GM(1,1)模型建立与预测方法
GM模型(1,1)及新陈代谢模型的应用
实验四 GM 模型(1，1)及新陈代谢模型的应用实验目的：熟练应用GM 模型(1，1)及新陈代谢模型进行人口预测。
实验内容：GM(1，1)模型的原理及其应用一、原理GM （1，1）主要特点是能够用较短的基础数据序列，通过系统过去和现在采集的数据，将无规律的数据通过累加找出规律，然后对系统未来的发展趋势做出预测。
在当前土地资料不完整的情况下，运用GM （1，1）模型，进行预测研究无疑十分适宜。
其基本思路是将无规律的原始数据，通过一定方法的处理，变成比较有规律的时间序列数据，再建立模型进行预测。
二、建立GM （1，1）模型的步骤如下：⑴按关系式()()()()∑==ki i x k x101求原始数列()0x 的1--AGO 序列()1x 。
即：1、建立原始序列，并记作：X （0）＝{X (0)(1)，X (0)(2)，……X (0)(n)} 2、对原始序列作一次累加生成，得到X （1）＝{X (1)(1)，X (1)(2)，……X (1)(n)} 其中：X (1)(t)＝X (0)(1)＋ X (0)(2)＋ ……＋ X (0)(t)⑵求数据矩阵()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-=1121::1322112121111111n x n x x x x x B 建立数据列()()()()()()()Tn n x x x Y 000,...,3,2=⑶用最小二算法求参数列∧a()n T TY B BB b a a 1-∧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其时间函数为：()()()()ab e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∧1101⑷求导还原为：()()()()ak e a b x a k x-∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+1100⑸计算()()t x 0与()()t x 0ˆ之差及相对误差： 记作：()()()()()()()()()()()%100,ˆ000⨯=-=t x t e t q t x t x t e o o最后还需检验模型的精度，如不满足精度要求还需对模型进行修正，才能进行预测。
GM(1_1)模型,灰色预测
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。
目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。
（二） 样本不需要有规律性分布。
（三） 计算工作量小。
（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。
（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。
（六） 灰色预测精准度高。
二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。
灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。
同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。
因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。
GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。
GM(1,1)模型
灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测问题的讨论王正发(国家电力公司西北勘测设计研究院，西安，710001)关键词灰色系统模型灾变预测误差摘要在简述灰色系统预测基本原理的基础上，用灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测，并用实例进行检验，结果表明预测精度是令人怀疑的，近期不宜用灰色系统模型进行水文灾变预测。
1 水文系统的灰色特征灰色系统理论认为：部分信息已知，部分信息未知的系统叫―灰色系统‖。
水文系统就其本身而言具有灰色系统的一些基本特征，即水文系统中长期观测到的水文资料只是水文系统中极少的一部分，如有限年代的雨量、流量记录等；更有未知信息部分，如未来年代的雨量大小、流量丰枯，洪水、干旱的出现时刻以及水环境的前景变化等；因此，水文系统是一灰色系统，可用灰色系统理论对其进行分析、研究。
2 灰色系统预测的基本原理2．1 灰色预测及其分类以灰色系统理论的GM(1，1)模型为基础的预测，叫灰色预测。
它可以分为以下7类：(1)数列预测：对某一事物发展变化趋势的预测。
(2)灾变预测：即灾变出现时间的预测，灾变有多种，如洪水、干旱、涝等灾害。
(3)季节灾变预测：指对灾害出现在一年内的某个特定时区的预测。
(4)拓朴预测：也叫波形预测、整体预测，是用GM(1，1)模型来预测未来发展变化的整个波形。
(5)系统预测：指对系统的综合研究所进行的综合预测。
