相关性与最小二乘估计

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最小二乘法拟合原理

最新资料推荐最小二乘法拟合原理最小二乘法拟合原理最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设x和y的函数关系由理论公式y = f (x; cl , c2 , cm) (0-0-1 ) 给出，其中cl , c2 , cm是m个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据(xi , yi ) i = 1, 2 , , N。

都对应于xy平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取m组测量值代入式（0-0-1 ）,便得到方程组yi1 / 12=f （x; cl , c2 , cm）（0-0-2 ）式中i = 1,2 , , m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。

显然Nm时，参数不能确定。

在Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着糸统误差，或者说已经修正，则y 的观测值yi围绕着期望值f （x ；cl ,c2 , cm）摆动，其分-布为正态分布，则yi的概率密度为p yi 1 yi f xi;c1, c2, ............................... , cm exp 2 2 i2 i2 ，式中i是分布的标准误差为简便起见，下面用C代表（cl，c2，cm）。

北师大版必修3高中数学1.7、8相关性最小二乘估计课件

(2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我最小二乘法们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用___________估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( ) A．正方体的棱长和体积 B．单位圆中角的度数和所对弧长 C．单产为常数时，土地面积和总产量 D．日照时间与水稻的亩产量 [答案] D [解析] 函数关系是一个变量与另一个变量之间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数关系，日照时间与水稻的产量带有一定的随
最小二乘法．如果用 x 表示求的直线，这种方法称为 _____________
x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn ，用 y 表示，则可以求得 b＝ n n x1－ x y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋„＋xn－ x yn－ y x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2
2．最小二乘估计 (1)如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„， (xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度： [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－ (a＋bxn)]2.
最小值使得上式达到___________ 的直线 y＝a＋bx 就是我们所要
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A．都可以分析两个变量的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者之间的关系 [答案] C [解析] 两个变量可能是无关的，A、D错误；两者可能不是线性相关的，此时不能用直线

第九章第四节相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验

第四节相关性、最小二乘估计、回归
分析与独立性检验
9/30/2013
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1.相关性（1）散点图：在考虑两个量的关系时，为了对_____之间的关变量系有一个大致的了解，人们通常将___________的点描出来，变量所对应这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.
1.利用统计量χ 2来判断“两个变量X,Y有关系”计算公式为：

2
（A）ad-bc越小，说明X与Y关系越弱
（B）ad-bc越大，说明X与Y关系越强（C）(ad-bc)2越大，说明X与Y关系越强（D）(ad-bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
a b c d a c b d
1 2
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【拓展提升】线性相关关系与函数关系的区别（1）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．
（2）相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变
量与随机变量之间的关系．例如，商品的销售额与广告费是相
关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
50 13 20－10 7）（ 4.844， 23 27 20 30
2
因为χ 2≥3.841，所以有
答案：95%
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考向 1
相关关系的判断
【典例1】（1）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，
10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i＝1,
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3.独立性检验
（1）2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：

第三节最小二乘估计量的性质

第三节最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。

1、2ˆβ的线性特征证明（1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。

这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。

需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明（1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。

相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验

相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验一、相关性相关性是指两个变量之间的相互关系程度。

在统计学中，常用的衡量相关性的指标是相关系数。

相关系数可以分为皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

1. 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）：用于测量两个连续变量之间的线性相关性。

其取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关性。

2. 斯皮尔曼相关系数（Spearman correlation coefficient）：用于测量两个变量之间的单调相关性，适用于变量类型是有序或等级的情况。

与皮尔逊相关系数类似，斯皮尔曼相关系数的取值范围也是[-1,1]。

二、最小二乘估计最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，主要用于线性回归模型。

其思想是通过最小化残差平方和来寻找最优的模型参数。

在回归分析中，最小二乘估计可以帮助我们找到最佳拟合线，使得观测值与预测值之间的差异最小化。

具体而言，最小二乘估计的步骤如下：1.指定一个线性回归模型，并假设模型中的参数。

2.根据观测值和估计的参数计算预测值。

3.计算观测值与预测值之间的差异，即残差。

4.最小化残差平方和，得到最优的模型参数。

最小二乘估计的优点是计算简单，容易理解。

然而，最小二乘估计也有一些局限性，如对异常值敏感等。

三、回归分析回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

在回归分析中，自变量用于预测因变量的取值。

回归分析可以帮助我们了解变量之间的相互作用，并可以用于预测未来值。

回归分析主要有两种类型：线性回归和非线性回归。

线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，而非线性回归假设关系可以是任意的。

回归分析的步骤如下：1.选择回归模型：确定自变量和因变量之间的关系类型。

2.收集数据：收集自变量和因变量的观测值。

3.估计参数：使用最小二乘估计等方法估计回归方程中的参数。

4.检验拟合优度：通过计算残差平方和等指标来评估回归模型的拟合优度。

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答案:②③
2.线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点(
)
（A）（0，0）
（C）(0,
（B）( x ,0)
（D）( x , y )
y)
【解析】选D.由线性回归方程的性质知.
3.（2010·深圳高一检测）给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程是y=a+bx,经计算知b=-1.4,则a=( )
求法例析
1.以下关于线性回归的判断,正确的为_____. ①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为线性回归方程.
②已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则x=25 时,y的估计值为
11.69. ③线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. 【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据线性回归方程的定义知 ,只有按最小二乘法求得直线y=a+bx才是线性回归方程 ,①不对 ,③正确 . 将 x=25 代入 y=0.50x-0.81, 解得y=11.69,②正确.
（A）17.4
（B）-1.74
（C）0.6
（D）-0.6
【解析】选A.由表知
∴9=a-1.4×6,得a=17.4.
12+10+9+8+6 y= =9. 5
4+5+6+7+8

相关性与最小二乘估计