新编(人教A版)高中数学必修一-课件：第二章 2.1 2.1.1 第2课时 指数幂及运算
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高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第二章 2.1.1(二)
第二章 2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(二)学习目标1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值；3.了解无理数指数幂的意义.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 分数指数幂思考 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.一般地，分数指数幂定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0没有意义(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .知识点二 有理数指数幂的运算性质思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？答案 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q).知识点三 无理数指数幂实数一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.题型探究 重点难点 个个击破类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：跟踪训练1 把下列根式化成分数指数幂：解 解 解 类型二 用指数幂运算公式化简求值例2 计算下列各式(式中字母都是正数)：解 解 ＝4ab0＝4a；原式解 解 原式＝解 类型三 运用指数幂运算公式解方程例3 已知a>0，b>0，且a b＝b a，b＝9a，求a的值.解 方法一 ∵a>0，b>0，又a b＝b a，方法二 因为a b＝b a，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，达标检测 451231.化简 的值为( )BA.2B.4C.6D.8DCDB5.计算 的结果是( )A.32B.16C.64D.128规律与方法1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.。
高中数学新人教A版必修第一册 2.1.1 不等关系与比较大小 课件(39张)
bde bdebdb d
所以 a＋ 1＋ c＋ 1a＋ c＋ 1＋ 1， 即当变量a的值增加1会使S的值增加最大.
b de b d e
答案:a
4.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全 票,其余人可享受折优惠.〞乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.〞这 两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪 家更优惠.
b
综上可知,aabb≥abba(当且仅当a=b时取等号).
【补偿训练】
1.实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,那么a,b,c的大小关系
是 ()
A.c≥b>a
>c≥b
>b>a
>c>b
2.假设实数a≠1,比较a+2与 3
的大小.
1－ a
课堂素养达标
1.假设m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,那么m与n的大小关系是 ( )
【类题通法】用不等式(组)表示不等关系的三个步骤 (1)分析题中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量设为x或y,再用x或y来表示其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组).
【知识延拓】利用不等式(组)表示不等关系的一个关键点及一个注意点 关键点:准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言. 注意点:要注意“不超过〞“至少〞“低于〞表示的不等关系,同时还应考虑 变量的实际意义.
本课结束
Hale Waihona Puke 【定向训练】 1.假设m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,那么m,n,p,q的大小关系是_____. 【解析】把p,q看成变量, 那么m<p<n,m<q<n,即得m<p<q<n. 答案:m<p<q<n
所以 a＋ 1＋ c＋ 1a＋ c＋ 1＋ 1， 即当变量a的值增加1会使S的值增加最大.
b de b d e
答案:a
4.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全 票,其余人可享受折优惠.〞乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.〞这 两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪 家更优惠.
b
综上可知,aabb≥abba(当且仅当a=b时取等号).
【补偿训练】
1.实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,那么a,b,c的大小关系
是 ()
A.c≥b>a
>c≥b
>b>a
>c>b
2.假设实数a≠1,比较a+2与 3
的大小.
1－ a
课堂素养达标
1.假设m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,那么m与n的大小关系是 ( )
【类题通法】用不等式(组)表示不等关系的三个步骤 (1)分析题中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量设为x或y,再用x或y来表示其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组).
【知识延拓】利用不等式(组)表示不等关系的一个关键点及一个注意点 关键点:准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言. 注意点:要注意“不超过〞“至少〞“低于〞表示的不等关系,同时还应考虑 变量的实际意义.
本课结束
Hale Waihona Puke 【定向训练】 1.假设m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,那么m,n,p,q的大小关系是_____. 【解析】把p,q看成变量, 那么m<p<n,m<q<n,即得m<p<q<n. 答案:m<p<q<n
人教A版数学必修一2.1.1第2课时.pptx
)
a3
1
1
1 a3
4b3 2a 3b3 a 3
a 3 2b3
111
a 3 a 3 a 3 a.
类型 三 指数幂运算的条件求值
【典型例题】
1.x-2+x2=2 2且x>1，则x2-x-2的值为( )
A.2或-2
B.-2
C. 6 D.2
1
1
2.已知x+y=12，xy=9x，且x<y，求 x 2 y2 的值.
时3，，
9
1
1
1
1
x2
1
y2
1
32
1
92
1
x2 y2 32 92
33 33
3 2.
【拓展提升】条件等式求值的原则和方法技巧 (1)原则：①对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子 先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值. ②也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更 加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. (2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代 换”的技巧、换元思想.
故 6 y2 y6 选 项y3B，也不正确；
1
故x 3选项3 xD，不正确.
