上期末(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何4、5、8/13811 / 1513 2019 ( )61A 1B 1C 1 ABCAA 1ABAA 1AC ,ABACAA 1 1, BAC90A 1 BA 1C BC 2 2BC // B 1C 1A 1 BCA 1B B 1C 1 4A 1BC A 1BA 1C BC2A 1B B 1C 1 732 B 1A 1BCh1S A 1BC122 sin392 32SA 1B 1B1 1 1 1 11 22V B 1A 1BCV CA 1B 1B121 S A 1BC h 1 S A 1B 1B CAh33 33B 1A 1BC31431A 1B B 1C 1A 1 B1 , 0 , 1 11 1 0 41 B C, ,9/139132019() cosA1 B B1C1 1 1A1B B1 C1 2 2 2 3A1 B B1C1 732A1BCn u ,v ,wn BC ,n A1BBC 1,1,0 A1 B 1,0 , 1 9n BC 0 u v 0 1,1,112nn A1 B 0 u w 0B1A1BC dB1 B n 3n 143710/131012 / 1513 / 15上海市 13 区 2019 届高三上期末(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何8、解：（ 1）在正四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，∵ AA 1 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，∴ AA 1AD ，故 AA 1 25 9 4 ， ∴正四棱柱的侧面积为 (4 3) 4 48 ，体积为 (32) 4 36．（2）成立如图的空间直角坐标系 O xyz ，由题意可得 D (0,0,0) , B(3,3,0) , A 1 (3,0,4) , D(0,0,0) , E(3,0,2) ,2uuur uuur3, 3,2) ，AA 1 (0,0,4) ， BE (2uuur uuur设 AA 1 与 BE 所成角为uuur uuurAA 1 BE则 cosuuur uuur |AA 1| |BE|，直线 BE 与平面 ABCD 所成角为 ，8 4 61， 616144uuur4 61arcsin4 61又 AA 1 是平面 ABCD 的一个法向量，故 sincos， ．6161所以直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin461 ．619、解： (1)由异面直线的定义可知，棱 AD , DC ,CC ', DD ', D 'C ', B 'C ' 所在的直线与直线线分.611/13A'B 是异面直1114 / 1513 2019 ( )(2)BC ',A'C ' M ,N A'B, BC ' MN A'C' BC B'C'MN BCA'C 'B'().9A' B'B'C ', A'B'C' 90oA 'C 'B ' 45o13MN BC45o ..14D'C'A'B'NMDCAB101V PADE1PA S ADE 16332AF 面 PBCPA 面ABCD PA BCBCABBC 面PAB BC AF10PABPA ABFPBAFPB12 AF面PBC E BC AF PE.14111PD ABCDPB ABCD DBPBDPBABCD PBD 15 2PDBPDB90 ,DBAD 2CD 24 2 ( )3mtanPBDPDPDPD1.52 (m) 5tan152DB4PD1.52 m62ABCDBCD2PDABCDPDDC , PD DB ,PDBCPDC PDB4BC DC BC PDPD DCD DC ,PDPDCBC PDC6PCPDCBCPC12/1312132019()PBC 7PDBC 813/131315 / 15。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年上海市高三数学一模分类汇编：立体几何
2（2019杨浦一模）. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 5（2019普陀一模）. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 5（2019长嘉一模）. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 5（2019虹口一模）. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为5（2019青浦一模）. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为6（2019杨浦一模）. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm8（2019浦东一模）. ，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为8（2019崇明一模）. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9（2019普陀一模）. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为9（2019闵行一模）. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10（2019金山一模）. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是10（2019静安一模）. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）10（2019宝山一模）. 将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是14（2019徐汇一模）. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B. 163C. 163D. 128314（2019金山一模）. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2019虹口一模）. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14（2019奉贤一模）. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14（2019闵行一模）. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14（2019浦东一模）. 下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行15（2019黄浦一模）. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 615（2019青浦一模）. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15（2019普陀一模）. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥17（2019浦东一模）. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=.（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.17（2019金山一模）. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2019黄浦一模）. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30︒.（1）求该量杯的侧面积S ；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？17（2019奉贤一模）. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的 体积是83，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.17（2019青浦一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.17（2019闵行一模）. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.17（2019宝山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.17（2019崇明一模）. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.17（2019徐汇一模）. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.17（2019虹口一模）. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.17（2019杨浦一模）. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18（2019静安一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA AC AB ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（2019长嘉一模）. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19（2019普陀一模）. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？。
