船舶流体力学第7章(打印)
流体力学7[1].2 流体微团运动分析
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∂vx ∂x δvx δv = ∂vy y ∂x δvz ∂v z ∂x
∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y
∂vx ∂z δx ε γ γ 0 &x &z &y ∂vy & & & δy = γ z ε y γ x + ωz ∂z δz γ y γ x εz － y ∂vz & & & ω ∂z
∂vx ∂vx ∂vx vx + δy vx + δx + δy ∂x ∂y ∂y ∂vy ∂vy ∂vy c d vy + δy vy + δx + δy ∂y ∂x ∂y δy d1
c1
vy
a
δx
b
vy +
∂vy ∂x
δx
b1 a1
vx
(a) t时刻 t时刻
∂vx vx + δx ∂x
(b)
t＋ t＋△t时刻
1 ∂vx ∂vz ωy = − 2 ∂z ∂x
1 ∂vz ∂vy 也有类似的意义。 也有类似的意义。 ωx = − 2 ∂y ∂z
v 它们三者一起组成了角速度矢量 ω，且有 v v 1 ω = rotV 2
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
dx dy = ⇒x2 + y2 = c （流线是同心圆族） 解：流线方程： − ky kx
线变形：
& & εx = ε y = 0
（无线变形） 角变形：
& γz =0
（无角变形） 1 ωz = (k + k) = k 旋转角速度： 2 （逆时针的旋转） 刚体旋转流动
船舶推进--6-7章概要课件
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二、计算实例
某散装货船 采用MAU4 图谱桨 ZQAL12-8-3-2 Ne=11100 hp N=124 rpm D=5.6 m P/D=0.7 η0= 0.521 AE/A0=0.586 Vmax=14.68 kn ε=10o G=7.4 gf/cm3
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§7.3 桨叶的径向分布
一、桨叶的叶梢厚度
2、从提高空泡数着手 a 、增加桨的浸深 b、减小桨的转速
思考题：试述空泡的成因及其对螺旋桨性能的影响。
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§6.4 螺旋桨模型的空泡试验
一、相似定理
如几何相似的螺旋桨进速系数相等，则对应点处的速度成比 例，减压系数相等，如两者空泡数相等，对应点处的减压系数与 空泡数的关系一致，即模拟了空泡现象。 满足空泡相似条件：
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§7.4 螺距修正
一、毂径比不同对螺距的修正
设计螺旋桨的毂径比 系列螺旋桨的毂径比
二、叶厚比不同对螺距的修正
修正原则：螺距角 θ 与无升力角 α0 之和为常数
无升力角
其中
修正后的螺距角为
MAU B系列 弓形切面
螺距为
三、经过修正后螺旋桨的螺距
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思考题：螺旋桨设计中为何要进行螺距修正？
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如
则
，产生空泡
如
则
，不产生空泡
减压系数只与 Vb／V0 有关，故与切面形状、入射
角 αk及 B 点的位置有关， 与V0 的大小无关。
2
减压系数如图示分布，最高点为最大减压系数，压力最低。
在极限状态
则不发生空泡的
极限速度为：
空泡
气化空泡~水中空气逸出到气核 汽化空泡~水爆发式汽化 似是空泡~水中气核膨胀
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船舶流体力学测验第六章
船舶流体力学测验第六章1.求解势流问题，首先要在一定边界条件和初始条件下求解（A）。
A.拉普拉斯方程B.欧拉方程C.拉格朗日方程D.伯努利方程2.理想流体的无旋流动称为（D）。
A.定常流动B.均匀流动C.不可压缩流动D.势流3.关于势流问题，下列错误的是（B）。
A.势流为无旋流B.基本方程为伯努利方程C.势函数满足拉普拉斯方程D.波浪问题可以用势流理论求解4.流体由平面上各个方向流过来汇聚于一点，这种流动称为（B）。
A.源B.汇C.偶极子D.点涡5.关于偶极子流，说法错误的是（B）。