2.
1
3
31
1 3
71
7
a a a a a a2 a a2 a a2 2 a 4 a4 2 a8.
答案：a
7 8
【互动探究】若将题2变为 3 a 3 a 3 a，又如何化为分数指数幂的 形式呢？
【解析】3 a 3 a 3 a
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第2课时 指数幂及运算
一、分数指数幂的意义
正分数指 m
2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数课件(2)
栏目导引
3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x ⇒x>1. 答案： {x|x>1}
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 最大值比最小值大a2，求 a 的值． 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， ∴a2－a＝a2，即 a(2a－3)＝0， ∴a＝0(舍)或 a＝32>1，∴a＝32.
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[题后感悟] 如何判断形如y＝af(x)(a>0且a≠1) 的函数的单调性？
方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝ af(x2)时，多用作商后与1比较． 方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函 数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当 0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反．
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[解题过程] (1)∵x－1≠0，∴x≠1， ∴函数 y＝3x－1 1的定义域为{x|x≠1}， 又∵x－1 1≠0，∴y≠30＝1. ∴函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}， (2)函数的定义域为 R ∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4， y＝12x 在 R 上是减函数 ∴0<12x2－4x≤12－4＝16. ∴函数的值域为(0,16]．
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
人教版高中数学必修第一册第二章2.1.1等式性质与不等式性质(1)【课件】
列、三角函数、解析几何和实际应用的背景呈现，考查大小比较
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质
新版高一数学必修第一册第二章全部课件
即
.
x≥0
y≥0
000
，
归纳总结
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待
求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至
多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间
的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
前提．
跟踪训练
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 ( A )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
12 3
[解析] M－N＝x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0，
2
∴M>N，故选 A．
跟踪训练
2.比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小；
1
3.设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与a的大小．
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字
语言
大于
符号
语言
>
大于
等于
≥
小于
<
小于
等于
≤
至多
至少
不少于
不多于
≤
≥
≥
≤
2．比较两个实数 a、b 大小的依据
文字语言
如果 a>b，那么 a－b 是正数
符号表示
；
如果 a<b，那么 a－b 是 负数 ；
D．x＋y≤120
[解析]
由题意可得x＋y≥120，故选C．
问题与探究
实数的大小
.
x≥0
y≥0
000
，
归纳总结
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待
求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至
多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间
的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
前提．
跟踪训练
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 ( A )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
12 3
[解析] M－N＝x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0，
2
∴M>N，故选 A．
跟踪训练
2.比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小；
1
3.设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与a的大小．
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字
语言
大于
符号
语言
>
大于
等于
≥
小于
<
小于
等于
≤
至多
至少
不少于
不多于
≤
≥
≥
≤
2．比较两个实数 a、b 大小的依据
文字语言
如果 a>b，那么 a－b 是正数
符号表示
；
如果 a<b，那么 a－b 是 负数 ；
D．x＋y≤120
[解析]
由题意可得x＋y≥120，故选C．
问题与探究
实数的大小
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
高中数学第二章基本初等函数I2.1.1.1根式课件新人教版必修1
n 的奇偶性
a 的 n 次方根的 表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
பைடு நூலகம்
n a
a∈R
n 为偶数
n
±a
[0，＋∞)
(3)根式 n
式子__a__叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数__，a 叫做被开方数.
2.根式的性质
n
(1) 0＝_0_ (n∈N*，且 n＞1)；
n
(2)( a)n＝_a_ (n∈N*，且 n＞1)；
3.掌握两个公式：(1)(n a)n＝a，n 为奇数；(2)n an＝a，n 为偶
数，n an＝|a|＝a－a
（a≥0）， （a＜0）.
1.若 m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
5
D.
－m
解析 C 中，6 m隐含 m≥0；当 m<0 时，没有意义.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
(2)设 m＜0，则( －m)2＝________.
解析 (1)依题意，x 是 3 的 4 次方根，∴x＝±4 3.
(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴( －m)2＝－m.
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第2课时 指数幂及运算
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握根式与分数指数幂的 互化．
重点：分数指数幂的意义． 难点：利用指数幂的运算
2．会用有理指数幂的运算性 性质对代数式进行化简求 质进行简单运算. 值.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
2 3 1 1 (2)[ (0.027 3 ＋50×0.001 6 4 )] 2 . 4
[解析]
(1)原式＝[(5 ) ＋(2 ) ＋(73)
2 3 3
1 －4 2
1 1 3 2
] ＝(52＋22＋7) ＝36 ＝6.
