导热基本定律和导热微分方程
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2.5 导热基本定律与稳态导热
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当 Bi→∞ 时，意味着表面传热
系数 h →∞ （Bi=hδ/λ ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就 立刻降到流体温度 T∞ 。 定向点O’就在平壁表面上
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当Bi→0时，意味着物体的热导 率很大、导热热阻→ 0
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
t=t0
六、傅里叶准则 Fo 对温度分布的影响
一维非稳定导热无量纲方程：
1 ∂T = ∂2T
a ∂τ ∂x2
引入无量纲参数： θ = T − T∞ ,
Ti − T∞
X=x
δ
FO
=
aτ δ2
∂θ ∂τ
=
a
δ2
∂2θ
∂X 2
∂θ = ∂2θ
∂⎜⎛ ⎝
aτ δ2
⎟⎞ ⎠
传热学
Heat transfer
张靖周
能源与动力学院
第三章
非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念
一、现象和定义
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ)
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
越大
时间常数的进一步讨论
θ
− hA τ − τ
= e ρCV = e τ r
θ0
d (θ θ 0 ) =
dτ
−
1
τr
−τ
e τr
= − (θ θ 0 )
τr
τ → 0 的冷却速率：
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
导热微分方程
导热微分方程
要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。
1、 原则：
⏹ 付立叶定律和能量守恒定律：
⏹ ——以能量方程为基础
热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量
2、 方程推导：
对于各向同性材料，
(1) 在x 方向：
(2) 单位时间内传入微元体内的热量
(3) 单位时间内微元体内能的变化
Or
t a t 2∇=∂∂τ
（3）无内热源、稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
t y t x t ——拉普拉斯(Laplace)方程
(4) 一维不稳定导热: 022
=dx
dt
dydz x t k Q x ∂∂-=dx x Q Q Q x x dx x ∂∂+=+dxdydz x t k Q Q dQ dx x x x 22∂∂=-=+dxdydz z t y t x t k dQ dQ dQ Q z y x )(222222∂∂+∂∂+∂∂=++=∆dxdydz t c Q p ρτ∂∂=∆)(222222z t y t x t c k t P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρτ
3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）
物理意义——物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力
α也是判断材
及导热方
(如10-8～10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式来描述。
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
第1章导热理论讲解
f ( x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y, ) f ( x, y, z ) f ( x, y , z , )
梁秀俊
高等传热学
2. 等温面、等温线
等温线
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
3. 温度梯度 温度梯度是矢量，有大小、 方向。
θ t t-Δt l
t+Δt
grad t或者t t t t grad t i j k t x y z t grad t l gradt cos l
高等传热学
第1章 导热理论和导热微分方程
一、基本概念 §1-1导热基本定律
1. 温度场 物体中的温度分布 在直角坐标系下的分类 一维温度场 稳态温度场
t f ( x, y, z )
非稳态温度场
二维温度场 三维温度场
t f ( x, y , z , )
华北电力大学
t t t t t t
t t t Φc [ ( ) ( ) ( )]dxdydz x x y y z z
（3）微元体内热源生成的总热量
dxdydz ΦV Φ
3. 直角坐标系下导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
qx q y qz q x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) qV x x y y z z
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
适用条件 : 物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将 以无限大的速度传播到物体中的各处，即在距离扰动源 无限远处也能瞬时感受到该扰动的作用。
复习导热过程的传热学原理与导热微分方程
T初＝T浇 否则， T初＝T(x, y,z)
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
导热
1 / 1 2 / 2
n / n
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
温度场为分段函数
t
t w1
t w2
t tw1
t w,n1
q
t w3
1
x
0 x 1
1
2
n
tw2 t tw2 q
1 tw1 q 1
1 x (1 2 )
第四章
2. 推导
① 物理问题描述
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以 外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
② 假设条件 • 所研究的物体是各向同性的连续介质； • 导热率、比热容和密度均已知； • 内热源均匀分布，强度为 Φ [W/m3]； • 导热体与外界没有功的交换。
西安交通大学热流中心
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
第三类边界条件:给定了边界上物体与周围流体 间的表面传热系数以及流体温度
牛顿冷却定律：
qw h(tw t f )
傅立叶定律：
h qw
tf
qw (t / n)w
t h(tw例：上图中 tf ) n w
0
δ
x
t h(tw t f ) 对于大平板有： x , x x
热工基础与应用
第四章
③ 建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析
dz z y dx x
dy
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
• 导入微元体的热量 沿x轴方向导入微元体的热量：
t Φx dydz x
• 导出微元体的热量
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2021/3/9
35
材料成型传输原理－－热量传输
稳态导热： tw = const
非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
tw1 tw2
o
x
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材料成型传输原理－－热量传输
b.第二类边界条件――给定边界上的热流密度。
q s
qw
f (r, )
4.保温材料：
国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
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6
材料成型传输原理－－热量传输
三、导热的物理本质
1.气体导热――气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果
气体的热导率： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
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9
材料成型传输原理－－热量传输
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10
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418 W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者） 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