A.是一种极限流动B.有大小，没有方向C.是一对特殊状态下的源、汇D.大小用偶极矩来表达6.流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，强度为，方向垂直于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。
（对）7.绕圆柱体有环量流动中，单位长圆柱体所受升力大小与（D）无关。
A.来流密度B.来流速度C.环量D.圆柱体长度8.流体由平面上坐标原点流出，流向各个方向，这种流动称为（A）。
A.源B.汇C.偶极子D.点涡9.平面无环量圆柱绕流可以视为下列哪种流动的叠加（D）。
A.点源+点汇B.点源+均匀流C.点汇+均匀流D.偶极子+均匀流10.下列哪项不是流场中达朗贝尔缪理成立的条件（C）。
A.理想流体B.物体周围流场是无边际的C.物体做变速直线运动D.物体表面上没有分离11.绕圆柱体有环量流动可由下列（ABD）叠加得到。
A.均匀流B.点涡C.点汇D.偶极子12.物体在静止流体中做加速运动引起的附加质量，比在非定常流体中固定物体的绕流流动所引起的附加质量小，因而所受的流体作用力也小。
（对）13.在非匀速运动中，物体和流体存在相互作用。
流体会使物体产生附加惯性力的作用。
它是流体对物体的一种反作用力，表现为附加质量。
（对）。
流体力学教案第7章管内流动与管路计算
第七章管内流动与管路计算在第四章中，推出的粘性流体沿管道流动的总流伯努里方程为：w 2222221111+2++=2++h gV g p z g V g p z αραρ式中h w 是粘性流体从截面1流到截面2处，单位重量流体所损失的能量，它等于所有沿程损失和局部损失之和，即：j f w h h h +=沿程损失h f 是在每段缓变流区域内单位重量流体沿流程的能量损失。
研究表明，沿程损失与单位重量流体所具有的动能和流程长度成正比，与通道的直径成反比。
gV d l h 22f λ= 该式称为达西一威斯巴赫（Darcy-Weisbach ）公式。
式中λ为沿程损失系数，它与流体的粘度，流速、管道内径和管壁粗糙度等因素有关，是一个无量纲系数，除层流流动外，一般需要由试验确定。
局部损失h j 是当管道中因截面面积或流动方向的改变所引起的流动急剧变化时，单位重量流体的能量损失，通常表示为gV h 2=2j ζ 式中ζ称为局部损失系数，也是一个无量纲系数，根据引起流动的各种管件，由试验来确定。
要计算粘性流体在管道中的流动问题，需应用总流的伯努里方程。
而应用该方程的关键问题是求管道中的能量损失h w 。
总损失h w 等于各段沿程损失和局部损失之和。
若求沿程损失h f 和局部损失hj ，就必须确定沿程损失系数λ和局部损失系数ζ。
因此，确定沿程损失系数λ和局部损失系数ζ就成了本章的最关键的问题。
§7—1 圆管中的层流流动本节及以后各节所讨论的沿程损失系数的计算公式，只适用于管内充分发展的流动，而不适用于速度分布沿流程不断变化的管道入口段的流动（。
设流动为不可压流体在水平直管中的定常流动，流体充满整个管道截面，并为充分发展的层流流动。
取管道轴线与x 坐标一致。
在这样的流动中没有横向速度分量，即υ=w =0，仅有x 方的速度u 。
根据连续方程，可得0=∂∂xu (1)该式表明，u 与x 无关，仅为y 和z 的函数。
船舶流体力学(打印)
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
第七章 波浪理论及其计算原理
第七章 波浪理论及其计算原理在自然界中；常可以观察到水面上各式各样的波动，这就是常讲的波浪运动，它造成海洋结构的疲劳破坏，也影响船的航行和停泊的安全。
波浪的动力作用也常引起近岸浅水地带的水底泥沙运动，致使岸滩崩塌，建筑物前水底发生淘刷，港口和航道发生淤积，水深减小，影响船舶的通航和停泊。
为了海洋结构物、驾驶船舶和船舶停靠码头的安全，必须对波浪理论有所了解。
一般讲，平衡水面因受外力干扰而变成不平衡状态，但表面张力、重力等作用力则使不平衡状态又趋于平衡，但由于惯性的作用。
这种平衡始终难以达到，于是，水体的自由表面出现周期性的有规律的起伏波动，而波动部位的水质点则作周期性的往复振荡运动。
这就是波浪现象的特性。
波浪可按所受外界的干扰不同进行分类。
由风力引起的波浪叫风成波。
由太阳、月亮以及其它天体引起的波浪叫潮汐波。
由水底地震引起的波浪叫地震水波由船舶航行引起的波浪叫船行波。
其中对海洋结构安全影响最大的是风成波。
风成波是在水表面上的波动，也称表面波。
风是产生波动的外界因素，而波动的内在因素是重力。
因此，从受力的来看；称为重力波。
视波浪的形式及运动的情况，波浪有各种类型。
它们可高可低，可长司短。
波可是静止的一一驻波（即两个同样波的相向运动所产生的波，也可以是移动的——推进波以一定的速度将波形不变地向一个方向传播的波），可以是单独的波，也可以是一个接一个的一系列波所组成的波群。