1 2
1 2
16 3 1 3 3 2 2 4 3 1 1 27 2 1 1 1 (2)原式＝[ 1 000 3 ＋ ×50×10 000 4 ] 2 ＝[ 10 3 ＋ ×50×10 4 ] 2 ＝ 4 4 4 4
1 1 1 1 1 7 － 2 2 3 2 9 1 9 40 49 7 1 1 2 3 2 [ 10 ＋ ×50×10 ] ＝400＋10 2 ＝400＋400 2 ＝400 2 ＝20 ＝20 1 4 4
－
答案：(1)6
(2)9
1 (3) 2
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2．2 化成根式形式为( A. 2 C. 3 4 3
4
3 4
) B. 23 D． 43 2 4
2
答案：B
3．2 等于( A. 2 3
2
2 3
) B. 23 2
C．－ 2
3
2
D．
1 3 22
答案：D
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探究一 [典例 1]
根式与分数幂的转化
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2．化简求值： 49 1 1 －1.5 2 (1)0.000 1 ＋27 －( ) ＋( ) ； 64 9
1 7 0 81 1 (2)(0.064) －(－ ) ＋( ) 4 ＋|－0.01| 2 . 8 16 1 3 1 4 2 3
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解析：(1)原式＝(0.1 ) ＋(3 )
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二、有理数指数幂的运算性质 1．aras＝ ar
＋s
；
2．(ar)s＝ a ；
r r a 3．(ab) ＝ b
r
rs
.
三、无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数 ，有理数指数幂的运算 性质对于无理数指数幂同样适用．
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[双基自测] 1．已知 5a＝3,5b＝2，则 (1)5a＋b＝________； (2)52a＝________； (3)5 b＝________.
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(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运 算性质化简． (2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．
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1．用分数指数幂表示下列各式： 6 (1) a· －a(a<0)； 3 (2) 3
4
ab2 ab3(a，b>0)；
2 3 2 3
用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0)： a a；(4) y2 x x3 3 y 6 . y x3
3 (1)a2· a；(2)a3· a2；(3)
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[解析]
(1)a2· a＝a2· a ＝a
1 2
2+
1 2
＝a ；
5 2
2 2 11 3+ 3 (2)a3· a2＝a3· a 3 ＝a 3 ＝a 3 ； 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4
3 ＝0.4 －1＋ ＋0.1＝3.1. 2
－1
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忽略运算性质的条件而致误 [典例] 求[(1－ 2) ] －(1＋ 2) 1－1＋213÷ 47 的值．
课时作业
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[自主梳理] 一、分数指数幂的意义 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a ＝
m n
n
am
(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：
1
a
m n
＝
＝
n
am
(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)． ．
3．0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
1 4 4
2 3 3
7 1 －[82] 2 ＋
1 3 7－ 1－ －1 2 2 2 1 [3 ] ＝0.1 ＋3 －8 ＋3 3
8 314 ＝10＋9－ ＋27＝ . 7 7
1 1 3 (2)原式＝(0.43) －1＋[( )4] 4 ＋(0.12) 2 2 1 3
(3)
a a＝(a· a ) ＝ (a ) ＝ a ； y2 x
1 2
(4)
x3 3 y6 ＝ y x3
y2 x
x3 y6Leabharlann y x3 1 3＝
y2 x
x3 y2 y· x ＝
y2 2 x y x
1 2
＝
5 1 y2 4 4 2 xy ＝y ＝y y. x
20 ＝ . 7
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利用指数幂的运算性质化简求值的方法： (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数 为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根 式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
(3) ( b ) (b<0) (4) 1 3 x x22 5 (x≠0)．
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解析：(1)原式＝a · (－a) ＝－(－a)
3
1 3
1 6 1 2
1 3
· ( － a)
2 3 2
1 6
＝－(－a)
3 5 2 7 2
(a<0)；
(2)原式＝ ab a b a b ＝ (a · b ) ＝a b (3)原式＝(－b) (4)原式＝
1 x x
1 3 4 1 5 2
3 2
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
(a，b>0) ＝(－b)
3 5 1 9
2 1 2 3 4 3
(b<0)
＝x .
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探究二 [典例 2]
2 3
指数幂的运算
1 1 1 1 计算：(1)[125 ＋( ) 2 ＋343 3 ] 2 ； 16
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第2课时 指数幂及运算
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握根式与分数指数幂的 互化．
重点：分数指数幂的意义． 难点：利用指数幂的运算
2．会用有理指数幂的运算性 性质对代数式进行化简求 质进行简单运算. 值.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
2 3 1 1 (2)[ (0.027 3 ＋50×0.001 6 4 )] 2 . 4
[解析]
(1)原式＝[(5 ) ＋(2 ) ＋(73)
2 3 3
1 －4 2
1 1 3 2
] ＝(52＋22＋7) ＝36 ＝6.
