初中数学旋转难题

1、如图13－1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也就是BD 中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图13－2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测量BM ,FN

的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明您的猜想;

(2)若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交

于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立不？若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

图13－2

图13－3

图13－1 A ( B ( E )

2、(10河北|)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.

(1)在图15-1中请您通过观察、测量BF与CG的

长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,

然后证明您的猜想;

(2)当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时,

一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条

直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于

点E.此时请您通过观察、测量DE、DF与CG

的长度,猜想并写出DE＋DF与CG之间满足

的数量关系,然后证明您的猜想;

(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平

移到图15-3所示的位置(点F在线段AC上,

且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想就是否

仍然成立？(不用说明理由)

图15-3 图15-1

3、(2010 梅州)用两个全等的正方形ABCD 与CDFE 拼成一个矩形ABEF ,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合,且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转.

(1)当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE EF ，相交于点G H ，时,如图甲,通过观察或测量BG 与EH 的长度,您能得到什么结论？并证明您的结论.

(2)当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线,EF 的延长线相交于点G H ，时(如图乙),您在图甲中得到的结论还成立不？简要说明理由.

A B G C E

H F D 图甲

A B G C E H F

D 图乙

4、(09烟台市)如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别就是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2、

(1)求证:△BDE≌△BCF;

(2)判断△BEF的形状,并说明理由;

(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围、

5、如图①,四边形AEFG 与ABCD 都就是正方形,它们的边长分别为a b ，(2b a ≥),且点F 在AD 上(以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示). (1)求DBF S △;

(2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的DBF S △;

(3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周,在旋转的过程中,DBF S △就是否存在最大值、最小值？如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.

D C

B

A E

F G

G F

E A C D ① ②

(第28题)

6、如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点P 在AB 上从A 向B 运动,连接DP 交AC 于点

Q .

(1)试证明:无论点P 运动到AB 上何处时,都有△ADQ ≌△ABQ ; (2)当点P 在AB 上运动到什么位置时,△ADQ 的面积就是正方形ABCD 面积的

6

1; (3)若点P 从点A 运动到点B ,再继续在BC 上运动到点C ,在整

个运动过程中,当点P 运动到什么位置时,△ADQ 恰为等腰三角形.

1、解:(1)BM=FN。

证明:∵△GEF就是等腰直角三角形,四边形ABCD就是正方形, ∴∠ABD=∠F=45°,OB=OF,

又∵∠BOM=∠FON,

∴△OBM≌△OFN,

∴BM=FN;

(2)BM=FN仍然成立。

证明:∵△GEF就是等腰直角三角形,四边形ABCD就是正方形, ∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF,

∴∠MBO=∠NFO=135°,

又∵∠MOB=∠NOF,

∴△OBM≌△OFN,

∴BM=FN。

2、

3、解:(1)BG=EH.

∵四边形ABCD与CDFE都就是正方形, ∴DC=DF,∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°, ∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°, ∴∠CDG=∠FDH,

∴△CDG≌△FDH,

∴CG=FH,

∵BC=EF,

∴BG=EH.

(2)结论BG=EH仍然成立. 同理可证△CDG≌△FDH, ∴CG=FH,

∵BC=EF,

∴BC+CG=EF+FH,

∴BG=EH.

4、

5、

6、