概率论与数理统计第一章第三节(概率统计)
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计第一章
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以 也称之为古典概型．
设试验E是古典概型，由于基本事件两两互不相容 n n 因此 1 = P( ) = P( {wi }) = P{wi } = nP{w i }
1 从而 P{w i } = n
i =1
i =1
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
AAຫໍສະໝຸດ 按差事件和对立事件的定义，显然有A B = AB
A
B
A
B
运算规律
1.交换律 A B = B A A B = B A 2.结合律 A ( B C ) = ( A B) C
A ( B C ) = ( A B) C
A B = 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A = A
事件 A发生 事件A不发生
A A= A A=
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
抛硬币实验
试验者
出现正面的 频率
n
2048 4040 12000 24000 80640
出现正面的 试验次 次数 数 n
nH
1061 2048 6019 12012 39699
f n (H ) =
A
n
德摩根 蒲丰 K．皮尔逊 K．皮尔逊 罗曼诺夫斯基
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923
( i = 1, 2, , n )
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第一节：随机事件
概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
4. 样本点 (Sample Point)
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
Ω
.
样本点ω
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论
例如, 试验是将一枚硬币抛掷两次, 观察正面H、反面T出现的情况: 则样本空间: Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第1次 (H,H):
i 1
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1
6 A B AB A AB .
概率论
例1:按长度和直径两个指标检验某种圆柱形产品是否为合格品.
试用 A、B 的运算表示事件 C 产品为合格品 ,
若设 A 长度合格 , B 直径合格 ,
5. 对立事件 : 若事件A与事件B在一次试验中必有且只有其中之一发生, (complement) 即 A、 B 满足条件： B S 且 AB A
则称事件A与事件B为互逆事件, 或称事件A、B互为对立事件.
事件 A 的对立事件记为：A.
对立事件与互斥事件的关系 : 对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
( “城市能正常供水”这一事件可表示为A1 A2 ) A3 “城市断水”这一事件可表示为
( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3
1 3 2 城市
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认 识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东 西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者 是去测量不定性.
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
概率论与数理统计第一章
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验 重伯努利试验 ： 重独立重复试验(n重伯努利试验 重独立重复试验 重伯努利试验) 试验模型的特点： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行 (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立; 各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 各次试验是相互独立的 (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； 每次试验有且仅有两种结果： 发生或 发生； 每次试验有且仅有两种结果 (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， 每次试验的结果发生的概率相同， 每次试验的结果发生的概率相同 ， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验， 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 试验共进行 次 即称为 重独立重复试验。 重独立重复试验 n重伯努利试验中事件 恰好出现 次的概率简记为 重伯努利试验中事件A恰好出现 次的概率简记为b(k;n,p), 重伯努利试验中事件 恰好出现k次的概率简记为 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak+1 An ++ A1A2 Ank Ank+1 An )
3.独立性在可靠性理论中的计算
设有n个元件，每个元件的可靠性均为 设有 个元件，每个元件的可靠性均为r(0＜r＜1)，且每个元 个元件 且每个元 件能否正常工作是相互独立的， 为第i个元件正常工作 个元件正常工作， 件能否正常工作是相互独立的，记Ai为第 个元件正常工作， A为系统正常工作。 为系统正常工作。 为系统正常工作 1 n 2 ①串联系统 系统能正常工作的充分必要条件是每个元件都正常工作 P(A)=P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=rn … ②并联系统 1 系统正常工作等价于n个元件中 系统正常工作等价于 个元件中 2 至少有一个正常工作， 至少有一个正常工作，即 P(A)=P(A1+A2+…+An) … n
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则实数P(A)称为事件A的概率.
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对上面讲过的“频率”定义、 “概率统计”定义都满足这个定义中的条件
要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情
形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频
率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A). 因此,
性质5(加法公式)对于两两互不相容的n 个事件A1,A2,…,An, 则有
P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An) (1.3.2)
证
令An+1= An+2=…= , 由假设即得 AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).
