第十六章_二次根式全章复习_Microsoft_PowerPoint_演示文稿
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第十六章 二次根式整理与复习 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
人教版八年级数学下册第十六章二次根式.二次根式件+导,共份ppt
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3 .
情境引入
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____ ___.
活动探究
探究点一、二次根式的概念
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2
、3 3
、
1 x
、
1 x （x>0）、 0 、 4 2 、- 2 、 x y 、 x y （x≥0，y≥0）．
解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y （x≥0，y≥0）．
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x3 x12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
试求当x=9时，二次根式 x 1 的值. 当x=9时， x 19 1822 思考：当x是怎样的实数时 x 3 ， 在实数范围内有意义？ x 2 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0.
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
第16章 二次根式 小结与复习 教学课件(共20张PPT)
（A）
A.x≥3
B.x≤3
C.x>3
D.x<3
2.若 x x 6 x(x 6), 则（ A ）
A.x≥6
B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和 (3x y 1)2 均为0.
7. 若等腰三角形底边长为 12cm，底边的高为 ( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
☞
回 顾
二 次 根
化
( a )2 a(a 0)
考点三 二次根式的实际应用
例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示 叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这 个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
S=
（
18-
2 ）
2
4
= （3
2-
2 ）
2
4
=2 2 2 4
=16．
针对训练
0a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除
乘法： a g b ＝__a_b___(a≥0，b≥0)； a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
人教版八年级初中数学上册第十六章二次根式二次根式的概念PPT课件
授课老师：xx
⑻ ( − 2)2
√
√
课 堂 练 习
2.求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
⑴ +2
⑵ −4
1）由a+2 ≥0，得a ≥-2，当a ≥-2时， + 2 在实数范围内有意义。
2）由a-4 ≥0，得a ≥4 ，当a ≥4时， − 4 在实数范围内有意义。
3.当 x 分别取下列值时，求二次根式 9 − 3的值 .
课 堂 练 习
5.若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为（
−1
A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
【答案】D
【解析】
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，
x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.
D）
第十六章 二次根式
课 程 结 束
人教版八年级（初中）数学上册
(1) x=0
3
(2) x=1
6
(3)
x=-1
12
课 堂 练 习
4．在函数 =
+2
中，自变量的取值范围是（ B
−4
A． > 4+2≥0
【答案】C【详解】解：由题意可得：ቊ
−4≠0
解得： ≥ −2且 ≠ 4
故选：C
）
D． > −2且 ≠ 4
第十六章 二次根式
16. 二次根式的概念
1
人教版八年级（初中）数学上册
授课老师：xx
前
学习目标
1、理解二次根式的概念。
2、利用√ （≥0）的意义解决具体问题。
重点难点
利用√ （≥0）的意义解决具体问题。
⑻ ( − 2)2
√
√
课 堂 练 习
2.求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
⑴ +2
⑵ −4
1）由a+2 ≥0，得a ≥-2，当a ≥-2时， + 2 在实数范围内有意义。
2）由a-4 ≥0，得a ≥4 ，当a ≥4时， − 4 在实数范围内有意义。
3.当 x 分别取下列值时，求二次根式 9 − 3的值 .
课 堂 练 习
5.若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为（
−1
A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
【答案】D
【解析】
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，
x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.
D）
第十六章 二次根式
课 程 结 束
人教版八年级（初中）数学上册
(1) x=0
3
(2) x=1
6
(3)
x=-1
12
课 堂 练 习
4．在函数 =
+2
中，自变量的取值范围是（ B
−4
A． > 4+2≥0
【答案】C【详解】解：由题意可得：ቊ
−4≠0
解得： ≥ −2且 ≠ 4
故选：C
）
D． > −2且 ≠ 4
第十六章 二次根式
16. 二次根式的概念
1
人教版八年级（初中）数学上册
授课老师：xx
前
学习目标
1、理解二次根式的概念。
2、利用√ （≥0）的意义解决具体问题。
重点难点
利用√ （≥0）的意义解决具体问题。
八年级数学下册第十六章二次根式《二次根式的加减》课件PPT
计算: 8 + 18 + 4 2
=2 2+3 2+4 2
= (2 + 3 + 4) 2
如何合并 同类二次
=9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式 的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号 内部都不变,
归纳总结
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根 式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并.
(2) 72 18 3 2 2
6 23 23 2 2
9 23 2 2
运算 不完全，能合 并的没有合并 .
二次根 式加减
法则
一般地，二次根式的 加减时，可以先将二次根 式化成最简二次根式，再 将被开方数相同的二次根 式进行合并.