(6)包络GM(1，1)灰色区间预测：参考数列分布趋势构造一个上、下包络线为边界的灰色预测带，建立上、下2个包络模型。
(7)激励——阻尼预测：将激励、阻尼因数以量化形式反映在GM(1，1)模型中的预测，叫激励——阻尼预测。
本文主要讨论GM(1，1)模型用于水文灾变预测的问题。
2．2 GM(1，1)模型GM(1，1)模型是适合于预测用的1个变量的一阶灰微分方程模型，它是利用生成后的数列进行建模的，预测时再通过反生成以恢复事物的原貌。
假定给定时间数据序列｛x(0)(k)，k＝1，2，…，n｝，作相应的1阶累加序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝，则序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝的GM(1，1)模型的白化微分方程为：dx(1)(t)/dt + ax(1)(t)=u (1)经过拉普拉斯变换和逆变换，可得到:x(1)(k十1)＝(x(0)(1) –u/a)e (-k)+u/a (2)利用最小二乘法进行参数辨识，参数向量A的估计公式为：＝(B T B) -1B T Y N (3)其中：式(3)即为GM(1，1)模型的一般数学表达式。
灰色预测GM(1,1)模型实现过程.docx
1⑹Y n = (X (0)(2), X (0)(3)，…,X °)( n ))T⑺灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型 GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式设有变量X (0) = {X (0) (i) , i=l,2 , ..., n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对 X (0)进行一次累加(1 — AGO, Acumulated Generating Operator) 生成一次累加序列:X (1) = {X (1)(k), k = 1 , 2 ,…,n}其中kX ⑴(k)= X (0)(i)i =4X (1)(k) = (X (0)(1) — u )e 」(k ‘) a式中：k 为时间序列，可取年、季或月。
2. 辩识算法记参数序列为a , a = [a,u]T ,a 可用下式求解：T -1 T ”a = (B B) B Y n式中:B —数据阵；Y n —数据列1 (1) , (1)卜 2(X (1) +X (2))—1 (X (1) (2) +X (1) (3)) 2 —2(X (1)(n -1) +X (1)(n))=X ⑴(k —1)+ X (°)(k)对X (1)可建立下述白化形式的微分方程dX(1)dt十 aX (1) = u即GM(1,1)模型。
上述白化微分方程的解为(离散响应)：(1)(0)U _ak , U X ()(k+1) = (X ()(1) — )e +a a (1)⑵⑶3. 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量， k ・{n+1,n+2,…}寸刻的预测值， 必须将GM 模型 所得数据X ⑴(k+1)(或X ⑴(k))经过逆生成即累减生成(I — AGO)还原为X(0)(k+1)(或X (0)(k))，即：kX ⑴(k)八 X (0)(i)i 4 k J八 X (0)(i) + X (0)(k)i 4、r k /、X (0)(k) = X (1)(k)_ 7 X (0)(i)i 二X (0)(i)，所以 X (0)(k)= X ⑴(k) - X (1)(k -1)。
灰色系统GM(1,1)预测模型
5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型的建立由于统计数据信息不完整，故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。
记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。
Step1：令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =其中)()()0(k x k x =，...3,2,1=kStep2：令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，对)0(x 作累加生成，即得到新的序列)1(x ，(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n =(1)(0)(1)(1)x x =(1)(0)1()()km x k x m ==∑Step3：令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- （5.9）(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n =则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为b k az k x =+)()()1()0( （5.10）式中：b a 、为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。