§7-1 液体波动理论一、流体力学基础1、速度场 描述海水质点的速度随空间位置和时间的变化规律的一个矢量。
),,,(t z y x V V =它的三个分量为：x 方向的量：),,,(t z y x u u =y 方向的量：),,,(t z y x v v =z 方向的量：),,,(t z y x w w =2、速度势 对于作无旋运动的液体，存在一个函数，它能反映出速度的变化，但仅仅是反映速度大小的变化，这个函数称为速度v的势函数，简称速度势： ),,,(t z y x φφ=3、速度与速度势的关系x u ∂∂=φ， y v ∂∂=φ， zw ∂∂=φ 二、海水运动的基本假设1、海水无粘性，只有重力是唯一的外力；2、液体自由液面上的压力为常数；3、液体波动振幅相对于波长为无限小；4、液体作无旋运动。
第七章-波浪理论及其计算原理
第七章 波浪理论及其计算原理在自然界中；常可以观察到水面上各式各样的波动，这就是常讲的波浪运动，它造成海洋结构的疲劳破坏，也影响船的航行和停泊的安全。
波浪的动力作用也常引起近岸浅水地带的水底泥沙运动，致使岸滩崩塌，建筑物前水底发生淘刷，港口和航道发生淤积，水深减小，影响船舶的通航和停泊。
为了海洋结构物、驾驶船舶和船舶停靠码头的安全，必须对波浪理论有所了解。
一般讲，平衡水面因受外力干扰而变成不平衡状态，但表面张力、重力等作用力则使不平衡状态又趋于平衡，但由于惯性的作用。
这种平衡始终难以达到，于是，水体的自由表面出现周期性的有规律的起伏波动，而波动部位的水质点则作周期性的往复振荡运动。
这就是波浪现象的特性。
波浪可按所受外界的干扰不同进行分类。
由风力引起的波浪叫风成波。
由太阳、月亮以及其它天体引起的波浪叫潮汐波。
由水底地震引起的波浪叫地震水波由船舶航行引起的波浪叫船行波。
其中对海洋结构安全影响最大的是风成波。
风成波是在水表面上的波动，也称表面波。
风是产生波动的外界因素，而波动的内在因素是重力。
因此，从受力的来看；称为重力波。
视波浪的形式及运动的情况，波浪有各种类型。
它们可高可低，可长司短。
波可是静止的一一驻波（即两个同样波的相向运动所产生的波，也可以是移动的——推进波以一定的速度将波形不变地向一个方向传播的波），可以是单独的波，也可以是一个接一个的一系列波所组成的波群。
§7-1 液体波动理论一、流体力学基础1、速度场 描述海水质点的速度随空间位置和时间的变化规律的一个矢量。
),,,(t z y x V V它的三个分量为：x 方向的量：),,,(t z y x u uy 方向的量：),,,(t z y x v vz 方向的量：),,,(t z y x w w2、速度势 对于作无旋运动的液体，存在一个函数，它能反映出速度的变化，但仅仅是反映速度大小的变化，这个函数称为速度v的势函数，简称速度势： ),,,(t z y x3、速度与速度势的关系x u ， y v ， zw 二、海水运动的基本假设1、海水无粘性，只有重力是唯一的外力；2、液体自由液面上的压力为常数；3、液体波动振幅相对于波长为无限小；4、液体作无旋运动。
哈工程船舶流体力学答案第七章答案
第七章答案7-1 油在水平圆管内作定常层流运动，d=75mm, Q=7l/s, ρ=800kg/3m , 壁面上τ=48N/2m ,求油的粘性系数。
解：圆管层流，流量44482a p Q Q p l l aπμμπ∆=∆⇒= 管壁上342433444 3.5510/24p Q Q Q a y a a m s l a a a Q μμρυτπτυπππρ-∆=====⇒==⨯ （结论）7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？答：把湍流中微团的脉动与气体分子的运动相比拟，将Reynolds 应力用混合长度与脉动速度表示。
7-3 无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下作定常层流运动，自由面上压力为大气压Pa 且剪切应力为0。
流体密度为ρ ，运动粘性系数为 ν，平板倾斜角为 θ。
求垂直于x 轴的截面上流体的速度分布和压力分布。
解：不可压缩平面流动的Navier-Stokes 方程为：2211x y u u upu v f u t x y xv v v p u v f v tx y yυρυρ∂∂∂∂⎧++=-+∇⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=-+∇⎪∂∂∂∂⎩连续方程为：0u v t t∂∂+=∂∂ 由于流动定常，故Navier-Stokes 方程中0u v t t∂∂==∂∂，则 Navier-Stokes 方程可简化为2211x y u u p u v f u x y x v v p u v f v xy y υρυρ∂∂∂⎧+=-+∇⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=-+∇⎪∂∂∂⎩边界条件为：y=0时，u=0 ,v=0y=h 时，v=0,τ=0，p=Pa由上述边界条件知，v 始终为0，故0,0v u x∂∂==∂∂。
