最新届高三新课标理科数学一轮复习课件第四章第1讲导数的意义及运算
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第1节导数概念及其意义、导数运算--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
C.
e
f'(1)=e+3f'(1),解得 f'(1)=- ,
2
, ≥ 0,
3
(3)函数 f(x)=
的导函数为 f'(x),则 f'(- 2 )=( B )
( + ), < 0
A.0
B.1
C.
2
D.1+
2
解析 设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin
4
4
4
4
5.(湘教版选择性必修第二册习题1.2第2题改编)过点P(3,5)且与曲线f(x)=x2
相切的直线方程是 y=2x-1或y=10x-25
.
解析 设切点为(x0,02 ),由于 f(x)=x2,所以 f'(x)=2x,因此切线斜率为 k=2x0,所以
切线方程为 y-02 =2x0(x-x0).又因为切线过点(3,5),所以 5-02 =2x0(3-x0),解得
x.又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin
x+(x+2π)cos x,
所以
3π
3π
3π
3π
f'(- 2 )=sin(- 2 )+(- 2 +2π)cos(- 2 )=1+0=1.故选
B.
考点三 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程
f(x)=f'( 4 )sin
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
复合函数求导
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
第4章+第1讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
答案 5x－y＋2＝0
解析
因为y′＝
2x＋2－2x－1 x＋22
＝
5 x＋22
，所以曲线y＝
2x－1 x＋2
在点
(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x
－y＋2＝0.
解析 答案
6．曲线y＝sinx＋ex在x＝0处的切线过点(m,0)，则m＝________. 答案 －12 解析 因为y′＝(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，所以y′|x＝0＝cos0＋e0＝2， 所以曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1 ＝0，此直线过点－12，0.故m＝－12.
3 x
，得切线斜率k＝
x0－x30＝2，∴x0＝3.故选A．
解析 答案
(2)(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且 函 数 y ＝ f(x) 在 点 P(x0 ， f(x0)) 处 的 切 线 与 直 线 x ＋ y ＝ 0 垂 直 ， 则 切 点 P(x0 ， f(x0))的坐标为________.
1．下列求导运算正确的是( )
A．(sina)′＝cosa(a为常数)
B．(log2x)′＝xln1 2
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(
x＋1)′＝
2 x＋1
答案
解析 由 a 为常数知(sina)′＝0，A 错误；(3x)′＝3xln 3，C 错误； (log2x)′＝xln1 2，B 正确；( x＋1)′＝[(x＋1)12]′＝12(x＋1)-12＝2 x1＋1，D 错误．故选 B.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
2025年高考数学一轮复习4.1导数的概念及其意义、导数的运算【课件】
方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
3
4
2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(
(2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.(
2 4
e
e
e e
所以曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y= x+ .
+1
2
4 4
π
3.(选择性必修二·
P81T6·
变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'( )cos
4
π
1- 2
则f'( )=________.
4
π
【解析】f'(x)=-f'( )sin
4
x-cos x,
π
π
2 π
2
令x= ,得f'( )=- f'( )- ,
2
e
A.y= x
4
e
B.y= x
2
e e
C.y= x+
4 4
e 3e
D.y= x+
2
4
)
e
e
e
【解析】选C.设曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y- =k(x-1),
+1
2
2
e
因为y= ,
+1
e (+1)−e
所以y'=
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第一节 导数的概念、运算及几何意义 课件(33张)
x
Δ→0
,那么 f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)为 y=f(x)的导函数,
也简称为导数,有时也将导数记作 y'.
微点拨 关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
点P处的切线”,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”,
点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=xα(α∈R,且 α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
2024
第四章
第一节 导数的概念、运算及几何意义
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,
体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
课标
解读
2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
C.-3
D.-5
(3)已知函数 f(x)=f'(0)e2x-e-x,则 f(0)=
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,
Δ→0
,那么 f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)为 y=f(x)的导函数,
也简称为导数,有时也将导数记作 y'.
微点拨 关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
点P处的切线”,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”,
点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=xα(α∈R,且 α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
2024
第四章
第一节 导数的概念、运算及几何意义
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,
体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
课标
解读
2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
C.-3
D.-5
(3)已知函数 f(x)=f'(0)e2x-e-x,则 f(0)=
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,
2025届高中数学一轮复习课件《导数的概念与运算》ppt
若 y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 (1)[f(x)±g(x)]′＝___f_′__(x_)_±_g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝____f_′__(x_)_g_(_x)_＋__f_(x_)_g_′__(x_)_______； (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
高考一轮总复习•数学
第15页
高考一轮总复习•数学
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
高考一轮总复习•数学
第15页
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
（ⅰ）[f（x）±g（x）]'＝ f'（x）±g'（x）
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
目录
｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
目录
当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
目录
二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
目录
｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
目录
当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
目录
二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
读 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.
− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .
当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，
解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二 求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.
− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .
当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，
解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二 求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.
