初中九年级数学3 一元二次方程根的判别式教案
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根的判别式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入判别式，让学生了解一元二次方程根的情况，从而更好地掌握解一元二次方程的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基本方法，对一元二次方程有一定的认识。
但学生对判别式的概念、意义和应用可能还不够清晰，因此，在教学过程中需要教师引导学生深入理解判别式的内涵，并通过实际问题让学生体会判别式在解一元二次方程中的作用。
三. 教学目标1.让学生理解判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.培养学生运用判别式判断一元二次方程根的情况的能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.判别式的概念和计算方法。
2.运用判别式判断一元二次方程根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生深入了解判别式；通过小组讨论，促进学生互动交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备教学PPT，包括判别式的定义、计算方法和应用实例。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个一元二次方程有几个实数根或无实数根？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍判别式的定义和计算方法，呈现相关的案例和实际问题，让学生在实际问题中体会判别式的作用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
22.2.4 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册教案
4.一元二次方程根的判别式※教学目标※【知识与技能】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.【情感态度】学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.【教学重点】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【教学难点】一元二次方程根的判别式的探究与归纳.※教学过程※一、复习引入1.用公式法解下列方程：答案：(3)无解.2.探究一元二次方程的根.（1）当时，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，方程有两个相等的实数根:;(3)当时，方程没有实数根.二、探索新知这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：解：（1）原方程可变形为因为所以方程有两个不相等的实数根.（2）因为所以方程有两个相等的实数根.（3）原方程可变形为因为所以方程没有实数根.三、巩固练习不解方程，判断下列方程的根的情况：答案：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程没有实数根（3）方程有两个相等的实数根（4）方程没有实数根四、应用拓展【例2】已知关于x的方程(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？(3)当k取何值时，方程没有实数根？分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程没有实数根时，解：因为所以(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,即(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,即(3)若方程没有实数根，则Δ<0,即综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.五、归纳小结利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:1.将方程化成的形式；2.判断a的值是否为零；3.若a≠0,则再考虑的取值.※课后作业※教材第36页习题22.2的第7、8、9题.。
一元二次方程的根的判别式(一)教案人教版
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：《一元二次方程的应用案例解析》、《复数根在实际问题中的应用》等文章，帮助学生了解一元二次方程在实际生活中的应用和复数根的实用价值。
- 视频资源：《一元二次方程的根的判别式讲解》、《一元二次方程解法演示》等视频，为学生提供直观的教学演示和实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析。
2. 拓展要求：
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根的判别式（一）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一元二次方程根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根的判别式的奥秘。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根的判别式的基本概念。判别式是……（详细解释概念）。它能帮助我们判断一元二次方程的根的情况，即判断方程有几个实数根、几个虚数根或者无实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了判别式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
- 鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程的应用案例和实际问题解决方案。学生可以分享自己的思路和方法，互相学习和借鉴。
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（(= b^2 - 4ac)），并能运用判别式判断方程的根的情况。
教材通过引入判别式，让学生体会数学的逻辑推理和几何直观，培养学生的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念，对解一元二次方程有一定的了解。
但在求解方程的根的过程中，对判别式的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，探究判别式的含义和运用方法。
三. 教学目标1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.培养学生的数学逻辑思维和几何直观能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：如何引导学生从已有知识出发，理解和掌握判别式的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。
