导数题型-极值最值型

题型三极值最值型

1.求函数的极值

必背结论一极大值极小值

⑴在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值；

⑵在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值；

⑶极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

注：①极值是局部概念，只能反映在某一点附近的大小状况.

②在定义域或某区间上，极值可以不止一个，也可没有.

③极大值不一定大于极小值.

④极大值与极小值交替出现.

⑤极值只能出现在区间的内部，不会出现在区间端点。

必背结论二极值的判定

一般的，当函数y=f(x)在x0处连续时

⑴如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)为函数的极小值；

⑵如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)为函数的极大值；注：①导数为0的点不一定是极值点，例如y＝x3在x＝0处的导数是0，但它并不是极值点.

②对于可导函数，极值点的导数必为0.

③函数导数不存在的点也可能是极值点.

例如y＝|x|在x＝0处取得极值，但导数不存在.

例1.函数f(x)＝

3e x

3＋4x²

，求f(x)的极值点.

例2.求f(x)＝x3－3x²－2在(a－1，a＋1)(a＞0)内的极值.

例3.f(x)＝x²－1－2alnx(a≠0)，求f(x)的极值.

例4.f(x)＝ln(x＋1)＋a(x²－x)，讨论f(x)极值点的个数.

2.求函数的最值

必背结论三最大值，最小值

⑴函数f(x)在区间[a，b]的最大值点x0是指：∀x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，最大值在极大值点取得，或者在区间的端点取得.

⑵函数f(x)在区间[a，b]的最小值点x0是指：∀x∈[a，b]，都有f(x)≥f(x0)，最小值在极小值点取得，或者在区间的端点取得.

注：最值点不一定为极值点，极值点也不一定是最值点，当定义域为开区间时，最值一定是极值。

解题模板求函数在闭区间上的最值的步骤

⑴求f(x)在(a，b)内的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出f(x)在[a，b]的最值.

例1.求f(x)＝x²－alnx在[1，＋∞)上的最小值.

例2.f(x)＝ax²＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.当a²＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求在区间(－∞，－1]上的最大值.

例3.求f (x )＝e x

x －1在[m ，m ＋1](m ＞1)上的最小值.

3.已知极值求参数

例1.函数f(x)＝x3＋ax²＋bx＋a²(a，b∈R)在x＝1处的极值为10，求实数a，b的值.

例2.若x＝2是f(x)＝x－1

2

ax²－ln(1＋x)的极值点，求a的值.

例3.求f(x)＝2x3＋3ax²＋3bx＋8c在x＝1和x＝2时取得极值，求a，b的值.

例4.函数f(x)＝e x

x²－

k(

2

x＋

lnx)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

例5.f(x)＝e2x－e－2x－cx有极值，求c的取值范围.

例6.f(x)＝x3＋ax²＋(a＋6)x＋1在(－2,2)上既有极大值又有极小值，求a的范围. 例7.函数f(x)＝ax3＋ax²＋7x不存在极值点的充要条件是.

4.已知最值求参数

例1.f(x)＝x3＋3x²－9x＋1在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.

例2.f(x)＝－1

3

x3＋

1

2

x²＋2ax，0＜a＜2在[1，4]上最小值为－

16

3

，求f(x)在该区

间上的最大值.

2ax＋a²－1

x²＋1在[0，＋∞)上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

例3. f(x)＝

a

x－(a＋1)lnx在[1，e]最小值为－2，求a.

例4. f(x)＝x－