北师大版教材PPT《因式分解》ppt1
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北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
《分解因式》PPT课件
巩固深化
1、36a2b2-4a4 3、(b2+c2)2-4b2c2 5、x4-8y2(x2-2y2)
2、-x2-4xy-4y2 4、(x2-3) 2+2(3-x2)+1
6、xn+2-2xn+1+xn (n为大于1的整数)
2022年8月18日星期四
29
五、实际应用： 家庭收纳盒的制作与计算
在一个边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为
5、分解因式时，若出现相同的因式，一般写成幂的形式。
2022年8月18日星期四
15
基本概念
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解， 也叫分解因式。
ma mb mc 因 整式式乘 分法解m(a b c)
2022年8月18日星期四
16
我们学习了因式分解，请同学们想一下我们学 习了几种因式分解的方法：
阅读 体验 ☞
分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还
2、字母是母的最低次数。
练习：①5x2－25x的公因式为
；5x
②－2ab2＋4a2b3的公因式为
-2，ab2
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
。x-1
2022年8月18日星期四
22
提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
北师大版八年级下册数学《因式分解》因式分解精品PPT教学课件
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
2020/11/23
13
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ C ） A．－2²ºº¹ B．－2²ºº² C．2²ºº¹ D．－2 4. 已知多项式ax²+bx+c （a、b、c均为常数），分解因式的结果是（3x+1） （x-2） ，求a、b、c的值． 解：（3x+1）（x-2）
2020/11/23
5
合作探究
问题2：你能把a³-a化成几个整式的积的形式吗？ 解：a³-a =a（a²-1） =a（a+1）（a-1）.
2020/11/23
6
合作探究
探究点二 问题1：观察下面饼图写出相应的关系式.
am+bm+cm m（a+b+c）
x²+2x+1 （x+1）²
2020/11/23
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
2020/11/23
3
合作探究
探究点一 问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？ 解：99³-99
=99 ²×99 －99 =99 ×980 =98 ×99 ×100 所以， 99³-99能被100整除.
2020/11/23
4.1 因式分解
八
2020/11/23
1
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
2020/11/23
2
前置学习
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
初中数学《因式分解》优秀ppt北师大版1
x2 3x0
配方，得 (x 3)2 (3)2
22
因此 x 3 3
22
x1 0，x2=3.
所以这个数是0或3。
新知探索
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
典型解法
解法二：（公式法） 由方程 x2 3x ，得
x2 3x0.
因此 x 3 9 ，
2
x1 0，x2 3.
所以这个数是0或3。
直接开平方法 配方法
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
公式法 因式分解
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0
用因式分解法求解一元二次方程
要点归纳
解法选择基本思路
新知探索
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用 直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不 然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
•
9.自信让 我们充 满激情 。有了 自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ；
配方，得 (x 3)2 (3)2
22
因此 x 3 3
22
x1 0，x2=3.
所以这个数是0或3。
新知探索
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
典型解法
解法二：（公式法） 由方程 x2 3x ，得
x2 3x0.
因此 x 3 9 ，
2
x1 0，x2 3.
所以这个数是0或3。
直接开平方法 配方法
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
公式法 因式分解
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0
用因式分解法求解一元二次方程
要点归纳
解法选择基本思路
新知探索
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用 直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不 然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
•
9.自信让 我们充 满激情 。有了 自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ；
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
北师大版初中八年级下册数学课件 《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
举一反三
2. 利用分解因式计算：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²× 1 2
解：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²×1 =（-2）²ºº¹×[1-(-2) ×] 2
1
=（-2）²ºº¹×0
2
=0
随堂检测
1.下列各式中,没有公因式的是( C )
A.ab-bc
B.y²-y
C.x²+2x+1 D.mn²-nm+m²
D
3. 把首项系数变为正数.