2.运用几何直观，帮助学生理解判别式的意义。
3.通过例题和练习，巩固判别式的计算和运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备判别式的几何直观教具。
3.准备一些练习题，用于课堂巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一元二次方程的根的情况。
例如，提问：“已知一元二次方程(x^2 - 5x + 6 = 0)，求该方程的根的情况。
”2.呈现（10分钟）通过PPT展示判别式的定义和计算方法，同时结合几何直观教具，帮助学生理解判别式的意义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用判别式判断一些一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些判断题，检验学生对判别式的理解和掌握程度。
教师及时批改，给予反馈。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版一、教学目的1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．二、教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的应用．难点：一元二次方程根的判别式的推导．三、教学过程复习提问1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2．用公式法求出下列方程的解：(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为∵a≠0，∴4a2＞0．由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．注：“△”读作“delta”．例不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．练习：P26 1 2 3小结应用判别式解题应注意以下几点：1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．2．不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．3．其逆命题也是成立的．作业：习题12.3 A组 1--4第9课一元二次方程的根的判别式(二)一、教学目的通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．二、教学重点、难点重点：巩固掌握根的判别式的应用能力．难点：利用根的判别式进行有关证明．三、教学过程复习提问1．写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．2．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有哪几种情况？如何判断？引入新课教材中“想一想”提出了如下问题：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9．想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．新课上述问题，实际上是这样一道题目．例1当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．讲解例1例2求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根．分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△＜0即可．例3证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．讲解例3例4已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．讲解例4练习：1．若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．2．求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根．小结解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1．计算△；2．用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3．判断△的符号，得出结论．作业：习题12.3 B组第10课一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目的1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．二、教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用．难点：定理的应用．三、教学过程复习提问1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．得出：如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1练习 P32 1 2小结1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．作业：习题12.4 A组 1第11课一元二次方程的根与系数的关系(二)一、教学目的1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：已知方程求关于根的代数式的值．难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．三、教学过程复习提问1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？(1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0．引入新课考虑下列两个问题；1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题．新课例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．例4已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．练习：P32 3、4、5小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．作业：习题12.4 A组 2、3、4第12课二次三项式的因式分解(公式法)(一)一、教学目的1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式．二、教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式．难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．三、教学过程复习提问解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．