运 算 原 理 运算律仍然适用
注意 运算顺序
与实数的运 算顺序一样
加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简 ； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
例1计算：
（1）12 75
（2） 80 45
（3） 9a 25a
解：
1. 12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 2. 80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3. 9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
1、下列计算正确吗?
4 6 10
10 7 3
2 2 4
2 3 2 3
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没 有按照二次根 式加减混算从 左向右依次进 行的运算顺序 计算.
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习》优质公开课课件.ppt
例2： （200年 7 临沂中考 )计题算
12 753 1 48.
3
例3:已知：m 1 ,
2 3
求12mm2 m1
mm2 2 2mm1的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0 ， b2 0
而2a b20
2 a 0 ， b20
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=S__12_=___12
O…A…3=S__23_=__22_ OAn=…__n_… n
A6
1
A5 1 A4
1
S4
S5
S6
Sn=__2_ A7
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
1
（2）请计算
S1=
1 2
S2=
2 2
…Sn=
S1 2S2 2S3 2 Sn 2
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加 减、乘除、乘方混合运算；
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
a(a 0)
（1）形如
的 式子叫做二次根式.
非负数
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
注意：二次根式有意义的条件: 被开方数大于或等于零
计算334842723??11115352????1412753483??205151235???????226323223200820083223???7二次二次根根性质概念二次根式最简二次根式同类二次根式二次根式最简二次根式同类二次根式0a?aa???2aa????0a????0a????根根式式性质运算abab??aabb?00ababab??????????00aaabbb?????????00ab???????00ab??????通过这节课的学习谈谈你的收获
12 753 1 48.
3
例3:已知：m 1 ,
2 3
求12mm2 m1
mm2 2 2mm1的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0 ， b2 0
而2a b20
2 a 0 ， b20
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=S__12_=___12
O…A…3=S__23_=__22_ OAn=…__n_… n
A6
1
A5 1 A4
1
S4
S5
S6
Sn=__2_ A7
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
1
（2）请计算
S1=
1 2
S2=
2 2
…Sn=
S1 2S2 2S3 2 Sn 2
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加 减、乘除、乘方混合运算；
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
a(a 0)
（1）形如
的 式子叫做二次根式.
非负数
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
注意：二次根式有意义的条件: 被开方数大于或等于零
计算334842723??11115352????1412753483??205151235???????226323223200820083223???7二次二次根根性质概念二次根式最简二次根式同类二次根式二次根式最简二次根式同类二次根式0a?aa???2aa????0a????0a????根根式式性质运算abab??aabb?00ababab??????????00aaabbb?????????00ab???????00ab??????通过这节课的学习谈谈你的收获
2021年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式 复习》公开课课件.ppt
第二十一章 二次根式
形如 a （a≥0）
的式子叫二次根式
二次根
二 次
式概念
a （a≥0）是
非负数
根
式 二次根 式性质
( a )2 a（a≥0） a 2 a（a≥0）
二
次
二
根 最简二次根式 式
次 根
的 二次根式的乘除 化
式 的
简 积和商的算术平方根 与
混 合
运 二次根式的加减 算
运 算
重点知识一 二次根式的定义及性质
25
15
15
25
15
60
A
15
60
A
B 25
25
AB 602802 10000 100
5.(武汉中考)二次根式
(A)-3
(B)3或-3
的 值3 2是( )
(C)9
(D)3
【解析】选D. 32 32 3.
6.(2009·黔东南州中考) x 2 =_______. 【解析】据算术平方根的意义得到结论，
4.(荆门中考)若a、b为实数，且满足│a－2│+
b2
=0，则b－a的值为( )
(A)2
(B)0
(C)-2
(D)以上都不对
【解析】选C.根据非负性知a=2,b=0,则b－a=-2.
例6 一个台阶如图，阶梯每一层高
Байду номын сангаас
15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A
点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
60
60
【例3】(湘潭中考)先化简，再求值：
y x x y x x y y ,其 中 x 2 1 ,y 2 1 .
【思路点拨】 先化简 → 再代入求值 .
形如 a （a≥0）
的式子叫二次根式
二次根
二 次
式概念
a （a≥0）是
非负数
根
式 二次根 式性质
( a )2 a（a≥0） a 2 a（a≥0）
二
次
二
根 最简二次根式 式
次 根
的 二次根式的乘除 化
式 的
简 积和商的算术平方根 与
混 合
运 二次根式的加减 算
运 算
重点知识一 二次根式的定义及性质
25
15
15
25
15
60
A
15
60
A
B 25
25
AB 602802 10000 100
5.(武汉中考)二次根式
(A)-3
(B)3或-3
的 值3 2是( )
(C)9
(D)3
【解析】选D. 32 32 3.