其中，∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---=----=n k nk n k n k n k n k n k n k n k n k n k k z k z n k x k z k z k z k z b k z k z n k x k z n k x k z a 222)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(22)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()( 经变换后得到)()()1()0(k az b k x -= （5.11）GM(1,1)模型的求解在（5.11）两端同时乘以ak e 得，(0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b +=即(1)()()ak ak t z k e be d C -=+⎰ ak b Ce a-=+ 将代入上式中，可得0(1)b C x a=- 于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值(1)0ˆ(1)[(1)]ak b b x k x e a a-+=-+ （5.12） 我们把上式（5.12）作为预测方程。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
灰色预测GM(1,1)
南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。
原始序列X (0)：表1 南昌市民用汽车保有量年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值；通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到：α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749%第三步：得出时间响应预测函数模型为：()()858996.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X第四步：进行灰色关联度检验。
真实值：{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值：{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。
灰色系统GM(1,1)模型
ε=
1 ε 0 ( k ), ∑ n k =1
2 S2 =
1 ε 0 (k ) − ε ∑ n k =1
(
)
分别为残差的均值、方差。
s2 1. C = 称为均方差比值，对于给定 s1
的 C0 > 0 ,当 C < C0 时，称模型为均方差比合 格模型。 p = p ( ε 0 ( k ) − ε < 0.6745S1 ) 称为小误差概率，对 2. 于给定的 p0 > 0 ,当 p > p0 差概率合格模型。 ，称模型为小误
则 ε0 (k ) △ 1.对于 k ≤ n ，称，k = x ( k ) 为 k 点的模拟相
0
对误差，称 为平均相对误差。 2.称1− ∆ 为平均相对精度，1 − ∆ k 为 k点的模拟 精度。 3.给定α ，当 ∆ < α 且∆ n < α 成立时，称模型 为残差合格模型
,均方差比值为一
计算小误差概率： 0.6745S1 = 4116.80
ε (1) − ε = 18.75, ε ( 3) − ε = 55.25, ε ( 2 ) − ε = 24.75 ε ( 4 ) − ε = 11.75
所以p = p ( ε ( k ) − ε < 0.6745S1 ) = 1>0.95,小误差概率 为一级，故可用
精度检验等级参照表
指标精度 等级
相对误 差α 0.01 0.05 0.10 0.20
关联度
ε0
0.90 0.80 0.70 0.60
均方差比 小误差概 值 C 率 p
0
0
一级 二级 三级 四级
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目录摘要 (1)关键词 (1)1.引言 (1)1.1国内旅游人数预测的意义： (1)1.2国内旅游的相关规定： (1)1.3国内旅游人数现状： (2)2.国内旅游人数预测 (3)2.1．灰色预测模型GM(1,1)的基本原理 (3)2.2基于GM(1,1)模型的国内旅游人数预测 (5)2.3基于GM(1,1)模型的国内城镇居民旅游人数预测 (7)3.国内城镇居民季度旅游人数的预测 (10)3.1移动平均趋势剔除法 (10)3.2 GM(1，1)趋势剔除法 (13)3.3模型比较 (18)4. 总结 (18)参考文献 (18)Abstract (20)Key Words (20)中国国内旅游人数基于GM(1,1)的预测数学与计算科学学院数学与应用数学专业吴丹学号：2002144031【摘要】旅游人数的科学预测为各个相关旅游部门合理规划，制定各项工作有着重大意义。