引入新课在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．新课二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根是＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2]＝a(x-x1)(x-x2)．从而得出如下结论．在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．例1把4x2-5分解因式．讲解例1练习：P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；3．代入a(x-x1)(x-x2)．作业：习题12.5 A组 1第13课二次三项式的因式分解(公式法)(二)一、教学目的使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法．二、教学重点、难点重点：用求根公式法分解二次三项式．难点：二元二次三项式的因式分解．三、教学过程复习提问求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？引入新课上节课我们证明了：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2分别等于什么？应用这一结论，今天我们深入的探讨一些问题．新课例2把4x2+8x-1分解因式．此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性．练习 P37 2小结二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即1．利用完全平方公式；2．十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．3．求根法：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解．作业：习题12.5 A组 2第14课一元二次方程的应用(一)一、教学目的1．使学生会列出一元二次方程解应用题．2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法．难点：设“元”的灵活性和解的讨论．三、教学过程复习提问1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．) 2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．) 3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．) 引入新课我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．新课本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．∴x1＝55，x2＝15．当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．我们再回忆本章第1节中的一个应用题：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．∴x＝10，x+5＝15．答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．练习 P41 1 2小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．作业：习题12.6 A组 1、2、3第15课一元二次方程的应用(二)一、教学目的使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．二、教学重点、难点重点：用图示法分析题意列方程．难点：方程的布列．三、教学过程复习提问本小节第一课我们介绍了什么问题？引入新课今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．新课例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．答：截去的小正方形的边长为2cm．例2一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？∴x＝10．答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．练习 P41 3、4小结1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．作业：习题12.6 4、5、6、7第16课一元二次方程的应用(三)一、教学目的使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：弄清有关增长率的数量关系．难点：利用数量关系列方程的方法．三、教学过程复习提问1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．答：平均每月增长率为20％．例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，答：二、三月份平均月增长率为20％．练习：P41 5小结依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键．作业：习题12.6 A组 8第17课可化为一元二次方程的分式方程教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法．3．结合教学对学生进行化归转化思想的培养．教学重点将分式方程转化为一元二次方程．教学难点分式方程验根的必要性的认识．教学过程一、复习1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？2．请同学们解下列方程：3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？指出：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．(4)检验．解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．二、新课讲解例1讲解例2三、练习 P49 1、2四、小结1．分式方程的定义．2．分式方程的一般解法及解方程步骤．3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．五、作业习题12.7 A组 1、2、3、4第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．会列出可化为一元二次方程的分式方程，解应用题．3．在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力．教学重点:列方程．教学过程一、复习1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么？二、新课今天我们学习利用分式方程解应用题．例1甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？