江苏专转本高数 第八节 函数的连续性与间断点
高等数学的教学课件1-8函数的连续性
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
定义: 如果 x0使 f (x0 ) 0, 则 x0称为函数 f (x)的零点.
定理 6(零值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
证 lim f ( x)存在，设为A。取 1， x 则存在一个X 0，使得当x X时， 有 f ( x) A 1.
故在( X ,)上，f ( x) A 1. f ( x)在( X ,)上有界。
又函数f ( x)在[a, X ]上连续, 函数f ( x)在[a, X ]上有界. 故f ( x)在[a,)上有界。
y f ( x1 ) f ( x0 )或 y f ( x0 x) f ( x0 )
2.连续的定义
第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
高数上1.8函数的连续与间断
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
x0
x0
解 如图所示，
lim
x0
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注： 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1
例9
讨论函数
f (x)
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注： 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1 f (x)
1 x, x 1 在 x 1 处连续.
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值
f ( x0 ),
即 lim x x0
f (x)
f ( x0 ),
函数的连续性
定义2 设函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 内有定义, 如果
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值 f ( x0 ),
例 10(1)
讨论函数
f
(
x)
1 x
,
x 0在x 0
x, x 0
处的连续性.
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0 为函数的第二类间断点(无穷间断点).
例 10(2)
江苏专升本函数知识点归纳
江苏专升本函数知识点归纳江苏专升本考试是许多专科生提升学历的重要途径，其中数学是必考科目之一。
函数作为高等数学中的核心内容，其知识点的掌握对于考试至关重要。
以下是江苏专升本函数知识点的归纳：函数的定义与性质- 函数的定义：设A和B是两个非空的集合，如果存在一个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应，那么我们就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
函数的表示方法- 列表法：适用于定义域有限的情况。
- 分段函数：适用于函数在不同区间有不同的表达式。
- 公式法：最常见的表示方法，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
- 图像法：直观展示函数的图形特征。
基本初等函数- 幂函数：形如y=x^n的函数，其中n为实数。
- 指数函数：形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
- 对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a>0且a≠1。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
复合函数与反函数- 复合函数：两个函数的组合，如f(g(x))。
- 反函数：如果f(x)是一个函数，那么它的反函数f^-1(x)满足f(f^-1(x))=x。
函数的极限与连续性- 极限：函数在某一点或无穷远处的逼近值。
- 连续性：函数在某一点或某区间内无间断的特性。
导数与微分- 导数：函数在某一点处的瞬时变化率。
- 微分：函数在某一点处的线性主部。
积分学- 不定积分：求原函数的过程。
- 定积分：计算曲线与x轴所围成的面积。
级数- 无穷级数：项数无限多的数列。
- 收敛性：级数的和是否趋向于一个有限的值。
函数方程与不等式- 函数方程：涉及函数的等式。
- 不等式：函数值之间的大小关系。
结束语：掌握上述函数知识点，对于江苏专升本的考生来说，是提高数学成绩的关键。
(整理)2001—年江苏专转本高等数学真题(附答案) (2).
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
函数的连续性与间断点
3 单侧连续及闭区间的连 续性
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点左连续； －
x x0
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点右连续。 ＋
x x0
若f ( x )在 (a , b )内点点连续，且在 x＝a 点右连续 ; 记作 f ( x ) Ca ， b
由夹挤准则可知： 当 x 0 时, lim y 0 x 0
再由 x 0 点的任意性推知 y sin x 在( , )连续。
内有定义， 定义 2 设 y＝f ( x ) 在 U x 0，δ
若 lim f ( x )＝ f ( x 0 )
x x0
②
则称 f ( x ) 在 x 0 点处连续。
例 讨论 f ( x)＝sin x 在 （－，＋） 的连续性。
解： 任取 x 0 ( ,)
x x y sin( x 0 x ) sin x 0 2 sin cos( x 0 ) 2 2
x x x 2 sin cos( x 0 ) 2 sin x 2 2 2
x 0 为其跳跃间断点 .
1
x
返回
三、内容小结
在点 连续的等价形式
左连续
在点 间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一个不存在
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思考与练习
1. 设 连续函数. 提示:
, x 0 , a ____ 时 x sin 1 为 x f ( x ) f ( x) 2 a x ,可去间断点 .
1-8 函数的连续性与间断点
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:跳跃型, 可去型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
返回
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y 跳跃型
y 可去型
o y
x0
x y
o
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型 返回
返回
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y 跳跃型
y 可去型
o y
x0
x y
o
x0
x
o
x0
x
o
x 振型 返回
无穷型
例10 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0,
解 f ( 0) a ,
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续 .
返回
函数 f ( x )在 x0 处连续
左、右极限与函数值相等.
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
返回
x 2, x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
y
f (0 0) ,
o x
这种情况称为无穷间断点.
返回
间断点分类：
左、右极限都存在的间断点,
称为函数的第一类间断点 .
不是第一类间断点的间断点，
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在点x 处连续. 则称函数 y = f (x) 在点 0处连续 处连续的三个条件( 【注】f (x)在x0处连续的三个条件(三条缺一不可) )
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义
lim ② x→x f ( x) ;
0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ). 0 "ε δ "定义:
f ( x)在x0连续 ε > 0, δ > 0, 使当x x0 =| x |< δ 时 , 恒有 f ( x) f ( x0 ) < ε .
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1 x sin , 补例1】 【补例 】 试证函数 f ( x ) = x 0, 处连续
【证】
5/27
x ≠ 0, x = 0,
f ( x )的跳跃间断点 . x, 补例4】 【补例 】讨论 f ( x ) = 1 + x ,
x ≤ 0, x > 0,
在x = 0处的连续性
y
【 解 】 f ( 0 0 ) = 0,
f (0 + 0) = 1,
∵ f (0 0) ≠ f (0 + 0),
1
o
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∴ x = 0为函数的跳跃间断点 . 为函数的跳跃间断点
相关结论】 【相关结论】 ④ y = sin x 及 y = cos x 在 R 内连续 .