6.(2009·黔东南州中考) x 2 =_______. 【解析】据算术平方根的意义得到结论，
4.(荆门中考)若a、b为实数，且满足│a－2│+
b2
=0，则b－a的值为( )
(A)2
(B)0
(C)-2
(D)以上都不对
【解析】选C.根据非负性知a=2,b=0,则b－a=-2.
例6 一个台阶如图，阶梯每一层高
Байду номын сангаас
15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A
点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
60
60
【例3】(湘潭中考)先化简，再求值：
y x x y x x y y ,其 中 x 2 1 ,y 2 1 .
【思路点拨】 先化简 → 再代入求值 .
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)章节知识点梳理 课件(共44张PPT)
1
x0
x
(5) x3
x0
(6) 1 x2
x0
典题突破
3、当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数。 x为任何实数。
典题突破
4、函数 y 1 5 x 中，自变量x的取值范围
例：(1) x 2 2
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
典题突破
二次根式的非负性的应用。
14、已知： x 4 + 2x y =0，求x-y的值。
解：由题意，得x-4=0且2x+y=0 解得x=4，y=-8
a (a 0,b 0)
b
1、 a 2 aa 0
aa 0 2、 a2 a aa 0
四种运算
加、减、乘、除
知识点梳理
知识点一：二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2。
知识点梳理
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式
知识点四：最简单的二次根式的定义
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式。
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式。
知识点梳理
知识点五：同类二次根式的定义
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
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2
1 2 3 2 2 10 3、同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根 式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
a a (3)二次根式的除法： ＝_________________. b (a≥0，b>0) b
4．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次 根．最简二次根式，满足两个条件： ①被开方数不含分母；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
练习 1.判断:下列计算是否正确?
为什么?
Χ 1 2 3 5； Χ 22 2 2 2； 3 3 2 2 3 Χ 2.下列计算正确的是( D )
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
ab a （ b a 0，b 0）
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
计算
(1) 2 6 (3) 1000 0.1 3 2 (4) 2 3
(2) 12 3
(5) 24 3
归纳
二次根式有除法运算的性质
a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
3、x取何值时，下列二次根式有意义？ （ 1 ） x +2 x≥-2 （2） -3-x x≤-3
1 X 取全体 2 （ 4） （3） x +1 3x 实数
x ＞0
x≥0且
（5） x x≥0
5
x （6） x 1
x≠1
2、最简二次根式定义： （1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
2、 a
2
2
a(a 0)
a -a (a≥ 0) (a≤0)
3、 a =∣a∣=
a 与 a a
2 2
2
的比较
a
2
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方 取值范围 运算结果
a≥0 a 取任意实数
=∣a∣
=a
32 7、计算：( 5) =____；( ) = _____; 4 2 2 (2 3) ______ ； (3 a ) _______
一、知识结构
四个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 分母有理化
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
2 a a 3、
a a 0
aa 0
两个法则
1
2 四种运算
a b
a b ab a 0, b 0
３实数p在数轴上
的位置如图所示，化简
(1 p)
2
2 p
2
1 p (2 p) p 1 2 p 1
二次根式的乘除法法则
a b ab
a b a b
a≥0,b≥0
a 0, b 0
二次根式的乘法：
a b ab(a 0, b 0)
2
提高练习：
4、已知：x 3 1, y 3 1, x 2 xy y 求 的值。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5、已知： 4 x y -4 x 6 y 10 0,
2 2
2 x 1 y 2 2 求 x 9x y 3 - x 5x 的值。 3 y x x
巩固练习
3、化简
(1) 24,
(2) 72,
(3) 50
5 2
2 6
(4) 9a ,
6 2
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
3 a
a 2
ab b
4、化简： (1) a b
4
a b
2
2
(2) 12a b 4a 3b 2a 3b
2
(3) 8a b
3
4
4a 2ab 2a 2ab
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
复习回顾 比较二次根式的大小常用的方法： 1，把根号外的正数平方后移入根号内，由 被开方数的大小比较根式的大小。 例如：比较 2 5、3 2。
2 5
2
3 2
2
20 > 18
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
2
巩固练习：
(2) =____；
2 2
( 2 3) = _____;
2
(m 4) _____(m 4)； 9 x 6 x 1 ( 3x 1) _______
2 2
巩固练习：
8、ABC的三边满足 a b b c 0, 请你判断这个三角形的形状。
练习．在实数范围内分解因式
（1）
3x 15
2
（2）
2a 4b
2
2
a (a 0, b 0) b
加 、减、乘、除
1、二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子 叫做二次根式.
