三角函数公式整合
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三角函数
三
角
函
数
相
关
知
识
关
系
表
角的概念1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位
置所成的图形．
(2)分类
⎩
⎨
⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集
合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2. 弧度制：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度
记作rad.
角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下，扇形弧长公式l=/a/R，扇形面积公式2
11
||
22
S R Rα
==，其中α
为弧所对圆心角的弧度数。
三
角
函
数
的
定
义
1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任
意角的三角数.在α终边上任取一点(,)
P x y（与原点不重合），记
22
||
r OP x y
==+，
则sin y
r
α=，cos x
r
α=，tan y
x
α=。三角函数是以角为自变
量,以比值为函数值的函数.
①同角三角函数的基本关系式：
sin 2α＋cos 2α＝1，
sin α
cos α＝tan α.
②诱导公式：即
2
kπ
αα
±→()
k Z
∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；
公式组一：
sin(2)sin,cos(2)cos
tan(2)tan,cot(2)cot
k x x k x x
k x x k x x
ππ
ππ
+=+=
+=+=
公式组二：
sin()sin tan()tan
cos()cos cot()cot
x x x x
x x x x
-=--=-
-=-=-
公式组三：公式组四：正弦：sinx
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
=
+
=
+
-
=
+
-
=
+
π
π
π
π
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
2
cot(
tan
)
2
tan(
cos
)
2
cos(
sin
)
2
sin(
-
=
-
-
=
-
=
-
-
=
-
π
π
π
π
公式组五：
sin()sin tan()tan
cos()cos cot()cot
x x x x
x x x x
ππ
ππ
-=-=-
-=--=-
余弦：cosx
公式组六：
1
cos()sin
2
παα
-=
；
1
cos()sin
2
παα
+=-
1
sin()cos
2
παα
-=
；
1
sin()cos
2
παα
+=
正切：
tanx
③各象限角的各种三角函数值符号:（左侧图）
一全二正弦,三切四余弦
O R
1弧度
R
三角函数公式两角和与差公式
β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(-
=
+；β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(+
=
-
β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(+
=
+；β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(-
=
-
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
-
+
=
+
；β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
+
-
=
-
二倍角公式：
α
α
αcos
sin
2
2
sin=；
α
α
α
2
tan
1
tan
2
2
tan
-
=
α
α
α
α
α2
2
2
2sin
2
1
1
cos
2
sin
cos
2
cos-
=
-
=
-
=
常用数据:
角α0°30°45°60°90°120°150°180°弧度数0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
5π
6
π
sin α0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
2
0 cos α1
3
2
2
2
1
2
0－
1
2－
3
2
－1 tan α0
3
3
13－3－
3
3
62
sin15cos75
4
-
==,426
15
cos
75
sin
+
=
=
3
2
75
cot
15
tan-
=
=
,32
15
cot
75
tan+
=
=
三角函数公式注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联
系，它们的变化形式.
如tan()(1tan tan)tan tan
αβαβαβ
+-=+
22
1cos1cos
cos,sin
2222
αααα
+-
==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如
使用各公式.
三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。
如分拆项：222222
sin2cos(sin cos)cos1cos
x x x x x x
+=++=+;
配凑角(常用角变换):
2()()
ααβαβ
=++-、2()()
βαβαβ
=+--、
22
αβαβ
α
+-
=+、
22
αβαβ
β
+-
=-、()
ααββ
=+-等.
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=2
2b
a+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象
限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=
a
b
确定。
三
角
函
数
三角函数的性质:
sin
y x
=cos
y x
=tan
y x
=
图像
定义
域
R R
1
|,
2
x x R x k k Z
ππ
⎧⎫
∈≠+∈
⎨⎬
⎩⎭
且
值域[1,1]
-[1,1]
-R
周期
性
π2π2π
奇偶
性
奇函数偶函数奇函数
单增
区间
[2,2]
22
k k
ππ
ππ
-++()
[21,2]
k k
ππ
-⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
-π
π
π
π
k
k
2
,
2
单减
区间
3
[2,2]
22
k k
ππ
ππ
++()
[2,21]
k k
ππ
+无
对称
点
(,0)
kπ1
(,0)
2
kππ
+（0,
2
πk
）
对称
轴2
x k
π
π
=+x kπ
=无