为此,我们引入熟悉的“频率”的概念, 它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度, 进而引出表征事件在一次试验中发生的可能 性大小的数量指标——概率.
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1. 频率 定义1 在相同的条件下，进行了n次试验,
在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事
nA 件A发生的频数；比值 n
称为事件A发生的
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关 系吗? 可以给我们哪些启示呢？
1.3.3 预备知识
1. 频数, 频率, 掷币试验的频率.
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1.3.3 问题分析
我们观察一项随机试验所发生 的各个事件,就其一次具体的试验 而言,每一事件出现与否都带有很 大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某 些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生 的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致 相同.
我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一
次试验中发生的可能性的大小.
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2. 概率重要性质 概率的一些重要性质:
性质4 P( )=0.
证
令An= , n=1,2,…, 则 An = .
n 1
并且AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).由概率的可列可 加性得 P()= P An P( An ) P(). n1 n1 n 1 由概率的非负性知P()≥0,因此,由上式得到 P( )=0. 上页 下页 返回
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1.3.4 建立理论
1. 概率的公理化定义
定义3 设E是随机试验,Ω是E的样本空间, 若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A) 与之对应,如果集合函数P(· )满足下列条件： (1)非负性：对于每一事件A, 有0≤P(A)； (2)规范性：对必然事件Ω, 有P(Ω)=1； (3)可列可加性：对于两两互不相容的可列 无穷多个事件A1,A2,…,An,…, 有
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比如,一个箱子中装有100只产品, 其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意 拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到
次品的可能性大. 假如这100只产品中的合
格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到
次品的可能性就大致相可能性大小是它 本身所固有的一种客观的度量.很自然, 人们希望用一个数来描述事件发生的可能性 大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大; 事件发生可能性小的,这个数就小.
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
内容简介: 通过借助于熟悉的频率及
其性质,引出概率的统计定义,建立概率的
公理化定义,在此概念基础上,研究概率的
有限可加性、差事件和对立事件的概率计
算公式、概率加法公式等重要理论。
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1.3.1 提出问题
1.大量的重复试验后,事件发 生的可能性有大有小,怎样来认识 和刻画它？
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讲评 “频率”与“概率”的区别：
(1) 事件的频率与概率有着本质区别: 频率具有随机波动性,是一个变数; 而概率是 一个常数,具有客观性.
(2) 概率的统计定义只是一种描述, 它指 出了事件的概率是客观存在的, 随着试验次数 的增加,频率在概率附近摆动. 因此,在实际问 题中,当试验的次数n很大时, 频率通常作为概 率的近似值.
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用概率的统计定义来估计概率的方法, 在过去和现在解决了不少问题, 但它们 在理论上存在缺陷, 在应用上也有局限性. 例如, 在实际问题中往往无法满足概率 统计定义中要求的试验次数的“充分大”, 也 不清楚试验次数应该大到什么程度, 因此概率 的统计定义不能作为数学意义上的定义.
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频率,并记为fn(A).
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引例 在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的 硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在
历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据.
表1-2 掷硬币试验数据 实验者 蒲 丰 投掷次数n 4040 12000
实验者 资料
出现正面次数nA 频率 (频数) 2048 6019
nA n
0.5080 0.5016
皮尔逊
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
24000
80640
12012
40961
0.5005
0.5077
上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定 上页 下页 返回 于0.5.
频率具有下列性质： 性质1 非负性: 0≤fn(A)≤1. 性质2 规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1. 性质3 可加性:若A,B互不相容,则
fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B).
经验表明：虽然n次试验中, 事件A出现 的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当 试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个 常数附近摆动. 用这个常数来表示事件A发 生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将 给出概率统计定义的客观基础.
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2. 概率的统计定义 定义2 在试验条件不变的情况下，重复作 n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p 附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验 中发生的概率，记作P(A). 即P(A)=p. 数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的 可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2 是概率的统计定义. 例如,在引例中就可以用 0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现 的可能性大小.