讲解例1例2某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？讲解例2三、练习1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？四、小结1．列方程解应用题的一般步骤．2．列分式方程解应用题验根的两个目的．五、作业习题12.7A组 4、5第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(一)一、教学目的1．使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组．二、教学重点、难点重点：用代入法解二元二次方程组．难点：二元一次方程代入二元二次方程的技巧．三、教学过程复习提问1．我们学过哪些方程及其解法？2．二元一次方程组有哪些解法，其解法步骤是什么？引入新课我们已经知道，方程就是含有未知数的等式．方程x2+2xy+y2+x+y+6=0 (*)是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程．这样的方程我们怎样称呼它呢？新课形如方程(*)和下述方程(1)x2+3y2+4x+3y+6=0；(2)xy+3y+7=0；(3)x2+3xy+5=0；(4)x2+y2+4=0，等．含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．其中(*)中，x2，2xy，y2叫做这个方程的二次项，4x，3y叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的；第二个方程组是由两个二元二次方程组成的．像这样的方程组叫做二元二次方程组．本课主要研究由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解．注意以下三点：(2)为什么将x1，x2代入③；(3)作此类题要按格式写规范．练习 P57 1、2、小结解由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的二元二次方程组，其解法步骤是：①将一次方程代入二次方程，将之化为一元方程，解一元方程，求出一个未知数的值；②将求出的一个未知数的值代入一次方程，求出另一个未知数的值；③写出方程组的解．作业：P12.8A组 1、2第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(二)一、教学目的1．使学生深入理解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用构造方程法和因式分解化为同解方程组来解方程组的方法．二、教学重点、难点重点：用构造法解方程组．难点：化为同解方程组来解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的方法．三、教学过程复习提问1．什么样的方程叫做二元二次方程？什么叫做二元二次方程组？2．我们学了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的什么解法？其具体步骤是什么？引入新课这类二元二次方程组还有其他解法吗？我们继续进行研究．新课解法1：由①，得x=7－y．③把③代入②，整理，得y2－7y+12=0．解得 y1=3，y2=4．把y1=3代入③，得x1=4；把y2=4代入③，得x2=3．解法2：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x，y 是方程at2+bt+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x，y了．视方程组的x,y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根,解这个方程,得z1=3，或z2=4．练习 P57 3小结1．构造一元二次方程解方程组，要注意求出的方程组的解有两组．2．用化为同解方程组解方程组的方法，关键在对二元二次方程分解因式．作业：习题12.8 A组 3第20课由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组一、教学目的1．使学生学会用分解降次的方法解二元二次方程组．2．通过观察方程组中方程的特点，思考分析解法，培养学生的观察分析问题的能力．二、教学重点、难点重点：用分解降次的方法解二元二次方程组．难点：正确地通过分解将一个二元二次方程转化为两个二元一次方程．三、教学过程复习提问1．二元二次方程组有哪几种类型？引入新课前面我们已经学了应用代入法、构造一元二次方程法、分解成同解方程组法等方法，解由一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的解法．下面我们研究一些特殊的由两个二元二次方程组成的方程组的解法．新课将②分解为(x－2y)(x－3y)=0，使得 x－2y=0或x－3y=0，用代入法可得原方程组的解这种分解降次，化为学生熟知的有关方程组的方法，是一种重要解题思想方法．在教学中要讲清楚这种数学思想方法．练习P60 1、2小结1．一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．2．解题时要注意观察，选择分解对象．作业：习题12.9 A组 1、2、3。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
一元二次方程根的判别式的应用教学案
1.2 二次根式的性质（1）【要点预习】1.二次根式的性质：(1)2____(0)a =≥；(2)(__0)____(__0).a a a a ⎧=⎨-⎩【课前热身】1.填空：2= . 答案：22. = . 答案：43. ________= .答案：1 1【讲练互动】【例1】计算：(1) 33 3.⎤+⎦；解：(1) 原式=)233333+-.(2) 原式=((22220=---=.【黑色陷阱】注意2的区别,2表示a 的算术平方根的平方, 其运算结果为a ；a 2的算术平方根, 其结果由a 的符号决定, 当a 为正数时结果为a ；当a 为负数时结果为-a . 【变式训练】 1. 计算：(1) 2（(2)2；(3)31.73-答案：(1) 4；(2)815；(3)19.【例2】(2008广州中考)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简分析：根据图中数轴，可知-1<a<0<b<1，于是a a=-，b b=，a b b a-=-，于可化简原式.解：由题意得a<0<b, ∴原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.号外面，可以先写成绝对值的形式，判断符号，然后化去绝对值.【变式训练】2. 2得…………………………………………………………( )A. 2B. -4x+4C. -2D. 4x-4答案：A【同步测控】基础自测1.下列算式错误的是…………………………………………………………………………( )6= B. 6- C. 2(6= D. 26=答案：D2.( )A.11 C.1±（ D.答案：B3.= a-，则实数a在数轴上的对应点一定在……………………………………（）A. 原点左侧 B. 原点右侧C. 原点或原点左侧D. 