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故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
【失误与防范】1.求曲线 y＝fx在点 Px0，fx0处该点为切 点的切线方程，其方法如下：
①求出函数 y＝fx在 x＝x0 处的导数 f′x0，即函数 y＝fx 在点 Px0，fx0处的切线的斜率；
②切点为 Px0，fx0，切线方程为 y－fx0＝f′x0x－x0. 2.求曲线 y＝fx过点 Px0，fx0该点不一定为切点的切线方 程，其方法如下：
【互动探究】
3．(2011 年江西)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A)
பைடு நூலகம்
A．1
B．2
C．e
D.1e
易错、易混、易漏 7．过点求切线方程应注意该点是否为切点 例题：已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 正解：(1)∵y′＝x2，当 x＝2 时，y′＝4， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′x＝2 ＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
＝ lim Δx→0
fx0＋Δx＋ΔΔxx－fx0＋Δx＝f′(x0)；
(4)Δlixm→0fx0＋Δx－Δxfx0－2Δx ＝33lΔixm→0fx0－2Δx＋33ΔΔxx－fx0－2Δx＝3f′(x0)． 所以(1)(3)正确，故选B.
答案：B
本题需直接变换出导数的定义式 lim Δk→0
fx0＋k－fx0 k
2014届高三新课标理科数学一 轮复习课件第四章第1讲导数的
意义及运算
考纲要求
考纲研读
1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y
＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导 数．
1.函数y＝f(x)在点x0处的导数记为 f′(x0)，它表示y＝f(x)在点P(x0， y0)处切线的斜率，即k＝ f′(x0)．导数源于物理，位移、 速度的导数都有明显的物理意
4．能利用给出的8个基本初等 函数公式和导数的四则运算法
义． 2．对于多项式函数的导数，可先
则求简单函数的导数，能求简 利用导数的运算法则将其转化成
单的复合函数[仅限于形如f(ax ＋b)的复合函数]的导数.
若干个与8个基本初等函数有关的 和差积商形式，再进行求导.
考点1 导数的概念
例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f′(x0)相等的是( )
＝f′(x0)．其中k(一般用Δx表示)可正可负，定义式的关键是一定
要保证分子与分母k的一致性．
【互动探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则Δlxi→m0 fx0－ΔΔxx－fx0等于(B )
A．f′(x0) C．f(x0)
B．－f′(x0) D．－f(x0)
考点2 导数的计算
例2：求下列函数的导数： (1)y＝(x－1)(2x2－x＋4)；(2)y＝exlnx； (3)y＝11－＋csoinsxx.
【互动探究】
2．设 f(x)＝xlnx，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( B )
A．e2
B．e
ln2 C. 2
D．ln2
考点3 曲线的几何意义
例3：(2011年全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线
1 y＝0和y＝x围成的三角形的面积为__3__.
解析：∵y′＝－2e－2x，∴曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线 的斜率k＝－2，故切线方程是y＝－2x＋2，在直角坐标系中作出 示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)，(1,0)， 23，23 ， ∴三角形的面积是S＝12×1×23＝13.
(1) lim Δx→0
fx0－2fΔx0x－2Δx；
(2) lim Δx→0
fx0＋ΔxΔ－xfx0－Δx；
(3) lim Δx→0
fx0＋2ΔxΔ－x fx0＋Δx；
(4) lim Δx→0
fx0＋Δx－Δxfx0－2Δx.
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3)(4)
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本 函数的和差积商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则 的结构形式要适当恒等变形．如第(1)题利用积的求导法则，也可 以转化成 y＝(x－1)(2x2－x＋4)＝2x3－3x2＋5x－4 后再求导；第(2) 题利用积的求导法则；第(3)题利用商的求导法则．
①设切点 AxA，xB，求切线的斜率 k＝f′xA；
②利用斜率公式
k＝ y0 x0
yA xA
＝f′xA建立关于
xA 的方程，求
出 xA，进而求出切线方程.
1．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度， 代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等．
(2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率 k＝y′x＝x0 ＝x02. ∴切线方程为 y－13x30＋34＝x20(x－x0)． 即 y＝x20·x－23x30＋43. ∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－23x03＋43. 即 x30－3x02＋4＝0.∴x03＋x02－4x20＋4＝0. ∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2.
解析：(1)y′＝(x－1)′·(2x2－x＋4)＋(x－1)(2x2－x＋4)′ ＝1·(2x2－x＋4)＋(x－1)[(2x2)′－x′＋4′] ＝2x2－x＋4＋(x－1)(4x－1)＝6x2－6x＋5；
(2)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exx； (3)y′＝1＋sinx′1－co1s－x－cos1x＋2 sinx1－cosx′ ＝cosx1－co1s－x－cos1x＋2 sinxsinx＝cos1x－－csoinsxx－2 1.