t i
x
t j
y
t k
z
一维导热：qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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3
材料成型传输原理－－热量传输
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑 料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 — — 各向异性材料
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决实 际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。
微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得特 定解。
（1）定解条件的定义 使微分方程得到特定解的附加条件(数学称谓)。
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32
材料成型传输原理－－热量传输
（2）定解条件的分类 A.几何条件――几何形状，如：平壁或圆筒壁；厚度、 直径等（常为已知）。
2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿 度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
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5
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o(1 t )
(W m1 K 1 )
式中： 为温度为t℃的导热系数；
为温度为0℃的导热系数；
o
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
B.物理条件――说明导热体的物理特征，如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小
和分布；是否各向同性（常为已知）。
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材料成型传输原理－－热量传输
C.初始条件――初始时刻的温度分布；〔思考〕稳态导热有 无初始条件
稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内
的温度分布：
t 0 f (r)
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材料成型传输原理－－热量传输
D.边界条件――边界上的温度或换热情况，说明导热体 边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的 条件。
a.第一类边界条件――给定边界上的温度值。如：
t s tw
s — 边界面; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度
t
a
1 r
r
(r ) r
1 r2
2t
2
2t z 2
qv
C
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材料成型传输原理－－热量传输
（2）球坐标系 （r, ，）
qr
t r
q
1 r
t
q
1
r sin
t
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
t
a
1 r2
r
(r 2
t ) r
1
r 2 sin
材料成型传输原理－－热量传输
第二章 导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程 第三章 稳态导热分析 第四章 非稳态导热分析 第五章 对流换热 第六章 辐射换热
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1
材料成型传输原理－－热量传输
第一节 导热本质及付立叶定律
一、付立叶导热定律
1822年，法国数学家付里叶（Fourier）在实验研究基础上 ，发现导热基本规律 —— 付里叶定律
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材料成型传输原理－－热量传输
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa～2.0*103MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）
导出总热量 Qxdx Qydy Qzdz
qxdxdydzd q ydydxdzd qzdzdydxd
qx
q x x
dx dydzd
qy
q y y
dy dxdzd
q
z
q z z
dz dydxd
t x
dydzd
t y
dxdzd
t z
dydxd
t x 2
dxdydzd
t y 2
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m.0c
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
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13
材料成型传输原理－－热量传输
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；
主要依靠后者
T
与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的 温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t [ W m2 ]
: 热导率（导热系数） W (m C)
（Thermal conductivity）
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2
材料成型传输原理－－热量传输
直角坐标系中：q qx i
qy j
qz k
qw
根据傅里叶定律：
qw
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
据付立叶定律：
qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
Q qAd
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
Qx Qy+dy Qz
Qx+dx
导入总热量 Qx Qy Qz qx dydzd q y dxdzd qz dydxd
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材料成型传输原理－－热量传输
3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3 W (m C)
T
与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构
多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
(sin
t )
1
r 2 sin2
2t
qv
C
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材料成型传输Байду номын сангаас理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
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材料成型传输原理－－热量传输
五、导热微分方程的定解条件
2t y 2
2t z 2
qv
C
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
2021/3/9
27
材料成型传输原理－－热量传输
三、导热微分方程的简化
无内热源：
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
a2t
付立叶方程
稳态导热： 2t qv / 0 泊松方程
稳态导热&无内无热源：2t
2t x 2
t dydzd t dxdzd t dydxd
x
y
z
2021/3/9
21
材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qxdx
qx
qx x
dx
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy
qy
q y y
dy
q z dz
qz
qz z
dz
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22
材料成型传输原理－－热量传输
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m C)
15K : Cu 7000 W (m C)
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11
材料成型传输原理－－热量传输
2021/3/9
12
材料成型传输原理－－热量传输
（2）合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下 ，热导率随温度的变化规律不一样。