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷(精编含解析)
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数的定义城为______．【答案】【解析】解：由解得：且，故答案为：根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．本题考查了函数的定义域及其求法属基础题．2. 若，则______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3. 设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】解：是偶函数；．故答案为：．可以看出，只有时，为偶函数，从而得出．考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4. 若直线l经过抛物线C：的焦点且其一个方向向量为，则直线l的方程为______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，方向向量为的直线l的斜率为1，故直线l的方程是，即，故答案为：．求出抛物线的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5. 若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为______．【答案】4【解析】解：设球的半径为R，则，，球的表面积为：，故答案为：4．设球的半径为R，根据题意列方程可得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为______结果用最简分数表示【答案】【解析】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数，至少有一个红球的对立事件是没有红球，至少有一个红球的概率为．故答案为：．从袋中随机取出两个球，基本事件总数，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 设，则______结果用数值表示【答案】0【解析】解：，则，故答案为：0．把按照二项式定理展开，可得的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8. 设且，若，则______．【答案】1【解析】解：设且，若，所以：，所以：，则：，则：，，，，故答案为：1．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9. 如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．【答案】【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则0，，4，，4，，2，，，，，，即．此棱柱的体积为．故答案为：．建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的照此推算，此人2019年的年薪为______万元结果精确到【答案】【解析】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为元，每月的绩效工资为元，则此人2019年的年薪为万元，故答案为：．由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11. 已知点，设B、C是圆O：上的两个不同的动点，且向量其中t为实数，则______．【答案】3【解析】解：由向量其中t为实数，可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，由圆的割线定理可得，，故答案为：3由向量其中t为实数，可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，由割线定理可得，本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12. 设a为常数记函数且，的反函数为，则______．【答案】【解析】解：由，得，，，原式，故答案为：先求出反函数，然后求出，所以等于a个a．本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）13. 下列关于双曲线：的判断，正确的是A. 渐近线方程为B. 焦点坐标为C. 实轴长为12D. 顶点坐标为【答案】B【解析】解：关于双曲线：，，，，则渐近线方程为；焦点为；实轴，顶点坐标为．关于双曲线：，，，，即可得答案．本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14. 函数的图象A. 关于原点对称B. 关于点C. 关于y轴对称D. 关于直线轴对称【答案】B【解析】解：对于选项：A，当时，故错误．对于选项C：当时，，故错误．对于选项D：当时，，故错误．故选：B．直接利用余弦函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15. 若a、b、c表示直线，、表示平面，则“”成立的一个充分非必要条件是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由a、b、c表示直线，、表示平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，，，则，反之，不一定得到，，故C正确；在D中，，，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，，，则，反之，不一定得到，；在D中，a与b相交或异面．本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】解：由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D．分别作出与直线的图象，观察交点个数即可本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且．求的值；设，求的取值范围．【答案】解：，，分，，由余弦定理可得：，，可得：，当且仅当时等号成立，可得：，可得：，当且仅当时等号成立，，的取值范围为：分【解析】利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求，即可得解的取值范围．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. 已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点．当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值；设点C满足，且的最大值为7，求的值．【答案】证明：由椭圆方程可得，，设，则，，为定值；解：设，则．若，则，解得．此时，，，由，得；同理，若，可得，此时求得．故的值为7或．【解析】由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设，由斜率公式及点P在椭圆上即可证明是定值；设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合，求得的值．本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为2，3，．设，当，，在同一水平面内时，求与平面所成角的大小结果用反三角函数值表示．若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料多少米？【答案】解：根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，，，，两两连结后得到的四面体为正四面体，延长交平面于B，则平面，连结，则是在平面上的射影，就是与平面所成角，设，则，在中，，即，，，其中，，与平面所成角的大小为．，根据可得，，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料：米．要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料米【解析】组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，，，，两两连结后得到的四面体为正四面体，延长交平面于B，则平面，连结，则就是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的大小．推导出，，从而，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料的长度．