本文在介绍国内旅游人数现状的基础上，通过建立GM(1,1)模型，分别对国内旅游人数，国内城镇居民旅游人数进行了预测；以及运用移动平均趋势剔除法和GM(1,1)趋势剔除法对国内城镇居民季度旅游人数进行预测。
经检验，GM(1,1)模型的预测精度更高，预测结果更为接近真实值，可以为实际的预测工作提供参考。
【关键词】国内旅游人数；GM(1,1) 模型；移动平均；预测1.引言1.1国内旅游人数预测的意义旅游是整个经济发展到一定阶段的产物，随着经济的发展，人们可支配收入的增多，旅游业开始兴起，旅游市场呈迅速扩张态势。
作为朝阳产业，旅游业对我国经济的发展产生日益明显的推动作用。
在旅游业的经营过程中，能对旅游人数进行准确预测更是十分的重要。
从宏观产业经济发展的角度讲，国内旅游人数预测为国家旅游经济主管部门制定未来旅游发展的总体规划提供了依据参考。
从微观角度看，旅游企业需根据对国内旅游人数的预测进行合理的支配有限的资源以及最大限度降低风险和获得最大收益。
同样为企业制定战略计划和日常经营管理提供依据。
建立科学的、可操作的国内旅游人数预测模型，进行准确预测是实现我国旅游业持续健康发展的前提。
但具体用什么数学模型来进行旅游人数的预测分析至今没有一个统一的范式。
目前常用的主要是基于统计学的数学模型：时间序列预测模型、回归模型(包括线性的和非线性的回归模型)。
但目前已经在很多领域广泛应用的灰色预测模型，季节模型的应用很少。
本文主要运用灰色预测模型对国内旅游人数进行预测，以及运用季节模型对国内城镇居民各季度旅游人数进行预测。
1.2国内旅游的相关规定国内旅游市场包括城镇居民旅游和农村居民旅游两部分[1]。
城镇居民旅游包括居民离开长久居住地到国内其他地方从事游览、度假、参观、探亲访友、商务/公务、疗养、文化、体育、宗教活动等。
农民国内旅游的界定是农民不以谋求职业、获取报酬为目的，乘坐长途交通工具，在外停留一夜以上半年以内，到国内其他地方的旅游。
包括：参加旅行社组织的团队旅游；离开本县的探亲访友(包括在外务工的农民回家探亲旅行)；宗教朝拜；为集体或私人企业外出采购、洽谈商务、参加会议等；外出参加有组织的文娱、体育和节庆活动；半年以内的短期培训、学习或进修。
1.3国内旅游人数现状通过表1，我们对1999年以来国内旅游人数情况一目了然。
很显然，2003年我国的国内旅游在1999至2002年的连年增长之后的一次下滑，这是由于突如其来的SARS带来的冲击。
这使得中国旅游业出现了前所未有的下滑，国内旅游也不能例外。
2003年国内旅游人数为8.7亿人次，与2002年的8.78亿人次相比较，下降0.91％，但2003年农村居民旅游人数为5.19亿人次，呈上升趋势，这是由于SARS给农村居民国内旅游带来的负面影响小于城镇居民，因此农村居民旅游人数仍然有20.2％的增长；并且2003年的下半年，SARS过后，我国国内旅游便出现了恢复的态势，所以全年综合，下降幅度不是很大。
2004年是经历SARS 后，旅游业全面复苏的一年，国内旅游人数有了一个巨大的增幅，比2003年增长26.67％，比2002年增长25.51％。
由于SARS是一个特殊情况，所以这个增幅应该视作2003年和2004年常规的叠加[2] [3]。
表1 1999-2004年中国国内旅游人数发展情况资料来源：来自1999年到2004年的《国家旅游年鉴》和中国行业研究网我国是个农业大国，人口的70％(九亿)是农民。
在国内旅游人数中，从总值上看，农民旅游的人次多于城镇居民，但就消费水平来说，城镇居民的人均花费占绝大多数，而且城镇居民旅游人次率远远高于农民出游率，因此我国的国内旅游仍然可以看作以城镇居民为主，所以有必要按季度对城镇居民旅游人数统计，使得旅游相关部门能更及时地制订相关规划。
从表2我们可以看到，自1999年到2004年期间，城镇居民各季度旅游人数的总体为上升趋势。
除2003年第二季度城镇居民旅游人数为0.57亿人次外，同年各季度的旅游人数变化幅度相对平缓。
这是由于当时正处于SARS最为严重时期，2003年“五一”黄金周的旅游业几乎跌入谷底。
但整体恢复态势强劲，2004年同期，城镇居民旅游人数为1.10亿人次，较之2002年的第二季度仍然有明显增长。
表2 1999-2004年城镇居民季度旅游人数情况(亿人次)资料来源：来自1999年到2004年的《国家旅游年鉴》[4]和中国行业研究网[5]2.国内旅游人数预测2.1．灰色预测模型GM(1,1)的基本原理GM(1,1)反映了一个变量对时间的一阶微分函数，其相应的微分方程为u ax dtdx =+)1()1( 式中(1)x 为经过一次累加生成的数列；t 为时间；u a ,为待估参数，分别称为发展灰数和内生控制灰数[6]。
1） 建立一次累加生成数列。
设原始数列为n i n x x x x x ,,2,1)},(,),3(),2(),1({)0()0()0()0()0( ==按下述方法做一次累加，得到生成数列(n 为样本空间)：(1)(0)1()(),im x i x m ==∑ 1,2,,i n =2） 利用最小二乘法求参数u a 、。