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11/27
二,函数的间断点
在点x 连续必须满足的三个条件 函数 f (x) 在点 0处连续必须满足的三个条件
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义 lim ② x→x f ( x) ;
0
有定义, lim 存在, ③虽在 x=x0 有定义,且 x→x f ( x) 存在,但 →
x→x0
lim f ( x) ≠ f ( x0 )
0
不连续( 间断), ),并称 则函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断),并称 不连续点( 间断点) 点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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9/27
【相关结论】 相关结论】 ① 有理函数 ( 多项式 ) 在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 . ∵§5中已证多项式 f (x)有 lim f ( x) = f ( x0 ) )
x→x0
②
P( x) (Q ( x0 ) ≠ 0 ) 有理分式函数 F ( x ) = Q( x ) 在定义域内连续. 在定义域内连续.
∵ Q( x0 ) ≠ 0 时, F( x) = F( x0 ) 已证 lim
x→x0
③ 函数 y =
x 在 (0,+∞ )内是连续的
0
lim ∵§3 例5 已证明 x0 > 0时, x x = x0 x→
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10/27
【例3】 证明函数 y = sin x在区间( ∞ ,+∞ )内连续. 】 【证】 任取 x ∈ ( ∞ ,+∞ ),
y x . . 则称 = f ( x)在点 0处连续x0称为连续点
设 x = x0 + x, y = f ( x) f ( x0 ), x → 0 就是 x → x0 ,
y → 0 就是 f ( x ) → f ( x0 ). 故定义又可叙述为 :
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4/27
定义2】 ⑶【定义 】 设函数 y = f ( x ) 在 U ( x0 , δ )内有定义 , 如果
如果函数在开区间 (a , b )内连续, 并且在左端点 x = a处右连续, 在右端点 x = b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 记 f ( x) ∈C[a, b].
几何表现】 【几何表现】
闭区间[a,b]上的连 上的连 闭区间 续函数的集合
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
x x y = sin( x + x ) sin x = 2 sin cos( x + ) 2 2 x x ∵ cos( x + ) ≤ 1, 则 y ≤ 2 sin . 2 2
对任意的 α , 当α ≠ 0时,
有 sin α < α ,
x ∴当x → 0时, y → 0. 故 y ≤ 2 sin < x , 2 即 函数 y = sin x对任意 x ∈ ( ∞ ,+∞ )都是连续的 .
增量的几何解释】 【增量的几何解释】 y
y = f (x)
y
y
y = f (x)
y
x
0 x0 + x
0
x0
x x 0 + x x
x0
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x
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2.【连续的定义】 . 连续的定义】
⑴【概念描述】 概念描述】 , 若当 x → 0时 y → 0,即lim y = 0
x→0
3/27
或
x→0
lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
y x . 则称 = f ( x)在点 0处连续
y U , 内有定义 如果 ⑵【定义1】 定义1 设函数 = f ( x)在 ( x0 ,δ ) lim y = lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
x→0 x→0
定理】 ⑶【定理】
f ( x)在 x0 处连续 f ( x)在 x0处既左连续又右连续
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7/27
x + 2, 补例2】 【补例 】 讨论函数 f ( x ) = x 2, 连续性
x ≥ 0, 在 x = 0处的 x < 0,
【解】
x →0 x →0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2) = 2 = f (0),
在x = 0
f (x) 在x0的邻域内显然有定义
1 ∵ lim x sin = 0, x→0 x
又 f ( 0 ) = 0,
由定义2知 由定义 知
lim f ( x ) = f (0), x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续
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6/27
3.【单侧连续】 . 单侧连续】
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16/27
如例5中 如例 中, 令 f (1) = 2,
y
2 1
2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点】 【特点】 函数在间断点 x0处的左,右极限都存在 . 处的左, 左右极限存在且相等 相等. 可去型 : 左右极限存在且相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等 不相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等.
x →0 x→0
lim f ( x ) = lim ( x 2) = 2 ≠ f (0),
右连续但不左连续, 右连续但不左连续,
故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续 .
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4.【连续函数与连续区间】 【连续函数与连续区间】
在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 连续函数,或者说函数在该区间上连续 函数在该区间上连续. 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
y
【解】 f ( 0 0) = 0, f (0 + 0) = +∞ ,
∴ x = 1为函数的第二类间断点
o
x
这种情况称为无穷间断点 这种情况称为无穷间断点
+ f ( x0 ) 与 f ( x0 ) 中至少有一个是 ∞ , 称之 . 特点】 【特点】
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1 【例7】 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0处的连续性 . 】 x
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2.【函数间断点的几种常见类型】 【函数间断点的几种常见类型】
(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点). 【第一类间断点】 左右极限都存在的点).
13/27
①[跳跃间断点]如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都 跳跃间断点]
+ 存在, 但 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ), 则称点 x0为函数
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1. 【间断点定义】 间断点定义】
在点x 某去心邻域内有定义 有定义. 设函数 f (x) 在点 0的某去心邻域内有定义.如果 有下列三种情形之一 之一: 函数 f (x) 有下列三种情形之一: 没有定义; ①在 x=x0 没有定义;
lim 有定义, 不存在; ②虽在 x=x0 有定义,但 x→x f ( x)不存在; →
0
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ).
0
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则 【描述】 描述】 不连续( 间断), 称函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断), 不连续点( 间断点) 并称点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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第八节 函数的连续性与间断点 一,函数的连续性 二,函数的间断点 三,小结 思考题