巩固练习 1.判断下列各式是否是二次根式.
5
( ×)
a (a 0)
( ×)
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x 1 x x
a a （a ≥0 ， b＞0） b b
试一试：
计算：
32 (1) 2 3 1 (3) 2 18
50 (2) 10
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次 根式 (2)把被开方数相同的二次根式合 并.(只能合并被开方数相同的二次
根式）
归纳：二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a · b ＝__________________ ； ab (a≥0，b≥0)
A 5 2 3 B 8 3 2 11 2 3 1 C 4 5 5 4 D a a
2 2
a
巩固练习：
1、计算： 3-4 -2 + 12
x 2 5 x 2、计算：3 2 x 8 x 4 501 2 1 3、计算：18 1 2 + 2 2
1 2 3 2 2 10 3、同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根 式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
a a (3)二次根式的除法： ＝_________________. b (a≥0，b>0) b
4．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次 根．最简二次根式，满足两个条件： ①被开方数不含分母；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
练习 1.判断:下列计算是否正确?
为什么?
Χ 1 2 3 5； Χ 22 2 2 2； 3 3 2 2 3 Χ 2.下列计算正确的是( D )
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
ab a （ b a 0，b 0）
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
计算
(1) 2 6 (3) 1000 0.1 3 2 (4) 2 3
(2) 12 3
(5) 24 3
归纳
二次根式有除法运算的性质
a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
3、x取何值时，下列二次根式有意义？ （ 1 ） x +2 x≥-2 （2） -3-x x≤-3
1 X 取全体 2 （ 4） （3） x +1 3x 实数
x ＞0
x≥0且
（5） x x≥0
5
x （6） x 1
x≠1
2、最简二次根式定义： （1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
2、 a
2
2
a(a 0)
a -a (a≥ 0) (a≤0)
3、 a =∣a∣=
a 与 a a
2 2
2
的比较
a
2
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方 取值范围 运算结果
a≥0 a 取任意实数
=∣a∣
=a
32 7、计算：( 5) =____；( ) = _____; 4 2 2 (2 3) ______ ； (3 a ) _______
一、知识结构
四个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 分母有理化
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
2 a a 3、
a a 0
aa 0
两个法则
1
2 四种运算
a b
a b ab a 0, b 0
３实数p在数轴上
的位置如图所示，化简
(1 p)
2
2 p
2
1 p (2 p) p 1 2 p 1
二次根式的乘除法法则
a b ab
a b a b
a≥0,b≥0
a 0, b 0
二次根式的乘法：
a b ab(a 0, b 0)
2
提高练习：
4、已知：x 3 1, y 3 1, x 2 xy y 求 的值。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5、已知： 4 x y -4 x 6 y 10 0,
2 2
2 x 1 y 2 2 求 x 9x y 3 - x 5x 的值。 3 y x x
巩固练习
3、化简
(1) 24,
(2) 72,
(3) 50
5 2
2 6
(4) 9a ,
6 2
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
3 a
a 2
ab b
4、化简： (1) a b
4
a b
2
2
(2) 12a b 4a 3b 2a 3b
2
(3) 8a b
3
4
4a 2ab 2a 2ab
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
复习回顾 比较二次根式的大小常用的方法： 1，把根号外的正数平方后移入根号内，由 被开方数的大小比较根式的大小。 例如：比较 2 5、3 2。
2 5
2
3 2
2
20 > 18
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
2
巩固练习：
(2) =____；
2 2
( 2 3) = _____;
2
(m 4) _____(m 4)； 9 x 6 x 1 ( 3x 1) _______
2 2
巩固练习：
8、ABC的三边满足 a b b c 0, 请你判断这个三角形的形状。
练习．在实数范围内分解因式
（1）
3x 15
2
（2）
2a 4b
2
2
a (a 0, b 0) b
加 、减、乘、除
1、二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子 叫做二次根式.
巩固练习 1.判断下列各式是否是二次根式.
5
( ×)
a (a 0)
( ×)
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x 1 x x
a a （a ≥0 ， b＞0） b b
试一试：
计算：
32 (1) 2 3 1 (3) 2 18
50 (2) 10
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次 根式 (2)把被开方数相同的二次根式合 并.(只能合并被开方数相同的二次
根式）
归纳：二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a · b ＝__________________ ； ab (a≥0，b≥0)
A 5 2 3 B 8 3 2 11 2 3 1 C 4 5 5 4 D a a
2 2
a
巩固练习：
1、计算： 3-4 -2 + 12
x 2 5 x 2、计算：3 2 x 8 x 4 501 2 1 3、计算：18 1 2 + 2 2