韦达定理、二次函数图像及性质

韦达定理、二次函数的图像与性质

知识要点：1.韦达定理: 一元二次方程的根和系数的关系； 2.求二次函数的图象的顶点坐标、对称轴方程及最值的方法 知识点回顾：

1. 如何求一元二次方程x 2 -2x-8=0的根？有几种方法?

2.二次函数解析式的几种形式：

①一般式： ②顶点式： ③交点式： 3.二次函数的图像及性质

探索1：方程x 2 -2x-8=0的两根之和，两根之积。观察方程两个根与方程的系数之间的关系，你有什么发现？

对于一元二次方程2x 2

-3x+1=0是否也具备这个特征？ x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________，

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．—韦达定理

结论: 如果ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2， 韦达（法国1540－1603） 那么x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________。 对应练习 1.判断对错

1）2x 2-11x+4=0两根之和为11，两根之积为4。

2）4x 2

+3x=5两根之和为43-，两根之积为4

5。

3）x 2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。

2. 1）关于x 的方程x 2

-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。

2）已知方程 3x 2+mx+n=0 的两根为1,2，求m,n 的值。 探究2. 二次函数求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

探究3.若方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则函数y ax bx c =++2

（a ≠0）的图象与x 轴的两交点坐标为 ， ；此时二次函数

y ax bx c =++2

（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的顶点和对称轴如何表示？

典型例题

例1. 二次函数

y ax bx c =++2

的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）

A. ac >0

B. b <0

C. b ac 240-<

D. 20a b +=

例2. （1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。二次函数122--=x x y 的顶点坐标为 ，对称轴为 。

（2）二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为________，对称轴为__________。 练习2:

1.已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：

(1)它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ； (2)图像与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

2.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．

3.二次函数2243y x x =--，当x = 时，函数y 有最 值是 . 4．二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。 5.二次函数y=x 2+6x-2的最小值为______.

6. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( )

A.a ＞0,b ＜0,c ＞0

B.a ＜0,b ＜0,c ＞0

C.a ＜0,b ＞0,c ＜0

D.a ＜0,b

＞

0,c ＞0

7.已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x =1时，y 有最大值为5，且它的图像经过点（2，3），求这个函数的关系式. 你的收获：