7-线性规划的概念及图解法
合集下载
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划图解法
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条
件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获
取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投
资回报最大
3
第二章 线性规划的图解法
• 产品生产计划：合理利用人力、物力、财 力等，使获利最大
第二章 线性规划的图解法
• 对于只有两个变量的简单的线性规划问 题，一般采用图解法求解。这种方法仅 适用于只有两个变量的线性规划问题。 它的特点是直观而易于理解，但实用价 值不大。
第二章 线性规划的图解法
1.基本概念 （1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Maxf 7x1 12x2
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
2
2 ln
x2
1 x3
第二章 线性规划的图解法
9x1 4x2 360
s
.t
.43
x1 x1
5x2 10x
200 2 300
x1, x2 0
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素： （也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。
（2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2
线性规划的图解法
X2
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
线性规划的图解法
价值系数向量或 目标函数系数向量
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）
设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型
例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）
例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）
设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型
例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）
例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
四 图 解 法
(1)分别取决策变量X (1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标 分别取决策变量 系。取各约束条件的公共部分
x2 2x1+x2=400 x2=250
x1+x2=300
x2=0
x1=0 图2-1
x1
（2）目标函数 ）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到 取某一固定值时得到 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 称之为“等值线” 平行移动等值线，当移动到B点时 点时， 称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到 点时， z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域 在可行域内实现了最大化。 ， ， ， ， 是可行域 在可行域内实现了最大化 的顶点， 的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限 的。 x
3 4 5 1 2 3 5 i
四 图解法
对于只有两个决 对于只有两个决 两个 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 并求解。
目标函数： 例1.目标函数： 目标函数 Max S = 50 x1 + 100 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x 2 ≤ 250 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
线性规划 （Linear Programing ）
第五章 线性规划问题的概念与图解法
一、概念的引出
某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 2kg 料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需要2 销售后获得利润160元 生产1盒当归膏需要2 160 个劳动工时，使用5kg当归原料， 个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得利润 5kg当归原料 80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 80元 工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 4000工时 可供使用的当归原料为5800kg， 可供使用的当归原料为5800kg，为避免当归原料 5800kg 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 5800kg 用掉。问工厂如何安排生产， 用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种产品 销售后获得的总利润最大？ 销售后获得的总利润最大？
二、 线性规划的表现形式
一般形式： 一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 线性函数. 线性函数 目标函数： 目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn ） 约束条件： 约束条件：
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
第一种下料方式用掉 根角钢； 下料方式用掉x 解：设第一种下料方式用掉x1根角钢； 第二种下料方式用掉x 根角钢； 第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根角钢；变量x 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 即为决策变量。 x3即为决策变量。
数学模型为： 数学模型为：
x2 ≥ 350 125 x2 ≤ 600 x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 的缩写。 的缩写 意思为“ 受约束于” 于，受约束于”
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 决策变量 数 学 规 划
Min (或Max ) z = f ( x ), x = ( x1 , ⋯x n )T s.t. g i ( x ) ≤ 0, i = 1,2, ⋯ m
第二种下料方式用掉x 根管料； 第二种下料方式用掉x2根管料；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根管料；第四种下 种下料方式用掉x3根管料；第四种下 料方式用掉x4根管料；第五种下料方 料方式用掉x 根管料；第五种下料方 式用掉x 根管料；变量x 式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5即 为决策变量。 为决策变量。
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
基本线性规划形式
目标函数： 目标函数 约束条件： 约束条件： Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn （ s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
设购买A种原料为 ， 种原料为 ， 种原料为x 种原料为x 解：设购买 种原料为 1，B种原料为 2，可建立以下 数学模型： 数学模型：
目标函数： 目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x1 ≥ 2 x1 + x1 ,
决策变量为： 决策变量为：x1, x2
分析：共有三种下料方式，第一种是将 是将1 分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢； 根长210的角钢截得2根长80cm的角钢；第 210的角钢截得 80cm的角钢 二种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 210的角钢截得 80cm 2根60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 的角钢 是将210cm 截得3根长60cm的角钢。 60cm的角钢 截得3根长60cm的角钢。现这三种下料方式 应该混合使用。 应该混合使用。
min S = x1 + x2 + x3 2 x1 + x2 ≥ 150 2 x1 + 3 x3 ≥ 330 x ≥ 0, 整数（i = 1,2,3） i
条件下料问题2 条件下料问题
某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 7.4m的同型钢管 因生产需要，需将其截成长2.9m、 因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.9m 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。若 三种不同长度的管料 三种管料各需100根 问应如何下料， 三种管料各需100根，问应如何下料， 100 才能使得用料最省？写出数学模型。 才能使得用料最省？写出数学模型。
f(x)~目标函数 目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划 gi(x)≤0~约束条件 ≤ 约束条件
线性规划问题（ ）： 线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。 的极大值或极小值问题。 相关定义： 相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解 决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 满足约束条件的解称为可行解； 可行解 所有可行解构成的集合称为可行解集； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 可行解集 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解 最优值。 最优解所对应的目标函数值称为最优值 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
设工厂生产x 盒当归丸与x 瓶当归膏， 解 设工厂生产 1盒当归丸与 2瓶当归膏， 可建立以下数学模型： 可建立以下数学模型：
max S = 160 x1 + 80x 2 5x1 + 2 x 2 ≤ 4000 2x1 + 5x 2 = 5800 x ≥ 0, 整数（i = 1,2） i
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，