则以上Navier-Stokes 方程的第二式可进一步简化为：10y pf yρ∂=-∂1cos cos cos y p pf g g p g y c y yθρθρθρ∂∂⇒==-⇒=-⇒=-+∂∂ 由y=h 时p=Pa 解得：常数cos c Pa g h ρθ=+故cos ()P Pa g h y ρθ=+-以上Navier-Stokes 方程的第一式可进一步简化为：210x pf u xυρ∂=-+∇∂ 因p 为y 的函数，所以上式中p x∂∂=0 上式最终简化为：22222212sin sin sin sin 2x u f g d ug dy d u g dy g y u c y c υθυθρθμρθμ∇=-=-⇒=-⇒=-⇒=-⋅++由边界条件，y=0时，u=0,立即得到2c =0，又由11sin 01sin g h c c g hρτμθμρθμ⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭⇒=⋅ 所以21sin sin 2g y u g h y ρθρθμμ=-⋅+⋅⋅2s i n 2y hy γθμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（答案）7-4 两块无限长二维平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ、2μ，密度分别为1ρ、2ρ，厚度分别为1h 、2h 。
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第七章 势流理论（二）本章主要讨论：轴对称有势流动和机翼绕流的有关理论。
§7.1 轴对称流动一条曲线绕轴旋转一周形成的物体形状称为旋成体。
当来流沿旋成体中轴线方向绕流旋成体时，通过中轴线的各子午面上的流动均相同，这种流动称为轴对称流动。
比如，均匀流绕圆球的流动。
对于无旋轴对称流动，存在速度势函数φ和流函数ψ 。
但，速度势函数φ是调和函数，流函数 ψ 不是调和函数。
采用柱坐标(r ,θ,x )，设 x 轴为对称轴，流动参数不随 θ 变化。
),,(t x r v v r r = ),,(t x r v v x x =不可压缩流体的轴对称势流应该满足：()()0=∂∂+∂∂xrv r rv x r 连续性方程：0=∂∂-∂∂r v x v xr 无旋条件： 如果存在物体壁面S ，速度应该在物面上满足边界条件：0=v 物面法向流速为零：∞=V 无穷远处流速：求解不可压缩流体轴对称势流问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。
有两种数学求解途经:rxV ∞轴对称轴途径一：0122222=∂∂+∂∂+∂∂=∇xr r r φφφφ控制方程：0=V 物面无穿透条件：∞=V 无穷远处来流：xv rv x r ∂∂=∂∂=φφ,这里：速度势函数φ是调和函数，可以采用叠加法求解。
途径二：0122222=∂∂+∂∂-∂∂=x r r r D ψψψψ控制方程：0=V 物面无穿透条件：∞=V 无穷远处来流：rr v xr v x r ∂∂=∂∂-=ψψ1,1这里：流函数函数Ψ不是调和函数，称为斯托克斯函数。
但它是线性的，也可采用叠加法求解。
一.基本的轴对称势流：1.均匀直线流：0,,0===∞θv V v v x r∞=∂∂==∂∂=V x v r v x r φφ,0 x V ∞=∴φ∞=∂∂==∂∂-=V r r v x r v x r ψψ1,01又 221r V ∞=∴ψ2.空间点源(汇)流：(0 , 0)处有一点源 Q ： R v R Q 24π=()22244xr QR Q v R +==ππ如图，有：()22224sin xr rx r Q v v r R r +⋅+===∂∂∴πθφ()22224cos xr xx r Q v v x R x +⋅+===∂∂∴πθφ 2214xr Q +⋅-=∴πφ()23224x r rxQrv r x +==∂∂πψ又：()232224x r Qr rv x r +=-=∂∂πψ且：224x r xQ +⋅-=∴πψ 22224,14xr xQ xr Q +⋅-=+⋅-=πψπφ即：当点源在 x 0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：()()22022414x x r x x Q x x r Q -+-⋅-=-+⋅-=πψπφ 3.