高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用

导数的运算

1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n

(x

)'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、

x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .

2. 求导数的四则运算法则：

()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2

)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''

≠-=??? ??v v u v vu v u

注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 '

?'='x u x u y y

一、求曲线的切线（导数几何意义）

导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；

函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-

1.曲线

在点处的切线方程为（ ）。

A:

B:

C:

D:

答案详解B 正确率: 69%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。 对求导得

，代入

得

即为切线的斜率，切点为

，所以切线方

程为

即

。故本题正确答案为B 。

2.

变式一：

3.设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))

f 处切线的斜率为

( )

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．1

2-

4.已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是

( )

A.21y x =-

B.y x =

C.32y x =-

D.23y x =-+

变式二：

5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的

斜率为2，则点P 的坐标为 .

6.设曲线1

*()n y x

n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++L 的

值为 .

7.已知点P 在曲线y =

4

1

x

e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4

π

) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ

变式三：

8. 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )

A.1

B. 2

C.－1

D.－2

9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和215

94

y ax x =+-都相切，则a 等于

( )

A ．1-或25-

64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74

-或7

10.若曲线1

2

y x -=在点1

2,a a -?

? ???

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

A 、64

B 、32

C 、16

D 、8

11.（本小题满分13分） 设1

()(0)x

x

f x ae b a ae =+

+>.（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值； （II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3

2

y x =；求,a b 的值.

12.若曲线

()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导， 如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数； 如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数； 如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.

2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间. 1、函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是

( )

A. )2,(-∞

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ),2(+∞

2.函数3

2

()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .

3.已知函数

，

，讨论的单调性。

答案详解由题意，

的定义域是，所以有。设

，

二次方程的的判别式 。 当，即

时， 对一切

都有。此时，在上

是增函数； 当

时，，此时在上也是增函数；

当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。

此时在上单调递增，在上单调递减，在

上单调递增。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。

首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。

4.已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

答案详解（Ⅰ）当时，，，故。所以曲线在点

处的切线的斜率为。

（Ⅱ）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：

（1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以在

内是增函数，在

内是减函数；函数在处取得

极大值

， 且

；函数

在

处取得极小值

，且

。

（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以在

内是增函数，在

内是减函数；函数在处取得

极大值

，且

；函数

在

处取得极小值

，且

。

解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。 （Ⅰ）求出这种情况下，函数在

处的导数，即为切线斜率。

（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，

① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0.

2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；

(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.设函数()x

f x xe =，则（ ）

A. 1x =为()f x 的极大值点

B.1x =为()f x 的极小值点

C. 1x =-为()f x 的极大值点

D. 1x =-为()f x 的极小值点

答案详解D 正确率: 53%, 易错项: B 解析:本题主要考查函数极值的计算。

令导函数求得

，且在上小于零，在上大于零，则

在

上单调递减，在

上单调递增，

为的极小值点。

2.函数

32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.

3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13

()ln 1,22

f x a x x x =+

++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.

4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x

（单位：元/千克）满足关系式210(6)3

a

y x x =+--，其中3

每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值.

（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在AB 上，是被切去

的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2

cm 最大，试问x 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V )(3

cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的

高与底面边长的比值.

答案详解（1），所以

时侧面积最大。

（2），所以

。当

时，递

增，当

时，递减，所以，当

时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比

值为。

解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。

（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。 （2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。

四、判断函数的零点

1.函数f(x )=23x

x +的零点所在的一个区间是

A.（－2，－1）；

B.（－1,0）；

C.（0,1）；

D.（1,2）

答案详解B 正确率: 64%, 易错项: C 解析:本题主要考查连续函数的性质。

由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可

采用代入排除的方法求解。 A 项，故A 项错误； B 项，，则零点定理知有零点在区间

上，故B 项正确； C 项

，故C 项错误；D 项

，故D 项错误。综上所述：

符合题意的是B 项。故本题正确答案为B 。

2.设函数1

()ln (0),3

f x x x x =

->则()y f x =

( )

A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点；

B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点；

C.在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点；

D.在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点.

答案详解D

正确率: 33%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的应用。

定义域为，先对

求导，

，解得在单调递减，单调递增。

讨论上，

在其上单调，，

，故在

上无零点；讨论

上，

在其上单调，，

，故

在

上有零点。

故本题正确答案为D 。

易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

3.已知函数y ＝x 3

－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝

A.－2或2 ；

B.－9或3 ；

C.－1或1；

D.－3或1

答案详解A 正确率: 53%, 易错项: C 解析:本题主要考查导数在函数中应用。

对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大

值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－2。可知

，

。

故本题正确答案为A 。

4. 16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y = 的极值点. 已知a b ，是

实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．

答案详解（1）由题设知，且，，解得

。

（2）由（1）知，因为

，所以的根为，，

于是函数

的极值点只可能是或

。

当时，，

当时，，故是的极值点，

当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，

先讨论（）的零点，即与的交点的个数：时，由图象得的零点为和；

时，由图象得的零点为和；

时，由图象得的零点为，，；

时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；

时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。令，现在考虑（）的零点：

当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在

，，三

个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。 当

时，

有两个根

和，而

有三个不同的根，分别在，，

三个区间内，有两个不同的根

和，故

有个零点。 当

时，

有三个不同的根，，，满足

，

，，，而

（，，）

有三个不同的根，故有个零点。

综上可知，当

时，函数有个零点；当

时，函数有个零点。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出

的值。

（2）由（1）问所得的，求出

的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真

假后列出结果。

（3）先结合图象分类讨论（

）的零点，再令

，分类讨论

（

）的零点。

五、导数与图像

1．函数

()()

1n

m

f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是

A ．1,1m n ==

B ．1,2m n ==

C ．2,1m n ==

D ．3,1m n ==