黑龙江省绥化市第九中学高二理科新人教A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何 导学案

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

8486 复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量.

叫相反向量， a

的相反向量记着 .

叫相等向量. 向量的表示方法

有 ， ， 和 共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.

2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长

度和方向规定如下： (1)|λa |＝ .

(2)当λ＞0时，λa 与A. ；

当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a

加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）

数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb

二、新课导学

※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念

问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为

OB =

， AB = ，

试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.

a b a b +-

.

2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则

AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

AB BC + ⑴；

'AB AD AA ++

⑵；1'2

AB AD CC ++ ⑶

1(')2

AB AD AA ++ ⑷．

变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'

',AC BD 和'DB

.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平

移使它们转化为首尾相接的向量．

. b

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

一、课前准备

（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：

⑴ 5（32a b - ）+4（23b a -

）；

⑵ ()()

63a b c a b c -+--+- .

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a

与b

平行的充要条件是

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判

定它们的位置关系？

新知：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b

的充要条件是存在唯一实数λ，使得

推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直

线l 上的充要条件是

试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+

()

3CD a b =-

，求证: A,B,C 三点共线.

反思：充分理解两个向量,a b

共线向量的充要条件中

的0b ≠

，注意零向量与任何向量共线.

※ 典型例题

例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+

，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12

OP OA tOB =+

，那么t ＝

例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,

设CD =a ，',CB b CC c ==

，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .

变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：

⑴ '

AA CB - ;

⑵ '''''AB B C C D ++

⑶ '111222AD AB A A +-

D

试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满

足关系式111236

OP OA OB OC =++

,则点P 与 A,B,C

共面吗？

反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满

足关系式OP xOA yOB zOC =++

,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= .

※ 典型例题 例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）

①;OM OA OB OC =--

②111;532OM OA OB OC =++

③0;MA MB MC ++=

④0OM OA OB OC +++= . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一

点，若向量()17,53

OP OA OB OC R λλ=++∈ 则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=

例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OH

k OA OB OC OD

==== 求证：E,F ,G ,H 四点共面.