空间偶极子流：0lim 0>=∆∞→→∆M x Q Q x 令：()()23222222220414114limx r x M x r x M x x x r xr x Q Q x +⋅-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆-+-+∆=∞→→∆πππφ令：()23224x r x M +⋅-=∴πφ ()232224x r r M +⋅=πψ亦可得：当偶极子在 x 0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：()[]()[]232322222044x x r r M x x r x x M-+⋅=-+-⋅-=πψπφ*二.均匀来流绕圆球体的流动：采用球坐标（R ，θ，λ）。
柱坐标与球坐标的关系为： θθcos sin R x R r ==均匀流： 221r V x V ∞∞==ψφ偶极子流： ()()23232222244x r r M x r xM +⋅=+⋅-=πψπφ 叠加后得到： θπθψθπθφ2222sin 4sin 21cos 4cos RMR V RMR V -=+=∞∞ 求出速度： θπφcos 123⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=∴∞R M V R v R θπθφθsin 1413⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂=∴∞R M V R v在球表面 v R = 0 ，故： ∞=V R M 302π 302∞=∴V MR π θR R R V cos 2230⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴∞φ θR R R V ψ2302sin 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞θR R V v R cos 1330⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞相应地：θR R V v θsin 21330⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞球表面速度分布： θV v v θR sin 23∞-==设无穷远处压强为 p ∞，由伯努利方程，有： ()2222222θρρρV V p V p V p R ++=+=+∞∞于是，得到球表面的压强分布： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞∞θV p p 22sin 4912ρ 球表面的压强系数分布： θC p 2sin 491-= 流体作用在球体上的阻力和升力均为零。
例1: x =d ，点汇 –Q ；x = -d ，点源 Q ，与均匀流 V ∞ 叠加。
求流函数和物面形状。
解: 叠加三个基本势流的流函数，得到：()()222224421d x r d x Q d x r d x Q r V ψ++-⋅++++⋅-=∞ππ令 ψ = 0，得到零流线方程：()()0442122222=++-⋅++++⋅-∞d x r dx Q d x r d x Q r V ππ 代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。
显然，流函数Ψ = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。
这类卵形回转体也称为兰金（Rankine ）体。
§7.3 有限翼展机翼对机翼理论的研究是流体力学中最引人注目的应用课题之一。
舰船上的舵、水翼、减摇鳍等本身就是机翼，螺旋桨、透平机械的叶片、水泵的叶片等都是利用机翼的原理工作的。
我们可以利用机翼原理来产生升力（例如飞机、风筝等）或推力（例如螺旋桨等），因此机翼理论的研究对船舶工程有重要意义。
一.机翼的几何参数：翼型：翼型是机翼剖面的基本形状。
翼型具有产生的升力与阻力之比（升阻比）尽可能大的体形，整体上是优良流线形，使流体能顺着其表面尽可能无分离地向尖后缘流去。
如图所示为翼型无分离地绕流。
前缘或导边（leading edge）：迎流的一端。
后缘或随边（trailing edge）：翼面：迎向来流的一面，形状可凸可凹。
翼背：背向来流的一面。
攻角α（angle of attack）：来流与弦之间的夹角。
工程实际中应用的一些翼型的基本形状：后缘总是尖的（产生环量）。
圆前缘：减小形状阻力。