本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20. 设数列满足，．求，的值；求证：是等比数列，并求的值；记的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于任意的且均有成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【答案】解：数列满足，．所以：，，由于数列满足，．所以：常数，所以：：是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，，．由于：，所以，，，所以：，所以：数列为递减数列，则：当时，，所以：．所以：存在，使得对于任意的且均有成立．【解析】直接利用关系式求出结果．利用定义证明数列是等比数列，并求出极限值．首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k的值．1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21. 已知函数，记．解不等式：；设k为实数，若存在实数，使得成立，求k的取值范围；记其中a，b均为实数，若对于任意的，均有，求a，b的值．【答案】解：函数，，即为，即为，即有，解得，即解集为；存在实数，使得成立，即为，设，在递增，可得，，即有，则，设，，即有，在递增，可得，即有，，令，，，．若对于任意的，均有，即对任意，．，解得：，．【解析】函数，，即为，即为，可得解集；根据，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；根据其中a，b均为实数，，均有，建立关系即可求解a，b的值．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则律得零分。
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝（﹣∞，0），则A∩B＝．2．（4分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题．3．（4分）不等式2＜（）3（x﹣1）的解集为．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为．5．（4分）已知直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为．6．（4分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||＝．7．（5分）已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是．8．（5分）设函数f（x）＝sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω＝．9．（5分）2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有种．10．（5分）设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则＝．11．（5分）已函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、、满足||＝1，||＝||＝2，且＝0，则当0≤λ≤1时，|﹣λ﹣（1﹣λ）|的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则律得零分。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷解析版
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“n=4”是“（x+）n的二项展开式中存在常数项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵二项式（x+）n的通项为T r+1=C n r x r（）n-r=C n r x2r-n（0≤r≤n），∴（x+）n的二项展开式中存在常数项⇔n=2r⇔n为正偶数，∵n=4⇒n为正偶数，n为正偶数推不出n=4，∴n=4是（x+）n的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选：A．二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．2.长轴长为8，以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b==．所以所求的椭圆的方程为：．故选：D．求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A. 若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B. 若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC. 若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD. 若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．故选：C．由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f（x）=[]，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）的值为（）A. 899B. 900C. 901D. 902【答案】C【解析】解：令g（x）=[]，h（x）=，则g（1）=g（2）=g（3）=g（4）=g（5）=0，g（6）=g（7）=1，g（8）=g（9）=2，g（10）=3，g（11）=g（12）=4，g（13）=5，g（14）=6，g（15）=7g（16）=8，g（17）=9，g（18）=10g（19）=12，g（20）=13，g（21）=14g（22）=16，g（23）=17，g（24）=19g（25）=20，g（26）=22，g（27）=24g（28）=26，g（29）=28，g（30）=30h（1）=5，h（2）=7，h（3）=9，h（4）=10，h（5）=12，h（6）=13，h（7）=14，h（8）=15，h（9）=16，h（10）=17，h（11）=h（12）=18，h（13）=19，h（14）=20，h（15）=h（16）=21，h（17）=22，h（18）=h（19）=23h（20）=24，h（21）=h（22）=25，h（23）=h（24）=26，h（25）=h（26）=27，h（27）=h（28）=28，h（29）=29，h（30）=30，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）=901，故选：C．令g（x）=[]，h（x）=，分别求出x=1，2，3，…，30时，两个函数的值，相加可得答案．本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={-1，0，1，2}，B=（-∞，0），则A∩B=______．【答案】{-1}【解析】解：A∩B={-1}．故答案为：{-1}．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题______．【答案】“若a＜b，则am2＜bm2”【解析】解：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，故答案为：“若a＜b，则am2＜bm2”．直接写出逆命题即可．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．7.不等式2＜（）3（x-1）的解集为______．【答案】（-2，3）【解析】解：原不等式可化为：2＜23-3x，根据指数函数y=2x的增函数性质得：x2-4x-3＜3-3x，解得：-2＜x＜3，故答案为：（-2，3）．两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得．本题考查了指数不等式的解法，属基础题．8.在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为______．【答案】【解析】解：∵平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），∴tanθ==，∴tan（π+θ）=tanθ=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式，求得tan（π+θ）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．9.已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为______．【答案】12π【解析】解：∵直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，∴△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为：V===12π．故答案为：12π．△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，由此能求出其体积．