解析：(1) lim Δx→0
fx0－fx0－2Δx 2Δx
＝2lΔixm→0fx0－2Δx＋22ΔΔxx－fx0－2Δx＝f′(x0)；
(2)Δlixm→0fx0＋ΔxΔ－xfx0－Δx
＝22lΔixm→0fx0－Δx＋22ΔΔxx－fx0－Δx＝2f′(x0)；
(3)Δlixm→0fx0＋2ΔxΔ－x fx0＋Δx
【失误与防范】1.求曲线 y＝fx在点 Px0，fx0处该点为切 点的切线方程，其方法如下：
①求出函数 y＝fx在 x＝x0 处的导数 f′x0，即函数 y＝fx 在点 Px0，fx0处的切线的斜率；
②切点为 Px0，fx0，切线方程为 y－fx0＝f′x0x－x0. 2.求曲线 y＝fx过点 Px0，fx0该点不一定为切点的切线方 程，其方法如下：
【互动探究】
3．(2011 年江西)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A)
பைடு நூலகம்
A．1
B．2
C．e
D.1e
易错、易混、易漏 7．过点求切线方程应注意该点是否为切点 例题：已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 正解：(1)∵y′＝x2，当 x＝2 时，y′＝4， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′x＝2 ＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
＝ lim Δx→0
fx0＋Δx＋ΔΔxx－fx0＋Δx＝f′(x0)；
(4)Δlixm→0fx0＋Δx－Δxfx0－2Δx ＝33lΔixm→0fx0－2Δx＋33ΔΔxx－fx0－2Δx＝3f′(x0)． 所以(1)(3)正确，故选B.
答案：B
本题需直接变换出导数的定义式 lim Δk→0
fx0＋k－fx0 k
2014届高三新课标理科数学一 轮复习课件第四章第1讲导数的
意义及运算
考纲要求
考纲研读
1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y
＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导 数．
1.函数y＝f(x)在点x0处的导数记为 f′(x0)，它表示y＝f(x)在点P(x0， y0)处切线的斜率，即k＝ f′(x0)．导数源于物理，位移、 速度的导数都有明显的物理意
4．能利用给出的8个基本初等 函数公式和导数的四则运算法
义． 2．对于多项式函数的导数，可先
则求简单函数的导数，能求简 利用导数的运算法则将其转化成
单的复合函数[仅限于形如f(ax ＋b)的复合函数]的导数.
若干个与8个基本初等函数有关的 和差积商形式，再进行求导.
考点1 导数的概念
例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f′(x0)相等的是( )
＝f′(x0)．其中k(一般用Δx表示)可正可负，定义式的关键是一定
要保证分子与分母k的一致性．
【互动探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则Δlxi→m0 fx0－ΔΔxx－fx0等于(B )
A．f′(x0) C．f(x0)
B．－f′(x0) D．－f(x0)
考点2 导数的计算
例2：求下列函数的导数： (1)y＝(x－1)(2x2－x＋4)；(2)y＝exlnx； (3)y＝11－＋csoinsxx.
【互动探究】
2．设 f(x)＝xlnx，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( B )
A．e2
B．e
ln2 C. 2
D．ln2
考点3 曲线的几何意义
例3：(2011年全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线
1 y＝0和y＝x围成的三角形的面积为__3__.
解析：∵y′＝－2e－2x，∴曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线 的斜率k＝－2，故切线方程是y＝－2x＋2，在直角坐标系中作出 示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)，(1,0)， 23，23 ， ∴三角形的面积是S＝12×1×23＝13.
(1) lim Δx→0
fx0－2fΔx0x－2Δx；
(2) lim Δx→0
fx0＋ΔxΔ－xfx0－Δx；
(3) lim Δx→0
fx0＋2ΔxΔ－x fx0＋Δx；
(4) lim Δx→0
fx0＋Δx－Δxfx0－2Δx.
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3)(4)
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本 函数的和差积商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则 的结构形式要适当恒等变形．如第(1)题利用积的求导法则，也可 以转化成 y＝(x－1)(2x2－x＋4)＝2x3－3x2＋5x－4 后再求导；第(2) 题利用积的求导法则；第(3)题利用商的求导法则．
①设切点 AxA，xB，求切线的斜率 k＝f′xA；
②利用斜率公式
k＝ y0 x0
yA xA
＝f′xA建立关于
xA 的方程，求
出 xA，进而求出切线方程.
1．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度， 代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等．
(2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率 k＝y′x＝x0 ＝x02. ∴切线方程为 y－13x30＋34＝x20(x－x0)． 即 y＝x20·x－23x30＋43. ∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－23x03＋43. 即 x30－3x02＋4＝0.∴x03＋x02－4x20＋4＝0. ∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2.
解析：(1)y′＝(x－1)′·(2x2－x＋4)＋(x－1)(2x2－x＋4)′ ＝1·(2x2－x＋4)＋(x－1)[(2x2)′－x′＋4′] ＝2x2－x＋4＋(x－1)(4x－1)＝6x2－6x＋5；
(2)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exx； (3)y′＝1＋sinx′1－co1s－x－cos1x＋2 sinx1－cosx′ ＝cosx1－co1s－x－cos1x＋2 sinxsinx＝cos1x－－csoinsxx－2 1.
解析：(1) lim Δx→0
fx0－fx0－2Δx 2Δx
＝2lΔixm→0fx0－2Δx＋22ΔΔxx－fx0－2Δx＝f′(x0)；
(2)Δlixm→0fx0＋ΔxΔ－xfx0－Δx
＝22lΔixm→0fx0－Δx＋22ΔΔxx－fx0－Δx＝2f′(x0)；
(3)Δlixm→0fx0＋2ΔxΔ－x fx0＋Δx