尖前缘：减小压缩性所引起的激波阻力或自由表面所引起的兴波阻力。
中线（center line):翼型内各圆弧中点的连线。
翼弦（chord): 中线两端的连线，常作为翼型基线。
对称翼型：中线与弦线重合的翼型。
厚度（thicheness)ｔ：翼弦的垂线与翼型上下表面交点之间的最大距离。
相对厚度：翼厚与弦长之比。
bt t =展长l一般来说，翼型的厚度与翼弦相比要小得多，许多实用场合中翼展比翼弦大得多。
展弦比：λ= 翼展的平方/翼面积Ｓ S l 2=λ对于矩形机翼： bl lb l S l ===22λ 水翼λ＝５～７。
船用舵λ＝0.5～1.5。
λ＜２称小展弦比机翼。
λ＞３称大展弦比机翼。
λ＝∞，无限翼展机翼，即为二元机翼。
二.有限翼展机翼：实际上机翼的展弦比均为有限值，故流动是三维的。
对于无限翼展机翼，可近似用一根无限长的涡线（涡线有Γ）来代替，称附着涡。
而对于有限翼展机翼，却不能用有限长附着涡来代替机翼，因为这样旋涡会在流体内终止。
对于有限翼展机翼，由于下翼面压力大于上翼面：上翼面下翼面上下上翼面流线向中间偏移，下翼面流线相反。
上下压差作用下产生自由涡。
自由涡与附着涡联成Π形涡。
由海姆霍兹定理已知Π形涡Γ＝常数。
图片三.下洗和诱导阻力：如图，对于矩形机翼上任一点Ａ，坐标为ｙ，用半无穷直线涡公式得左自由涡在该点所诱导的速度：yv z π4Γ-= 左自由涡产生的沿翼展的平均诱导速度为： ⎰+=le e z i dy v l w 1因左右对称，整个机翼下面的平均诱导速度为： ⎰+=le ez i dy v l w 2e l e l y dy l dy y lw le e le ei +Γ-=Γ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-=∴⎰⎰++ln 2242πππ 左、右翼端涡在机翼下面产生的平均诱导速度，方向向下，称为下洗速度，或称为下滑速度。
来流速度与下洗速两速度矢相加： w V V +=∞ 式中V 为实际（有效）来流速度。
V 的方向与翼弦的夹角为： i e ααα-= 式中αe 为有效攻角，αi 为下洗角或下滑角。
下洗角可由下式计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞-V w i i 1tan α 因为Ｗi 向下故为负值。
库塔—儒柯夫斯基力为： Γ='V L ρ力L ´在升力和阻力方向的投影分别为： i i iV R V L αραρsin cos Γ=Γ=一般地，下洗速度W i 很小，即αi 很小，故有： i i i αααtan sin ≈≈ 这时： ∞-≈V w ii α下洗角：， Γ≈∞V L ρ升力：， Γ-=≈i i i w L R ρα诱导阻力：。
如果在翼端装上当板，限制绕流，可减小诱导阻力，如图所示：§7.4 升力线理论一.有限翼展机翼的升力模型：实际有限翼展机翼沿翼展方向的剖面的形状，安装角度有变化，各个截面环量也变化。
如图，用Π形涡系代替单一的Π形涡，附着涡在翼展上迭合在一起形成升力线，Π形涡系的自由涡连成一整体而形成涡面。
虽然每根Π形涡环量不变，但沿翼展不同截面有数目不同的Π形涡，所以沿翼展环量是变化的。
二.有限翼展机翼的升力线理论：λ＞２：大展弦比机翼。
λ＜２：小展弦比机翼或短翼。
λ＞２时机翼的附着涡系可用一根涡丝来代替，这根涡丝通常称为升力线（liftline）。
升力线理论：以升力线为理想模型的计算机翼动力特性的理论。
引入两点假定：(1)自由涡面是平面，延伸至无穷远而不翻卷成两股大涡，自由涡面旋涡角速度矢量平行来流。
(2)翼面上横向流动很小，任一剖面处可作平面流动处理，三元效应仅考虑各翼剖面处下洗速度和下洗角的不同。
这就是“简单的切片理论”方法：点产生的下洗速度为：的涡丝在升力线上处强度为y d d d d d ηηηηη)(Γ'=Γ=Γ ηηηπ-Γ'=y d dw i )(41沿展向积分得整个自由涡在y 处的诱导速度： ⎰--Γ'=22)(41ll y d w i ηηηπ对于小攻角，下洗角αi 为小量，有： ∞-≈V w ii α 宽度为dy 的一段机翼的二维升力为： dy y V dL )(Γ=∞ρ 按定义升力垂直于来流： dy y V dL dL i )(cos Γ==∞ρα 诱导阻力： dy y w dL dR i i i )(tan Γ-==ρα 整个机翼的升力和诱导阻力：⎰-∞Γ=22)(ll dy y V L ρ ⎰⎰⎰---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-Γ'Γ-=Γ-=222222)()(4)()(4l l l l ll dy y d y dy y y w R i i ηηηπρπρ可见,要求出诱导阻力,必须要知道沿翼展的速度环量分布。