本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法，考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||=______．【答案】【解析】解：由表格可知，z1=i，z2=2-i，则，∴||=|-1-2i|=．故答案为：．由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．11.已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是______．【答案】（0，4）∪（4，8）【解析】解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0a1=4（1-q）∴0＜a1＜8且a1≠4故答案为：（0，4）∪（4，8）由无穷等比数列{a n}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.设函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω=______．【答案】【解析】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移单位后，所得函数图象对应的函数解析式为y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）．再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω=，故答案为．先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=sin（ωx-ω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω 的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．13.2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有______种．【答案】80【解析】解：利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，故有C95-C43=80，故答案为：80．利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，即可求出．本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14.设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则=______．【答案】【解析】解：设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，a n=1+（n-1）d，S n=，其前n顶和为S n，=1则，=，，数列{}也为等差数列，可得，可得d=2，所以a n=2n-1，S n=n2，===．故答案为：．求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限．本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．15.已函数f（x）+2=，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】解：由当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当-1＜x≤0，可得0＜≤1，可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为f（x）=，由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），可将函数f（x）在x∈（-1，1]上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，当直线经过点（1，1），可得t =， 因此直线的斜率t 的取值范围是（0，]． 故答案为：（0，]．由g （x ）=f （x ）-t （x +1）=0得f （x ）=t （x +1），分别求出函数f （x ）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．16. 已知平面向量、、满足||=1，||=||=2，且=0，则当0≤λ≤1时，|-λ-（1-λ）|的取值范围是______．【答案】[] 【解析】解：设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，∵|||-|||≤|-|≤||+||，∴|||-1|≤|-|≤||+1，∵||2=|+（1-λ）|2=λ2||2+（1-λ）2||2+2λ（1-λ）•=4λ2+4（1-λ）2=8λ2-8λ+4=8（λ-）2+2又0≤λ≤1，∴2≤||2≤4，∴≤||≤2，∴-1≤|-|≤3，即-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．故答案为：[-1，3]．设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，得|||-1|≤|-|≤||+1，由||2=8（λ-）2+2和0≤λ≤1，得≤||≤2，得-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．本题主要考查向量模的求解，换元法与模的求解方法结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，A 1D =5． （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】解：（1）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，∴正四棱柱的侧面积为（4×3）×4=48，体积为V=（32）×4=36；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：D（0，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），E（，0，2），，，设与所成角为α，直线BE与平面ABCD所成角为θ，则cosα=，又是平面ABCD的一个法向量，故sinθ=cosα=，则．∴直线BE与平面ABCD所成的角为．【解析】（1）直接由棱柱的表面积与体积公式求解；（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．本题考查棱柱体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．18.如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB=θ，记tanθ=t．（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？【答案】解：（1）设BP=t，CP=1-t（0≤t≤1），所以∠DAQ=45°-θ，DQ=A tan（45°-θ）=，则：CQ=1-．所以：PQ==，故：l=CP+CQ+PQ=1-t+=1-t+1+t=2．所以△CPQ的周长为定值2．（2）S=S正方形-S△ABP-S△ADQ，=1--=2-．当且仅当t=时，摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2-hm2．【解析】（1）直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）=kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f （x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．（1）若函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；（2）证明：函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【答案】解：（1）函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，可得|3x+-3x|≤1在[4，+∞）上恒成立，即|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，可得|m|≤4，即-4≤m≤4；（2）证明：|f（x）-g（x）|=|2-2x|，由x≥2时，由x2-（x2-1）=1＞0，即x＞，可得|f（x）-g（x）|=2（x-）=，由y=x，y=在x≥2递增，可得y=x+在x≥2递增，即有x+≥2+，则＜=2（2-）＜1，即为|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，故函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【解析】（1）由题意可得|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围；（2）由弱渐近函数的定义，只要证得|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，结合函数的单调性即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y=±x．