原点或原点右侧答案：C4. 当x＞2答案：x-25.则此直角三角形的斜边长为 . 答案：36. 计算：(1) 2（；(2) 2-(3) .答案：(1)-6；(2)0.3；能力提升7. π的值是…………………………………………………………………( )A. 3.14-2πB. 3.14C. -3.14D. 无法确定解析：由于3.14<π 3.14 3.14ππ=-=-，所以原式＝π-3.14-π=-3.14.答案：C8.已知0<a ，那么…………………………………………………………（ ）A. aB.a -C.a 3D.a 3-解析：由于a <0，故|a |=-a ，因此原式33a a ==-. 答案：D9.已知已知1x =＋1y =222x xy y -+的值是 .解析：原式=(x -y )2=((22112⎡⎤+-+==⎣⎦.答案：210. 若化简|1-x |2x -5，则x 的取值范围是 . 解析：由题意得, 原式=(x -1)+(x -4)=2x -5, 故可知1-x ≤0且x -4≥0, 解得x ≥4. 答案：x ≥411. 已知a 、b 、c 为△ABC 分析：根据“三角形两边之和大于第三边”可得a+b >c ，b+c >a ，于是a b c a b c =+-=+-a b c b c a =--=+-，故可化简原式.解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴a+b >c , b+c >a . ∴原式=(a+b-c )+(b+c-a )=2b . 12. 阅读下面的文字后，回答问题．小王和小李解答题目：“先化简下式，再求值：a ，其中a ＝7时，得出了不同的答案．小王的解答是：原式＝()11a a a +-=；小李的解答是：原式＝()12127113a a a a =+-=-=⨯-=．（1）_____的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：___________．分析：由于a =7>111a a -=-，因此小王的解答错误.解：(1)小王；a . 创新应用13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a+b=m ，n ab =，使得22m +=，n b a =⋅，=)(b a >7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=.即227+=2+解：这里m=13，n =42. ∵7+6=13，7×6=42，∴2213+=a+b >c , b+c >a .1.2 二次根式的性质（2）【要点预习】1.二次根式的性质2：________(0,0);a b=≥≥__0,__0).a b【课前热身】1.）A. B. C. D.答案：B2. 当0x<=___________.答案：-x3. =；=.答案：11 5 34. =_________.【讲练互动】【例1】化简：解：(1)原式=12×5=60. (2)原式=.(3)原式. (4)原式【绿色通道】对二次根式化简结果的要求：一是根号内不再含有开得尽方的因式；二是根号内不再含有分母. 二次根式化简的步骤：一是预备阶段，包括分解质因数，化带分数为假分数，处理好被开方数的符号，根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母变成一个完全平方数等；二是运用二次根式的性质的秩序：先运用积和商的自述平方根性质，的性质.【变式训练】1.化简：；答案：(1)40；(2)45；；【例2】先化简，再求出下面算式的近似值.(精确到0.01).解：(1)原式2.45=.(2)原式1.06=≈.(3)原式22.45≈.【黑色陷阱】第(1)题注意应化为正数后再化简；第(3)题根号内不是积的形式，注意要先分解因式，化成积的形式后再化简.【变式训练】2.先化简，再求出下列算式的近似值：(1)(结果保留三个有效数字)；(2)(精确到0.01).答案：(1)0.110； 2.50.【例3】在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，2的直角三角形CBA的斜边长；由于==因此可视作两条直角边长分别为3，1的直3，1的直角三角形的斜边长.解：化简后三角形的三边分别为ABC 如图所示. 【变式训练】3. 在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为分析：由于===2，1的直角三3，2的直角三角形的斜边长.ABC 如图所示. 【同步测控】基础自测1.(2007潍坊中考)） A.10B.C.D.20答案：B2.的结果是………………………………………………………………（ ） A.0.6 B.0.06 C.6.0± D.06.0± 答案：A3. 下列化简正确的是 ………………………………………………………………………( )959=⨯=45B.=7+24=31CBA22⨯=3623答案：C4. 等腰直角三角形的腰长为4，则斜边上的高线长为……………………………………（）A.4 D.答案：B5.=a的取值范围是 .答案：a≥06. 化简：(1)162 ；(3) (4)答案：(1)(3)(4)6；7.直角三角形的两直角边长度的比为3∶2.解：设两直角边长分别为3x, 2x, 则由勾股定理得(3x)2+(2x)2=2, 13x2=520, x2=40.∵x>0, ∴x=∴两条直角边的长分别为能力提升8. (2007莱芜中考则x的取值范围是…………………………（）A. x≥0B. x>0C. x≥1D. x>1解析：根据二次根据成立的意义，必须满足x≥0且x-1≥0，可解得x≥1.答案：C9.若等边三角形的边长是6，则它的高为…………………………………………………( )A.3B.C.D.解析：由勾股定理，得等边三角形的高答案：C10.(2007乌鲁木齐中考)的被开方数相同的概率是.==4个中有33 4 .答案：3 411.先化简,再用计算器求出各算式的近似值(结果保留4个有效数字)：(1)(2)(3)答案：3.953；1.118；0.3953；0.3440.○12. 观察下列各式及其验证过程：验证：===.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明. 解：(1)，(2)创新应用13.在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且AB=BC=2，AC并求B点到AC的距离.DCBA分析：由于=2，2的直角三故可视作两条直角三角形边长分别为2，4的直角三角形的斜边长，因此△ABC可作出. 再利用面积法可求得B点到AC的距离.解：作BD⊥AC于D. AB=BC=2，AC=.∵S△ABC=12×2×2=2=12AC·BD, ∴BD=4AC===一元二次方程复习指南一、课程目标要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，了解一元二次方程及其相关概念．2．能灵活用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．会用一元二次方程模型解实际问题，并从中经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值．