牛顿运动定律常用解题方法

三、牛顿运动定律常用解题方法1．合成法与分解法【例1】如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg ．（g ＝10m/s 2，sin37°＝，cos37°＝）（1）求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况． （2）求悬线对球的拉力．解析：（1）球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象．球受两个力作用：重力mg 和线的拉力F T ，由球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．做出平行四边形如图所示．球所受的合外力为F 合＝mg tan37°由牛顿第二定律F 合＝ma 可求得球的加速度为=︒==37tan g mF a 合7.5m/s 2加速度方向水平向右．车厢可能水平向右做匀加速直线运动，也可能水平向左做匀减速直线运动． （2）由图可得，线对球的拉力大小为8.010137cos ⨯=︒=mg F T N= N 点评：本题解题的关键是根据小球的加速度方向，判断出物体所受合外力的方向，然后画出平行四边形，解其中的三角形就可求得结果．2. 正交分解法当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有F ma F ma x x y y ==，，有的情况下分解加速度比分解力更简单。

例3. 质量为m 的物体放在倾角为α的斜面上斜面固定在地面上，物体和斜面间的动摩擦因数为μ，如沿水平方向加一个力F ，使物体沿斜面向上以加速度a 做匀加速直线运动，如图2的所示，则F 的大小为多少图2解析：物体受力分析如图2（a ）所示，以加速度方向即沿斜面向上为x 轴正向，分解F 和mg ，建立方程并求解：图2（a ）x 方向：F mg F ma f cos sin αα--= y 方向：F mg F N --=cos sin αα0 又因为F F f N =μ联立以上三式求解得F m a g g =++-(sin cos )cos sin αμααμα例4. 如图3所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的65，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍解析：此题为分解加速度较简单的典型例题，对人受力分析如图3（a ）所示，取水平向右为x 轴正方向，此时只需分解加速度，建立方程并求解：图3（a ）x 方向：F ma f =cos30y 方向：F mg ma N -=sin 30解得F mgf =353. 假设法在分析物理现象时，常常出现似乎是这又似乎是那，不能一下子就很直观地判断的情况，通常采用假设法。

例5. 两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图4所示，滑块A 、B 的质量分别在M 、m ，A 与斜面间的动摩擦因数为μ1，B 与A 之间的动摩擦因数为μ2，已知滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B 受到的摩擦力（ ）A. 等于零B. 方向沿斜面向上C. 大小等于μθ1mg cosD. 大小等于μθ2mg cos解析：以B 为研究对象，对其受力分析如图4所示，由于所求的摩擦力是未知力，可假设B 受到A 对它的摩擦力沿斜面向下，由牛顿第二定律得mg F ma fB sin θ+=①对A 、B 整体进行受力分析，有()sin ()cos ()M m g M m g M m a +-+=+θμθ1②由①②得F mg fB =-μθ1cos式中负号表示F fB 的方向与规定的正方向相反，即沿斜面向上，所以选B 、C 。

4、整体法与隔离法例1、如图所示，在粗糙的水平面上有一个三角形木块abc ，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m 1和m 2的木块，m 1＞m 1；已知三角形木块和两个物体都静止，则粗糙的水平面对三角形木块 （ ）A 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右；B 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左；C 、有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m 1、m 2、θ1、θ2的数值均未给出；D 、没有摩擦力的作用。

分析：对abc 和m 1、m 2组成的系统进行分析，除水平面对abc 下表面可能存在水平方向的摩擦力以外，整体受到系统外的作用力只有abc 和m 1、m 2的重力G 和水平面的支持力F N ，受力情况如图2所示，在水平方向系统不受其它外力，而abc 和m 1、m 2组成的系统中各物体的加速度都为零，系统处于平衡状态，所以在水平方向a 受到水平面的摩擦力必为零。

即abc 相对于水平面没有运动趋势。

故正确的答案是D 。

b如图2b如图1例5. 如图12所示，两个用轻线相连的位于光滑平面上的物块，质量分别为m 1和m 2。

拉力F 1和F 2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且。

试求在两个物块运动过程中轻线的拉力。

图12解析：设两物块一起运动的加速度为a ，则对整体有对m 1有解以上二式可得点评：该题体现了牛顿第二定律解题时的基本思路：先整体后隔离––––即一般先对整体应用牛顿第二定律求出共同加速度，再对其中某一物体（通常选受力情况较为简单的）应用牛顿第二定律，从而求出其它量。

系统内各物体加速度不同时对于整体法，其本质是采用牛顿第二定律，设质点系在某一方向上所受到的合力为F ，质点系中每一个物体的质量分别为m 1、m 2、m 3……，每一个物体的加速度分别为a 1、a 2、a 3……，则F ＝ m 1a 1 ＋m 2a 2 ＋m 3a 3＋……。