（1）-2x²y-2xy²=-（）
（2）-2x²+3x-1=-（） 2x²y+2xy²
2x²-3x+1
活动探究
探究点一 问题1：多项式ac+bc每项含有哪些因式？有相同的因式吗？3x²+x呢？ mb²+nb+b呢？ 解：多项式ac+bc的ac项含因式a、c、ac；bc项含因式b、c、bc.相同因式：c 多项式3x²+x含因式3、x、x²3x、3x²相同因式：x 多项式mb²+nb+b含因式m、b、b²mx²、n；相同因式：b
4.2提取公因式法 第1课时
八年级下册
学习目标 1 能确定多项式各项的单项式公因式; 2 会用提公因式法把多项式分解因式.
前置学习
1． 下列各式公因式是a的是（）D
A. ax＋ay＋5B．3ma－6ma²C．4a²＋10abD．a²－2a＋ma
2． －6xyz＋3xy²－9x²y的公因式是（）
A.－3xB．3xzC．3yzD．－3xy
活动探究
探究点二 问题1：把下列各式因式分解： （1）3x+x³；（2）7x³-21x²； （3）8a³b²-12ab³c+ab；（4）-24x³+12x²-28x. 解：（1）原式=3•x+x²•x=x(3+x²); （2）原式=7x²•x+7x²•3=7x² (x-3); （3）原式=ab•8a²b-ab•12b²c+ab=ab(8a²b-12b²c+1); （4）-（24x³-12x²+28x）=-（4x•6x²-4x•3x+4x•7) =-4x(6x²-3x+7).
因式分解_ppt1
x
3
x -7
x -3
x5
因式分解_ppt1
计算：(x+2)(3x+5) =3x2+11x+10 反过来：3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5) 我们可以发现，二次项3x2分解成 x、3x 的积； 常数项10分解成 2、5 的积；
x
2
x ·5＋2 ·3x = 11x
3x
5
这个例子启发我们，如何把二次三项式
ax2+bx+c进行分解
因式分解_ppt1
因式分解_ppt1
例2、把下列各式分解因式：
（1）2x 2-7x+3
（2）6x 2-7x-5
（3）5x 2+6xy-8y2 （4）ab2+4abc+3ac 2
解：（1）原式=（x-3)(2x-1）
x
-3
2x -1
（2）原式=（2x+1)(3x-5）
2x 1 3x -5
因式分解_ppt1
x2 px q
因式分解_ppt1
1、(x+3)(x-4) =x2-x-12 2、(a-6)(a-5)=a2-11a+30 3、(y+1)(y-3) =y2-2y-3
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
能分解x 2 5x 6吗？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
x2 x2 5x 6 (2) a2 2a 3 (3) x2 2x 8 (4) (x y)2 3(x y) 2
x 2 px q 分解方法
(1)找出a，b使a+b=p且ab=q (先分解q再考虑p)
(2)把q分解成两个整数的积的符号规律： q＞0则a，b同号， 若p＞0，a，b同正，若p＜0，a，b同负； q＜0则a，b异号， 若p＞0，a，b中正数绝对值大， 若p＜0，a，b中负数的绝对值大。
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问题发现
你会分解吗?
1. a2-b2
问题1能直接 用平方差公式
解：原式=(a+b)(a-b)
2.