1 2
1 2
16 3 1 3 3 2 2 4 3 1 1 27 2 1 1 1 (2)原式＝[ 1 000 3 ＋ ×50×10 000 4 ] 2 ＝[ 10 3 ＋ ×50×10 4 ] 2 ＝ 4 4 4 4
1 1 1 1 1 7 － 2 2 3 2 9 1 9 40 49 7 1 1 2 3 2 [ 10 ＋ ×50×10 ] ＝400＋10 2 ＝400＋400 2 ＝400 2 ＝20 ＝20 1 4 4
－
答案：(1)6
(2)9
1 (3) 2
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2．2 化成根式形式为( A. 2 C. 3 4 3
4
3 4
) B. 23 D． 43 2 4
2
答案：B
3．2 等于( A. 2 3
2
2 3
) B. 23 2
C．－ 2
3
2
D．
1 3 22
答案：D
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探究一 [典例 1]
根式与分数幂的转化
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2．化简求值： 49 1 1 －1.5 2 (1)0.000 1 ＋27 －( ) ＋( ) ； 64 9
1 7 0 81 1 (2)(0.064) －(－ ) ＋( ) 4 ＋|－0.01| 2 . 8 16 1 3 1 4 2 3
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解析：(1)原式＝(0.1 ) ＋(3 )
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二、有理数指数幂的运算性质 1．aras＝ ar
＋s
；
2．(ar)s＝ a ；
r r a 3．(ab) ＝ b
r
rs
.
三、无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数 ，有理数指数幂的运算 性质对于无理数指数幂同样适用．
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[双基自测] 1．已知 5a＝3,5b＝2，则 (1)5a＋b＝________； (2)52a＝________； (3)5 b＝________.
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(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运 算性质化简． (2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．
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1．用分数指数幂表示下列各式： 6 (1) a· －a(a<0)； 3 (2) 3
4
ab2 ab3(a，b>0)；
2 3 2 3
用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0)： a a；(4) y2 x x3 3 y 6 . y x3
3 (1)a2· a；(2)a3· a2；(3)
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[解析]
(1)a2· a＝a2· a ＝a
1 2
2+
1 2
＝a ；
5 2
2 2 11 3+ 3 (2)a3· a2＝a3· a 3 ＝a 3 ＝a 3 ； 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4
3 ＝0.4 －1＋ ＋0.1＝3.1. 2
－1
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忽略运算性质的条件而致误 [典例] 求[(1－ 2) ] －(1＋ 2) 1－1＋213÷ 47 的值．
课时作业
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[自主梳理] 一、分数指数幂的意义 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a ＝
m n
n
am
(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：
1
a
m n
＝
＝
n
am
(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)． ．
3．0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
1 4 4
2 3 3
7 1 －[82] 2 ＋
1 3 7－ 1－ －1 2 2 2 1 [3 ] ＝0.1 ＋3 －8 ＋3 3
8 314 ＝10＋9－ ＋27＝ . 7 7
1 1 3 (2)原式＝(0.43) －1＋[( )4] 4 ＋(0.12) 2 2 1 3
(3)
a a＝(a· a ) ＝ (a ) ＝ a ； y2 x
1 2
(4)
x3 3 y6 ＝ y x3
y2 x
x3 y6Leabharlann y x3 1 3＝
y2 x
x3 y2 y· x ＝
y2 2 x y x
1 2
＝
5 1 y2 4 4 2 xy ＝y ＝y y. x
20 ＝ . 7
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利用指数幂的运算性质化简求值的方法： (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数 为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根 式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
(3) ( b ) (b<0) (4) 1 3 x x22 5 (x≠0)．
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解析：(1)原式＝a · (－a) ＝－(－a)
3
1 3
1 6 1 2
1 3
· ( － a)
2 3 2
1 6
＝－(－a)
3 5 2 7 2
(a<0)；
(2)原式＝ ab a b a b ＝ (a · b ) ＝a b (3)原式＝(－b) (4)原式＝
1 x x
1 3 4 1 5 2
3 2
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
(a，b>0) ＝(－b)
3 5 1 9
2 1 2 3 4 3
(b<0)
＝x .
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探究二 [典例 2]
2 3
指数幂的运算
1 1 1 1 计算：(1)[125 ＋( ) 2 ＋343 3 ] 2 ； 16