深圳市福田区外国语学校数学 二次函数单元测试卷附答案

深圳市福田区外国语学校数学 二次函数单元测试卷附答案

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y

轴的负半轴交于点C ．

()1求点B 的坐标．

()2若ABC 的面积为6．

①求这条抛物线相应的函数解析式．

②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为

1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭

． 【解析】

【分析】

（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；

（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到

12

(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；

②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．

【详解】

解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==

点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C

0,a ∴<

∴点B 坐标为()1,0．

()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <

1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,

()()116,2

a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．

0,a < 3a ∴=-

22 3.y x x =+-

②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，

∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-

则03,k =-

3k ∴=．

,POB CBO ∠=∠

∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC

∴直线OP 的函数解析式3,y x =为

则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩

1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)

，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点的P

坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭

； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，

则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-

则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩

1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)

，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点P'的坐标为

53715337

,

⎛⎫-+-

⎪ ⎪⎝⎭

综上可得，点P的坐标为

1133313

,

⎛⎫

++

⎪

⎪

⎝⎭

或

53715337

,

⎛⎫

-+-

⎪

⎪

⎝⎭

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．

2．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．

（1）当y0＝﹣1时，求m的值．

（2）求y0的最大值．

（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围

是．

（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）51

2

+

或﹣1；（2）

1

4

；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞

4

3

或

2

3

≤m＜1

【解析】

【分析】

（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；

（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；

（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），

由题意﹣m2+m＝﹣1，

解得m＝51

+

或

51

-+

（舍弃），

当m＝0时，显然不符合题意，

当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，

∴m＝﹣1，

综上所述，满足条件的m的值为51

2

或﹣1；

（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1

2

）2+

1

4

，

∵﹣1＜0，

∴m＝1

2

时，y0的最大值为

1

4

，

当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，

综上所述，y0的最大值为1

4

；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，

当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，

∴m＝1或0（舍弃），

∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，

故答案为0＜x1＜1；

（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，