2a2-2b2
解：原式=2(a2-b2)
=2(a+b)(a-b)
问题2、问题 3必须先提公 因式，再用平 方差公式
3. a2(x-y)-b2(x-y)
解：原式=(x-y)(a2-b2)
总结步骤：1. 提公因式 2.用公式
方法提炼 因式分解一般步骤是什么？
①若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 ②若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点， 选用平方差公式或完全平方公式。 ③每一个因式都分解到不能再分解为止。
一提， 二用， 三验
练一练 1.下面分解因式正确吗？ 没有先提公因式
（1）4a2-36b4=(2a)2-(6b2)2=(2a+6b2)(2a-6b2)
•
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
•
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
=(x-y)(a+b)(a-b)
例题精讲
例1：把下列各式分解因式
(1) 18a2-50
解：原式=2( 9a2-25)
=2(3a+5)(3a-5)
提公因式 平方差公式
例题精讲
(2) 2x2y－8xy+8y 解：原式=2y(x2-4x+4)
= 2y(x-2)2
提公因式 完全平方公式
练一练 把下列各式分解因式
当没有公因式可提
也不能运用公式时， 才可以先把多项式 化简，再进行因式 分解。
课堂小结 1.因式分解的一般步骤： 一提，二用，三验
观察 是否 有公 因式
有 提取 公因式
没有
观察 剩余项
观察 多项式
两项且 符号相反 平方差
公式
三项 完全平 方公式
2.需要注意的地方
(1)因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
•
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
2020Байду номын сангаас
9.5多项式的因式分解（5）—综合
七年级下册 数学
复习巩固 提公因式法
ab+ac+ad
a(b+c+d)
1.因式分解与整式乘法互为逆运算
单×多
因
整
式 分 解
2.公式中的字母可以代表数字，单项式 和多项式。
式 乘 乘法公式 法
a2-b2
(a+b)(a-b)
运用公式法
a2±2ab+b2 (a±b)2
例题精讲 例2、把下列各式分解因式
(2) 81x4-72x2y2+16y4
解：原式= (9x2)2- 2·9x2 ·4y2+(4y2)2 = (9x2-4y2)2 = [(3x+2y)(3x-2y)]2 =(3x+2y)2(3x-2y)2
完全平方公式
平方差公式
积的乘方公式 （ab)n=an ·bn
练一练
3. x4-2x2+1 =(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2
结果不是几个因式 积的形式
订正：原式=[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2
练一练
2.把下列各式分解因式： (1) 2x4y4-16x2y2+32
(2) x4(y2-1)+(1-y2)
练一练
(1) 2x4y4-16x2y2+32
订正：原式=4(a2-9b4)=4[a2-(3b2)2]=4(a+3b2)(a-3b2)
（2）(x2-2y)2-(1-2y)2 =[(x2-2y)+(1-2y)][(x2-2y)-(1-2y)] =(x2-4y+1)(x2-1)
分解不彻底
订正：原式=(x2-4y+1)(x2-1) =(x2-4y+1)(x+1)(x-1)
(4) (a+b)-a2(a+b)
解：原式=(a+b)(1-a2) =(a+b)(1+a)(1-a)
例题精讲
例2：把下列各式分解因式
(1)a4-16
(2)81x4-72x2y2+16y4
(1)解：原式=(a2)2-42 =(a2+4) (a2-4)
平方差公式 平方差公式
=(a2+4) (a+2) (a-2)
用
=(y+1)(y-1)(x2+1)(x2-1)
验
=(y+1)(y-1)(x2+1)(x+1)(x-1)
思维拓展
分解因式：
思考：什么时候才需要
(x2-3)(x2-5)+1
先把式子拆开化简呢？
解：原式=x4-8x2+15+1 =x4-8x2+16 =(x2-4)2 =[(x+2)(x-2)]2 =(x+2)2(x-2)2
解：原式=2(x4y4-8x2y2+16)
提
=2[(x2y2)2-2 ·x2y2 ·4+42]
用
=2(x2y2-4)2
验
=2[(xy+2)(xy-2)]2
=2(xy+2)2(xy-2)2
练一练
(2) x4(y2-1)+(1-y2)
解：原式=x4(y2-1)-(y2-1)
提
=(y2-1)(x4-1)
将 分 检查 解 进 行 到 底
(2)能提取公因式的，首先要提取公因式。特别当心数字因式，很容易忽略。
(3)结果一定要是积的形式。
•
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
(1) 2ax2-2ay4
解：原式=2a(x2-y4) =2a(x+y2)(x-y2)
(3) 3ax2+6axy+3ay2
解：原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
思考：-2xy+x2+y2
解：原式 =x2-2xy+y2 =(x-y)2
(2) -2xy-x2-y2
解：原式=-(x2+2xy+y2) =-(x+y)2