例1：如图1所示，质量为M 的框架放在水平的地面上，内有一轻质弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的小球。

小球上下振动时不与框架接触，且框架始终没有跳起。

则当框架对地面的压力刚好为零时，小球的加速度为多大解：对于本题，若采用常规的方法，先对框架进行受力分析，如图2所示，弹簧对框架的作用力为N ＝Mg 。

再对小球进行受力分析，如图3所示，则根据牛顿第二定律可得：N ＋mg ＝ma Mg ＋mg ＝ma a ＝Mg +mgm图1图2MgN图3N mg若采用整体法，取框架、小球为一个整体，则整体所受的合力为Mg ＋mg ，框架的加速度a 1＝0，小球的加速度a 2＝a ，则根据牛顿第二定律可得：Mg ＋mg ＝Ma 1＋ma 2＝maa ＝Mg +mg m可见，采用整体法比分别分析两个物体要简单。

【例8】如图所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的21，即a =21g ，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的能力.B 级要求.错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连续体问题难以对其隔离，列出正确方程.（2）思维缺乏创新，对整体法列出的方程感到疑惑.解题方法与技巧： 解法一：（隔离法）木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f ，如图2-4，据牛顿第二定律得：mg -F f =ma ①取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′如图. 据物体平衡条件得：F N -F f ′-Mg =0② 且F f =F f ′③由①②③式得F N =22mM g 由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为F N ′=F N =22mM +g . 解法二：（整体法）对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式： （mg +Mg ）-F N = ma +M ×0 故木箱所受支持力：F N =22mM +g ，由牛顿第三定律知： 木箱对地面压力F N ′=F N =22mM +g .【例7】 如图，倾角为α的斜面与水平面间、斜面与质量为m 的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。

求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。

解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。

可以先求出木块的加速度()αμαcos sin -=g a ，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到：ααμαcos )cos (sin -=mg F f如果给出斜面的质量M ，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为：F N =Mg +mg （cos α+μsin α）sin α，这个值小于静止时水平面对斜面的支持力。

5、结合图象分析解决问题应用图象是分析问题和解决问题的重要方法之一，在解决动力学问题时，如果物体的受力情况比较复杂，要分析物体的运动情况可以借助于图象，根据物体的受力情况做出运动物体的速度－时间图象，则物体的运动情况就一目了然，再根据图象的知识求解可以大大地简化解题过程。

例：质量为1kg 的物体静止在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数，作用在物体上的水平拉力F 与时间的关系如图所示，求运动物体在12秒内的位移（答案：s=100m ）α6. 程序法按顺序对题目给出的物体运动过程进行分析的方法简称“程序法”。

“程序法”要求我们从读题开始，注意题中能划分多少个不同的过程或多少个不同的状态，然后对各个过程进行分析。

一、牛顿运动定律在动力学问题中的应用 1、已知力求运动例1：如图所示，长为L 的长木板A 放在动摩擦因数为μ1的水平地面上，一滑块B （大小可不计）从A 的左侧以初速度v 0向右滑入木板A ，滑块与木板间的动摩擦因数为μ2（A 与水平地面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相同），已知A 的质量M=2.0kg ，B 的质量m=3.0kg ，AB 的长度L=3.0m ，v 0=5.0m/s ，μ1=，μ2=，请分别求出A 和B 对地的位移 解：分别对A 、B 受力分析如图所示：根据牛顿第二定律：B 物体的加速度 a B =f 1/m=μ2mg/m=4m/s 2A 物体的加速度a A =(f 1-f 2)/M=(μ2mg-μ1(M+m)g)/M=1m/s 2设经过时间t ，AB 的速度相等则有：v 0-a B t=a A t 解得 t=1s 所以B 发生的位移：m t a t v s B B 0.32120=-= A 发生的位移：m t a s A A 5.0212==AB 速度达到相等后，相对静止一起以v=1m/s 的初速度，a=μ2g=2m/s2的加速度一起匀减速运动直到静止，发生的位移：av s 22=所以A 发生的位移为s A +s=+= B 发生的位移为s B +s=+=例三：质量为12kg 的箱子放在水平地面上，箱子和地面的滑动摩擦因数为，现用倾角为37的60N 力拉箱子，如图所示，3s 末撤去拉力，则撤去拉力时箱子的速度为多少箱子继续运动多少时间而静止 析与解：选择木箱为研究对象，受力分析如图： 沿水平和竖直方向将力正交分解，并利用牛顿运动定律，得方向： 水平方向： F cos37-N =ma竖直方向： F sin37+N =mg 解得： a =s 2v=at =s当撤去拉力F 后，物体的受力变为如图3-2-5，则由牛顿第二定律得：N =mg =ma`， a`=g =3m/s 2t=v/a `=点评：本例考察了支持力和摩擦力的的被动力特征，当主动力F 变化时，支持力N 摩擦力f 都随之变。