高考数学专项突破：圆锥曲线专题
高考数学专项突破：圆锥曲线专题
目录 一、知识考点讲解 ......................................................................2
第一部分 了解基本题型 .......................................................2 第二部分 掌握基本知识 .......................................................4 第三部分 掌握基本方法 .......................................................6 二、知识考点深入透析 ............................................................11 三、圆锥曲线之高考链接 ........................................................13 四、基础知识专项训练 ............................................................16 五、解答题专项训练 ................................................................24 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 ....................................29 附录：基础知识专项训练参考答案 ........................................33 附录：解答题专项训练参考答案 ............................................35
专题05 五大类圆锥曲线题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(解析版)
专题05 五类圆锥曲线题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解；②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线．求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．y x 、求轨迹方程的方法：定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点P '的坐标，然后把P '的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 圆锥曲线解答题突破(解析版)
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 圆锥曲线解答题突破（解析版）1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，点P为椭圆上的一个动点，12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求+AC BD 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取最大值此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc = 因为12e =，所以b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= ②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k+=+-=+ 此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 综上96[,14]7AC BD +∈2．已知椭圆C ：2212x y +=.（1）曲线D ：3y x =与C 相交于A ，B 两点，H 为C 上异于A ，B 的点，若直线HA 的斜率为1，求直线HB 的斜率；（2）若C 的左焦点为F ，右顶点为E ，直线l ：4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ，Q （P 在第一象限）两点，与l 相交于M ，是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和.若存在，求直线l '的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12-；（2）直线l '不存在，理由见解析(1)由已知设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --, 因为点,H A 均在椭圆C 上,所以2222x y +=,221122x y +=,两式相减得()2222112x x y y -=-,又221112211112HA HBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,且1HA k =, ∴12HB k =-;(2)设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y ,则()0303111222MPE S FE y FE y FE y y =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-△,312PFESFE y =⋅⋅, ()412QFESFE y =⋅⋅-, 假设存在l '使得PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和,则PFE MPE QFE S S S =+△△△,即0342y y y =+①, 设l :1x my =-,令4x =,得05y m =,∴3452y y m+=②, 把1x my =-,将之代入2212x y +=,整理得()222210m y my +--=,∴34222my y m +=+③, 34212y y m =-+④,②③联立得32522m y m m =-+,42452m y m m=-+⑤, 把⑤代入④得22252451222m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭, 化简得4219500m m ++=,由于此方程无解,故所求直线l '不存在.3．如图，已知椭圆2214y x +=，点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 作直线l 交抛物线于,M N 两点，延长,MO NO 分别交椭圆于,A B 两点，记OMN ，OAB 的面积分别是12,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12S S 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2p =，准线方程1x =-；（2）12S S 的最小值为2，此时:1l x =. （Ⅰ）因为点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，所以12p=，即2p =，因此该抛物线的准线方程为：1x =-； （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线方程为：24y x =，根据题意，不妨令点M 在第一象限，点N 在第四象限，则点A 在第三象限，点B 在第二象限；若直线l 的斜率不存在，则:1l x =，代入24y x =可得2y =±，即()1,2M ，()1,2N -，则1122OMNS SOF MN ==⋅=；2OM k =，2ON k =-， 则直线:2OM y x =，直线:2ON y x =-，由22214y x y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22122AA x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2A A x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即A ⎛ ⎝；同理：B ⎛ ⎝，则AB x ⊥轴，因此21122OABS S==⨯⨯=； 此时122S S =，:1l x =；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，(1,M x，(2,N x -，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2214k x x -=，整理得()2222240k x k x k -++=， 则212224k x x k++=，121=x x ；()224224416160k k k ∆=+-=+>，所以11sin 2OMNS SOM ON MON MON ==⋅∠=∠MON MON =∠=∠；又1OM k==，2ON k ==， 所以直线:OM y x=，:ON y x =， 由2214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1221x x x +=，即2111A x x x =+，则2211441A y x x x ==+，所以OA ==；同理OB =，所以21sin 2OABS SOA OB AOB AOB ==∠=∠A OB ∠=又AOB MON ∠=∠，所以12S S MON ===∠2==>=； 综上，12S S 的最小值为2，此时:1l x =.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a ba b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①12k =；②112y x =±.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以=c .，则22a c = 所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =. ②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+， 且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <<所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-===≤=， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±. 5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1(F，2F ，且椭圆上一点P ，满足12|||4|PF PF +=，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，且OA OB OM λ+=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若k =||2AB λ==，求||||HG HM ⋅的值；（3）当△OAB 面积取得最大值，且点M 在椭圆C 上时，求λ的值.【答案】（1）2214x y +=（2）3（3）λ=（1）由题意可得2,1a c b ==⇒=，∴椭圆方程为2214x y +=（2）由题意得，此时直线方程为y m =+，将其代入椭圆方程整理可得229440x m ++-=，其中()222212836441441609m m m m ∆=--=->⇒<设()()1122,,,A x y B x y ，则2121244,99m x x x x -+=-=∴12322AB x m =-==⇒=±，由椭圆具有对称性，∴不妨取32m =，则310,,,26H G M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3HG HM ⋅ （3）将直线方程y kx m =+代入椭圆方程整理可得()222418440k x kmx m +++-=，其中()()222222644414464160k m k m k m ∆=-+-=-+16＞，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，∴12AB x=-=原点到直线的距离d=，∴()222241141ABCm k mSk∆++-=≤=+，当且仅当22412k m+=时等号成立，又()()121211,M x x y yλλ⎛⎫++⎪⎝⎭代入椭圆方程可得()()2212122214x x y yλλ+++=，其中221114xy+=，222214xy+=，∴整理得212128284x x y yλ++=再将1122,kx m y kx my=+=+代入，()()122128284kx mx m kxxλ+=+++整理得()()2221212828884k x x km x x mλ+++++=，()2222224488288844141m kmk km mk kλ-⎛⎫++-++=⎪++⎝⎭，整理得22λ=，λ=6．