求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1•x2为常数；（3）我们知道函数y=的图象是由双曲线x2-y2=2的图象逆时针旋转45°得到的，函数y=的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y=的性质（不必证明）．【答案】解：（1）设双曲线的方程为，由2a=4，a=2，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则=，则b=2，∴双曲线的方程为：；（2）法一：由题不妨设，，则，则P在双曲线上，代入双曲线方程得x1•x2=4；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然x=±2，则x1•x2=4；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，（k≠0，k≠±），则，则，同理，则，此时，，代入双曲线方程得t2=4（k2-3），则x1•x2═=4；（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，，②顶点坐标为，，焦点坐标：，，实轴长：，虚轴长：2b=2，焦距：2c=4；③范围：x≠0，，④渐近线：．【解析】（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．本题考查双曲线的方程及性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．21.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{a n}满足a n+1=，则称数列{a n}为“Γ数列．已知数列{b n}为“Γ数列”．（1）若数列{b n}中，b1=1，k=3、d=4、c=0，试求b2019的值；（2）若数列{b n}中，b1=2，k=4、d=2、c=1，记数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】解：（1）数列{b n}为“Γ数列”中，b1=1，k=3、d=4、c=0，所以：当n≥1时，n∈N+时，b3n+1=0，又，即：b2017=0，b2018=b2017+d=0+4=4，b2019=b2018+d=4+4=8．（2）因为数列{b n}是“Γ数列”，且b1=2，k=4，d=2，c=1，所以：b4n+1-b4n-3=1×（b4n-1+d）-b4n-3=（b4n-2+2d）-b4n-3=（b4n-3+3d）-b4n-3=3d=6，则：数列前4n项中的项b4n-3是以2为首项，6为公差的等差数列．易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．所以：S4n=（b1+b5+…+b4n-3）+[（b2+b3+b4）+（b6+b7+b8）+…+（b4n-6+b4n-5+b4n-4）+（b4n-2+b4n-1+b4n）]，=，=12n2+8n．由于不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，所以：，设=，则：λ≥（∁n）max，所以：c n+1-∁n==．当n=1时，-24n2+8n+20＞0，当n≥2时，-24n2+8n+20＜0，所以：c1＜c2＞c3＞…，所以∁n的最大值为．即．（3）{b n}为等比数列，设数列{b n}的公比，由等比数列的通项公式：，当m∈N+时，b km+2-b km+1=d，即：bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d，①q=1，则d=0，故：b n=b．②当q≠1时，则：，所以q km为常数，则q=-1，k为偶数时，d=-2b ，经检验，满足条件数列{b n}的通项公式为：．【解析】（1）直接利用信息求出数列的项．（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．第11页，共11页。
2019年上海市松江区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
．
6．（4 分）已知双曲线标准方程为 ﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为
．
7．（5 分）若向量 ， 满足（ + ） ＝7，且| |＝ ，| |＝2，则向量 与 夹角为
．
8．（5 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 c2＝（a﹣b）2+6，
C＝ ，则△ABC 的面积是
．
9．（5 分）若函数 f（x）＝
，则 y＝f（x）图象上关于原点 O 对称的点
共有
对．
10．（5 分）已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点，若| |＝| |，则 • 的最小
值是
．
11．（5 分）已知向量 ， 是平面 α 内的一组基向量，O 为 α 内的定点，对于 α 内任意
一点 P，当 ＝x +y 时，则称
其中的真命题是
．（请写出所有真命题的序号）
12．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）•f（﹣x）＝1 和 f（1+x）•f（1﹣x）＝4
对任意的 x∈R 都成立．若当 x∈[0，1]，f（x）的值城为[1，2]，则当 x∈[﹣100，100]时，
函数 f（x）的值域为
．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5
2019 年上海市松江区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题满分 54 分)，本大题共有 12 题，第 1-6 题每个空格填对得 4 分，第 7-12 题每个空格得 5 分，否则一律得零分
1．（4 分）设集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x| ＜0}，则 A∩B＝
．
2．（4 分）若复数 z 满足（3﹣4i）•z═4+3i，则|z|＝
2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。
故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。
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2（2019黄浦一模）. 双曲线2212y x -=的渐近线方程为2（2019奉贤一模）. 双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =u r ，则u v= 2（2019金山一模）. 抛物线24y x =的准线方程是 2（2019浦东一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标为3（2019杨浦一模）. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为4（2019静安一模）. 若直线22(273)(9)30a a x a y -++-+=与x 轴平行，则a 的值是4（2019普陀一模）. 若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r，则直线l 的方程为5（2019徐汇一模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是6（2019崇明一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是6（2019松江一模）. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 7（2019闵行一模）. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为7（2019崇明一模）. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于8（2019虹口一模）. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为 8（2019奉贤一模）. 椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为9（2019静安一模）. 以两条直线1:20l x y +=和2:350l x y ++=的交点为圆心，并且与直线315x y ++相切的圆的方程是12（2019徐汇一模）. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为 12（2019黄浦一模）. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为3π的两条直线，且与圆心 为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l的距离分别为1d 、2d ，那么122d d +的最小值为12. 