二、知识脉络简图三、重点知识回顾1，含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 注意一元二次方程就必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2（未知数的指数为2，二次项的系数不为0）.2，一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.3，一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.4，一元二次方程的解法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式：x ＝2b a -±b 2－4ac ≥0）. 注意一元二次方程如果有解，就有两个解（有时有两个相同的解）.5.四种一元二次方程解法的适用范围（1）开平方法和因式分解法都只适用于一些特殊的方程.当方程的左边是含有未知数的完全平方式，而右边是一个非负数的形式时,应用开平方法.（2）当方程一边是0，而另一边适于因式分解时，可用因式分解法.(3)配方法和公式法适于任何有实数根的一元二次方程.当二次项系数是1且一次项系数是2的倍数时，可用配方法；当二次项系数不是2的倍数且不易用因式分解法时，可考虑用公式法.（4）公式法虽是“万能”的，但它总是“下策”，只有在迫不得已时才使用，而因式分解才是首选方法.（5）因为一元二次方程通过配方法然后开方即得公式法，所以开平方是基础，配方法是关键，公式法是重点，而因式分解是最快捷有效的方法.6，列一元二次方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同.简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤.具体地就是：（1）设 弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x )表示题目中的一个未知数；（2）找 找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系；（3）列 根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出方程；（4）解 解这个所列的分式方程，求出未知数的值；（5）检 检验；（6）答 写出答案(包括单位名称).这六个步骤关键是“列”，难点是“找”.四、思想方法导读1转化思想：如将一元二次方程转化为一次方程，转化的策略是降次，降次的途径是配方、开方和因式分解.2建模思想：弄清问题的实际背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这种关系“翻译”为一元二次方程.常见的实际问题有：增长率问题、面积问题、利润问题等.2配方法：配方法不仅可以用来解一元二次方程，而且也是解决其它数学问题的方法，如学习二次函数就少不了配方法.五、典型例题解析考点一：一元二次方程的有关概念例1（09荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．解析：因为该方程的二次项系数为字母，根据已知条件：只有一解(相同解算一解)，考虑字母的适用范围，应将字母分0=a 和0≠a 两种情况分类讨论:解：（1）当0=a ，方程为一元一次方程 022=+-x 此时有实数根1=x ；（2）当0≠a ，方程为二次方程.由相同解算一解得：[]0)2(8)2(22=-=-+-=∆a a a ，解得2=a 此时方程有实数根1=x综合（1）、（2），选D评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件.一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
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第二十二章一元二次方程
第七课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：一元二次方程根的判别式。
二、学习目标：理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判定根的情况；
三、学习过程：
将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法将其变形为
即 (x ＋a
b 2) 2＝2244a a
c b - ∵a ≠0，∴4 a 2＞0。
这样，我们有：
（1）当b 2－4 ac >0时，方程右边是一个正数，因此，方程有
x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝a
ac b b 242--- 这样两个 （相等，不相等）的实数根；
（2）当b 2－4 ac =0时，方程右边是0，因此，方程有
x 1＝x 2＝
这样两个 （相等，不相等）的实数根；
（3）当b 2－4 ac <0时，方程右边是一个 数，而方程左边(x ＋
a
b 2) 2不可能是一个 数，因此，方程 （有，没有）实数根。
综上所述，由ac b 42-=∆的值可判别一元二次方程根的情况：
当0>∆时，有两个不相等的实数根；
当0=∆时，有两个相等的实数根；
当0<∆时，没有实数根。
四、分层练习：
A 组：不解方程，判别方程根的情况；
（1） 2x 2+3x-4=0 （2） 16y 2+9=24y
解：∵04142432>=-⨯⨯-=∆）（ 解： 16y 2 - +9=0 ∴原方程有 的实数根 ∵=∆
∴原方程有 的实数根
（3） 5（x 2+1）-7x=0 （4）0.2x 2-5=2
3x 解：方程化为一般式得： 解：方程化为一般式得
∵0)<>=∆，（ ∵=∆
∴原方程有 的实数根 ∴原方程有 的实数根
(5) 3x 2+4x-2=0 (6) 2y 2
+5=6y
(7)4p(p-1)-3=0 (8)x 2+5=25x
B 组：1、试判别方程x 2
+2mx+m-1=0 的根的情况；
2、当k 取何值时，方程4x 2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根。
3、已知关于x 的方程2x 2-（4k+1）x+2k 2-1=0
当k 取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。
4、求证关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根；
C 组：观察与猜想
1、解方程：
（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2
解：y=221⨯±
--）（ 解：
=
y 1= ,y 2=
则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2=
（3）3x 2
+7x+2=0
解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2=
（4）5x+2=3x 2
解：
x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2=
想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？
2、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。