2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第83讲排列组合常见问题的解法

第83讲排列组合常见问题的解法

【知识要点】

一、两个计数原理

1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有＝十十…十种不同的方法．

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．

3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务.

二、排列

1、排列的定义：从个不同元素中，任取 ()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.

3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.

4、排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.

5、排列数公式：== (，∈，且)．

(叫做的阶乘)

规定

三、组合

1、组合的定义：从个不同元素中，任取( )个元素，并成一组，叫做从个

不同元素中取

出个元素的一个组合.

2、组合数：从个不同的元素中取出( )个元素的所有组合的个数，用符号

表示.

3、组合数公式：

===(∈，，且) 规定，

这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公式的逆用，即由=

4、组合数性质：(1)= ;(2) +=

5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合.

四、排列组合综合性问题

1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题编程列式计算

2、编程的一般方法

一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序 (分类加法，分步乘法).

【方法讲评】

方法一简单问题直接法

解题方法直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.

【例1】（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A.1260种

B.2025种

C.2520种

D.5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

A．种 B.种 C.种 D.种

【点评】如果已知条件没有什么限制条件，可以直接利用两个计数原理分步和分类解答.

【反馈检测1】2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种（用排列组合表示）．

【反馈检测2】甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）

A．10 B．16 C．20 D．24

方法二特殊元素优先法

解题方法优先考虑一些特殊的元素和位置.

【例2】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有种方法，然后排首位共有种方法，最后排其它位置共有种方法，由分步乘法原理得共有种方法.

【点评】位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件.

【反馈检测3】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四

人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

方法三相邻元素捆绑法

解题方法先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.

【例3】七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有______．

【点评】（1）本题中乙、丙要站在一起，所以是相邻问题，所以可以把他们捆在一起，看做一个整体，捆他们的时候有种方法.（2）个元素要在一起，如果与顺序有关，就有种方法，如果与顺序无关，就只有1种方法.例：把5个学生分成两组，三个同学一组和两个同学一组，就有种方法.

【反馈检测4】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

方法四不相邻问题插空法

解题方法先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.

【例4】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序

有多少种？

【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6

个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种.

【点评】元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中间.

【反馈检测5】马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相

邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

方法五等概率问题缩倍法

解题方法先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.

【例5】 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？

【点评】缩倍法，一般是先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.

【反馈训练6】五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）

A.24种

B.60种

C.90种

D.120种

方法六至少问题间接法

解题方法一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.

【例6】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）

A.140种

B.80种

C.70种

D.35种

【解析】解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.

【点评】（1）间接法，一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.（2）使用间接法时，一般已知中有“至少”“不”等关键词.

【反馈检测7】从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

方法七平均分组除法法

解题方法一般先分堆，再除以.

【例7】6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

【点评】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数.

【反馈检测8】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______

方法八元素相同问题隔板法

将个相同的元素分成份（为正整数）,每份至少一个元素,可以用解题方法

块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为. 【例8】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成９个空隙.在９个空档中选６个

位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法.

【点评】（1）将个相同的元素分成份（为正整数）,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为.（2）隔板法针对的是相同的元素.

【反馈检测9】某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种 .

方法九复杂问题分类法

解题方法由于条件较复杂，常分类讨论.

【例9】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴

舞的节目,有多少选派方法

【点评】解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确.分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.

【反馈检测10】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，

如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.

【反馈检测11】如图，用四种不同的颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜

色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共（）．A．种 B．种 C．种 D．种

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第83讲：

排列组合常见问题的解法参考答案

【反馈检测1答案】

【反馈检测2答案】

【反馈检测2详细解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共计

种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法..

方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选.

【反馈检测4答案】.

【反馈检测4详细解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有.

【反馈检测5答案】=10

【反馈检测5详细解析】把问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有=10 种.

【反馈训练6答案】

【反馈训练6详细解析】在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.

【反馈检测7答案】=

【反馈检测7详细解析】这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有.再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有=.

【反馈检测8答案】

【反馈检测8详细解析】由题得安排的方法总数为

【反馈检测9答案】

【反馈检测9详细解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种. 【反馈检测10答案】420

【反馈检测11答案】

【反馈检测11详细解析】首先考虑除外，相邻两端点不同色的情形：此时有种涂法，与相邻的点有种涂法，有种涂法，有种涂法，此时，有种涂法，

有种涂法，因此共有（种）．

但是，这是有可能同色，且当同色，不同色时，同色．此时的涂

法有同色的有种，对于点，点共有种，由对称性只有种涂法．所以共有（种）．因此，符合题目要求的涂法有（种）．故选．