若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为 12（2019奉贤一模）. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是13（2019普陀一模）. 下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)± C. 实轴长为12 D. 顶点坐标为(6,0)±13（2019金山一模）. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >或1m <-B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<-13（2019松江一模）. 过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++= C. 220x y -+= D. 210x y --=14（2019静安一模）. 已知椭圆的标准方程为222116x y m+=(0)m >，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）A. B. C. D. 14（2019青浦一模）. 长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 221167x y += 16（2019宝山一模）. 设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则12|2|MF MF MN +-u u u u r u u u u r u u u u r的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对16（2019松江一模）. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36-C. 36π+D. 36π-16（2019黄浦一模）. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ）A. 22(||1)(1)0x y x y ---+= B.22(1)0x y -+=C. (||1)0x y --=D. 0=18（2019闵行一模）. 已知抛物线2:2y px Γ=（0p ≠）. （1）若Γ上一点(1,)M t 到其焦点的距离为3，求Γ的方程；（2）若2p =，斜率为2的直线l 交Γ于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原点，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，求点M 的坐标.18（2019普陀一模）. 已知曲线22:11612x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线Γ上的任意一点.（1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设点C 满足AC CB λ=u u u r u u u r（0λ>），且||PC 的最大值为7，求λ的值.20（2019宝山一模）. 已知椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点为1F 、2F .（1）求以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆Γ上点M 满足123F MF π∠=，求M 的纵坐标M y ；（3）设(0,1)N ，若椭圆Γ上存在两不同点P 、Q 满足90PNQ ∠=︒，证明直线PQ 过定点，并求该定点的坐标.20（2019黄浦一模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=. （1）若抛物线C 的焦点与Γ的焦点重合，求C 的标准方程；（2）若Γ的上顶点A 、右焦点F 及x 轴上一点M 构成直角三角形，求点M 的坐标； （3）若O 为Γ的中心，P 为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B ，作BQ ∥OP ，BQ 交y 轴于点Q ，交Γ于点N ，求证：22BN BQ OP ⋅=u u u r u u u r u u u r .20（2019奉贤一模）. 已知抛物线2y x =上的A 、B 两点满足2OA OB ⋅=u u u r u u u r，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F . （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得||||MF MO λ=（0λ>），若请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标.20（2019静安一模）. 设0m >，椭圆22:13x y m mΓ+=与双曲线2222:C m x y m -=的焦点相同.（1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k 、2k 的直线1l 、2l ，分别交双曲线于点P 、Q （P 、Q 不同于右顶点），若121k k =-，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出该定值； （3）设点(0,2)T ，若对于直线:l y x b =+，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l对称，且9410TA TB <⋅<u u r u u r，求实数b 的取值范围.20（2019金山一模）. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ； （3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA V 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.20（2019青浦一模）.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为4，渐近线方程为3y x =±，求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P 的直线分别交两条渐近线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且P 是线段AB 的中点，求证：12x x ⋅为常数； （3）我们知道函数1y x=图像是由双曲线221x y -=的图像逆时针旋转45°得到的，函数 332y x x =+图像也是双曲线，请尝试写出双曲线332y x x=+的性质（不必证明）.20（2019浦东一模）. 已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）.（1）若(2,3)d =u r 是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若||1PA =，||5PB = ，||2PC =，||4PD =，试求双曲线Γ的方程； （3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.20（2019松江一模）. 已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为22，直线l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求曲线Γ的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求△AOB 面积的取值范围.20（2019徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的长轴长为1，直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A 、B 两点. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，ON =u u u r u u u r ，求k 的值；（3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r，当4556λ≤≤时，求△OAB 的面积S 的范围.20（2019杨浦一模）. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.20（2019崇明一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.20（2019虹口一模）. 设椭圆22:12x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P 、Q .（1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程； （2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点， 求证：点Q 、R 、S 共线；（3）如图2，点T 是直线:2l x =上任意一点，设直线PT 、FT 、QT 的斜率分别为PT k 、FT k 、QT k ，求证：PT k 、FT k 、QT k 成等差数列.。