《函数的极大值与极小值》
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
高中数学人教A版选择性必修第二册函数的极值与最大(小)值 完整版课件
小试牛刀
1．函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
C [设 y＝f ′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2， x3，x4，则 f (x)在 x＝x1，x＝x3 处取得极大值， 在 x＝x2，x＝x4 处取得极小值．]
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什 么规律？
以a，b为例进行说明.
概念解析
1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他
典例解析
问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？
归纳总结
一般地，求函数 y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数 f′x； 2解方程 f′x＝0，得方程的根 x0可能不止一个； 3用方程 f′x＝0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间， 可将 x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， ∵函数 f (x)既有极大值又有极小值， ∴方程 f ′(x)＝0 有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0， 即 a2－a－2＞0，解得 a＞2 或 a＜－1.]
4．已知函数 f (x)＝2ef ′(e)ln x－xe，则函数 f (x)的极大值为______．
《函数的极大值与极小值》ppt课件
x3
3
4x
4)
'
=
x2
4
=
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28
当当a=-1/2时，f 由 f ( x) = 0 得
( x) = 3x2 3
x
=
1
2
或
2
x 3 2
x=
=
1
3( x
，
1)(
x
1 2
)
列表如下：
x
(, 1) 1
2
2
f (x) + 0
( 1 ,1) 2
－
1 (1, ) 0+
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z
在x=1时取极小值，符合题意． 综上a=-1/2．
函数f(x)的极大值为f(2)=
4 e2
14
例3.函数y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有
极值，(1)求a、b的值．
(2)求出极值并指出是极大值还是极小值
解：
y ' = (a ln x bx2 x) ' = a 2bx 1
x
由题意,在x=1和x=2处,导数为0
∴
a a 2
2b 1 = 0 4b 1 = 0
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
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解： f (x) 2x 1,令f (x) 0,解得x 1 .列表 2
x
f (x) f (x)
(, 1 ) 2
1
2
0
极小值f (1) 2
( 1 ,) 2
因此,当x
1 2
时,
f ( x ) 有 极 小 值 f (12 )
9 4
.
小结：求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
1 6
4、求y ex cos x的极值．
解 : y ex cos x sin x,令y 0,
即cos x sin x 0得,x k k Z ,
4
当x
2k
4
, 2k
5
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为减函数,
当x
2k
3
4
,
2k
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为增函数,
因此当x=2k
4
k
Z
时,
y极大值
2
2k
e
4
,
2
当x=2k
3
4
k
Z
时,
y极小值
2
2k
e
3
4
.
2
五、课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
X1
X1右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 增
极大植f(x1)
减
极小值与导数之间的关系
X
X2左侧
X2
X2右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 减
极小植f(x2)
增
（三）、导数的应用
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28 当x=2时，y有极小值且y极小值= 4 3
3
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( B )
A.y=－x3
B.y=x2
C.y=x2－x
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小， 我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值 =f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
注意 1、在定义中，取得极值的点称为极值 点，极值点是自变量(x)的值，极值指 的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小。
则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
2、函数 f (x) a sin x 1 sin 3x 在
x 处具有极值，3求a的值
3
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
必要条件可知， f 3'( ) 0可求出a的值.
3
解： f '(x) (a sin x 1 sin 3x) ' a cos x cos 3x3∵来自f'(
)
0
，
3
∴
a cos
cos(3
)0
1
a 1
0
3
3
2
∴a=2.
3、y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，
求a、b的值．
解：y ' (a ln x bx2 x) ' a 2bx 1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
∴
a 2b 1 0
a 2
4b
1
0
a
2 3
b
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步骤， 一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断
x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否
异号就可以了。
四、课堂练习
1、下列说法正确的是( C )
A.函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ，
函数的极大值与极小值
一、知识回顾：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
一、知识回顾：
根据导数确定函数的单调性的步骤：
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x1 是极大值点，x4是极小值点，而 f (x4 ) f (x1)
（二）、极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X
X1左侧
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
一、知识回顾：
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时 f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.
二、构建数学
三、新课讲授
（一）、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我 们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
例２：求 y 1 x3 4x 4 的极值
解：y
'
(1
x3
3
4x
4)
'
x2
4
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x
f (x) f (x)
(, 1 ) 2
1
2
0
极小值f (1) 2
( 1 ,) 2
因此,当x
1 2
时,
f ( x ) 有 极 小 值 f (12 )
9 4
.
小结：求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
1 6
4、求y ex cos x的极值．
解 : y ex cos x sin x,令y 0,
即cos x sin x 0得,x k k Z ,
4
当x
2k
4
, 2k
5
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为减函数,
当x
2k
3
4
,
2k
4
k
Z
时,y
0,
f
x 为增函数,
因此当x=2k
4
k
Z
时,
y极大值
2
2k
e
4
,
2
当x=2k
3
4
k
Z
时,
y极小值
2
2k
e
3
4
.
2
五、课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
X1
X1右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 增
极大植f(x1)
减
极小值与导数之间的关系
X
X2左侧
X2
X2右侧
f (x) f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
f (x) 减
极小植f(x2)
增
（三）、导数的应用
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28 当x=2时，y有极小值且y极小值= 4 3
3
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( B )
A.y=－x3
B.y=x2
C.y=x2－x
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小， 我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值 =f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
注意 1、在定义中，取得极值的点称为极值 点，极值点是自变量(x)的值，极值指 的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小。
则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
2、函数 f (x) a sin x 1 sin 3x 在
x 处具有极值，3求a的值
3
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
必要条件可知， f 3'( ) 0可求出a的值.
3
解： f '(x) (a sin x 1 sin 3x) ' a cos x cos 3x3∵来自f'(
)
0
，
3
∴
a cos
cos(3
)0
1
a 1
0
3
3
2
∴a=2.
3、y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，
求a、b的值．
解：y ' (a ln x bx2 x) ' a 2bx 1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
∴
a 2b 1 0
a 2
4b
1
0
a
2 3
b
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步骤， 一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断
x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否
异号就可以了。
四、课堂练习
1、下列说法正确的是( C )
A.函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ，
函数的极大值与极小值
一、知识回顾：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
一、知识回顾：
根据导数确定函数的单调性的步骤：
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x1 是极大值点，x4是极小值点，而 f (x4 ) f (x1)
（二）、极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X
X1左侧
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
一、知识回顾：
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时 f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.
二、构建数学
三、新课讲授
（一）、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我 们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
例２：求 y 1 x3 4x 4 的极值
解：y
'
(1
x3
3
4x
4)
'
x2
4
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表