设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1)]()1([211)]3()2([211)]2()1([21)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ， []Tn n ，xx x y )(),3(),2()0()0()0( =参数辨识u a 、：n T T y B B B u a a1)(ˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 3） 求出GM(1,1)的模型：aue a u x i xai +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(， ⎩⎨⎧=--==n i i x i x i xx x,,3,2),1(ˆ)(ˆ)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0()1()0( 4） 对模型精度的检验。
检验的方法有残差检验、关联度检验和后验差检验，在本文中采取后验差检验。
首先计算原始数列(0)()xi 的均方差0S 。
其定义为1200-=n S S ，∑=-=n i x i x S 12)0()0(20])([，∑==n i i x n x 1)0()0()(1然后计算残差数列)(ˆ)()()0()0()0(i xi x i -=ε的均方差1S 。
其定义为 1211-=n S S ，[]∑=-=ni i S 12)0()0(21)(εε，∑==n i i n 1)0()0()(1εε， 由此计算方差比：01S S c =和小误差概率：{}0)0()0(6745.0)(S i p ⋅<-=εε 最后根据预测精度等级划分表(见表3)，检验得出模型的预测精度。
表3 预测精度等级划分表5） 如果检验合格，则可以用模型进行预测。
即用)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(n x n x n x-+=+，)1(ˆ)2(ˆ)2(ˆ)1()1()0(+-+=+n x n x n x ，……作为 ),2(),1()0()0(++n x n x的预测值。
2.2基于GM(1,1)模型的国内旅游人数预测由表(一)我们可以得到1999-2004年中国国内旅游人数的原始数据。
但由于2003年受到SARS 的突发性影响，国内旅游人数出现波动，在对国内旅游人数的预测时，不适宜使用。
需要对2003年的数据进行处理。
即用2002年的数据与2004年的数据相加后取平均值，得到：(8.78+11.02)/2＝9.9，即修改过后的2003年的国内旅游人数为9.9亿人次。
由此可得)}6(,),2(),1({)0()0()0()0(x x x x ={7.19,7.44,7.84,8.78,9.9,11.02}=由于(1)(0)1()(),im x i x m ==∑ 1,2,,i n =，所以有}17.52,15.41,25.31,47.22,63.14,19.7{)}6(,),2(),1({)1()1()1()1(==x x x x10.91118.55126.86136.20146.661B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 7.447.848.789.911.02n y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4672.1858139.18139.185T B B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ()10.001253180.03488350.03488351.17102TB B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1335.006444.98T n B y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-102783846.610394349.0)(ˆ1n TT y B B B u a a， 所以58.71252ua=- 得到GM(1,1)预测模型为(1)0.10394349ˆ(1)65.9025258.71252ixi e +=-，进行后验差检验 首先计算原始数列)0(x的均方差0S 。
∑==n i i x n x1)0()0()(1=8.695 ∑=-=ni xi x S 12)0()0(20])([ 1200-=n S S =1.4139 然后计算残差数列)(ˆ)()0()0()0(i xi x -=ε的均方差1S 。
其中残差值于是有 ∑==61)0()0()(61i i εε=0.01066 []∑=-=ni i S 12)0()0(21)(εε16211-=S S =0.1272 由此计算方差比01S S c ==0.08996 小误差概率(0)(0)0{|()|0.6475}p i S εε=-<⋅(0)(0)|(1)|εε-＝0.01066<0.91550025,(0)(0)|(2)|εε-＝0.21053<0.91550025(0)(0)|(3)|εε-＝0.18021<0.91550025,(0)(0)|(4)|εε-＝0.11755<0.91550025(0)(0)|(5)|εε-＝0.02899<0.91550025,(0)(0)|(6)|εε-＝0.06892<0.91550025后验差检验c=0.08996，p=1，预测精度等级为好。