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，过点(-.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点()2,0P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，3(,0)2.（1）由题知2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ,所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y ，则2122BQ y y k x -=-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=-- ， 由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =，则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+，12122y y my y +-=-， 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-，故直线BQ 恒过定点，且定点为3(,0)2.7．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AMB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）28x y =（2）AB 方程为122py x =±+．（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==， ∵直线py 4=平分AMB ∠， ∴k k 0AM BM +=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =． （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb∆=+>+==-，∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．∴直线AB 的方程为：p y kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='， ∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，， 可得223{21.3mx my =-=+， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x =． 解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==．将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD === 由CD AB λ=，得CD AB λ===∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线():,R,0l y kx t k t k =+∈≠．（1）若椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线l 过点F ，且与FA 垂直，交椭圆C 于M ，N （M 在x 轴上方），若2NF FM =，求椭圆C 的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C 上存在相异两点P ，Q 关于直线l 对称，求2t 的取值范围（用k 表示）．【答案】（1）22143x y +=；（2）e =（3）220,34k k ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，所以22224,22a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y +=．（2）如图，因为()0,A b ，(),0F c -，所以AF b k c=， 因为直线l 过点F ，且与FA 垂直，所以直线l 的方程为bx y c c=--，与椭圆C 的方程联立得()4222324220b a c y b c y b c ++-=，因为l 过左焦点F ， 所以>0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则321242242124222,b c y y b a cb c y y b a c ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（*）， 因为2NF FM =， 所以212y y =-，代入（*）得32142242214222,2b c y b a cb cy b a c ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩， 消去1y 并化简得4222280b a c b c +-=， 因为222b a c =-， 所以()()2222222280a ca c a a c c -+--=，即4224990c a c a -+=， 因为c e a=，所以429910e e -+=，解得2e =，所以6e ==．（3）如图，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点()00,x y ，则221122221,43143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得 2121212134y y y y x x x x -+⋅=--+，即0034PQ y k x ⋅=-，因为1PQ k k=-，所以0034ky x =， 又00y kx t =+，所以004,3t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 因为点()00,x y 在椭圆C 的内部，所以()2243143t t k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+<，化简得22234k t k <+．故2t 的取值范围为220,34kk ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F，离心率为2，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析（1）121212PF F P SF F y =，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得：22212122c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点， 易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.12．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，4,33b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上的一点，以PQ 为直径的圆经过椭圆E 的右焦点F .（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在直线2x =上是否存在一点D ，使得ABD △为等边三角形？若存在，求出等边三角形ABD △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.解：依据题意得22224331b a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得22a =，()0,P b ，(),0F c 又2220a b c PF QF ⎧=+⎨⋅=⎩， 22224033b cb c c ⎧=+⎪⎨⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎩， 1b c ∴==， ∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）假设在直线2x =上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形，设直线():1l y k x =-由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222214220k x k x k +-+-= ()()()42221642122810k k k k ∆=-+-=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y则2122421k x x k ，21222221k x x k -=+ 202221k x k =+，()002121k y k x k -=-=+ )22121k AB k +∴=+.DBA △为等边三角形，所以MD 的斜率为1k-，又D 点的横坐标为2，2022221D k x k MD +∴=-=+DBA △为等边三角形，DM B ∴=)222212221221k k k k ++=++，得22k =.AB ∴=，DBA ∴△的面积为2513．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.【答案】（1）22198x y （2）0y -+=（1）由题意，得2b =c 1a 3=.又222a c b -=，∴a 3=，b =c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1F M 的方程为x my 1=-记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '.∵12FM //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --. 联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>，∴12216m y y 8m 9+=+，12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=，得12123y 2y 0my 2my 2+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.② 由①②，解得12128m y 8m 9=+，22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>，∴m 0>.∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m = ∴直线1F M的方程为x y 1=-，即y 0-+=. 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为，且TFO △面积的最大值为12.（1）求椭圆的方程；（2）设点()0,1A ，直线l ：(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ；直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.（1）设()00,T x y ，(c,0)F，由2c a =，可得222a c =， 依题意max 1122S cb =⋅=，所以a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得()222124220k x ktx t +++-=，>0∆，122412kt x x k +=-+，21222212t x x k -=+，直线AP ：1111y y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以()12121212122111x x x x y y y y y y --==---++化简得221121t t t -=-+，解得只有0t =满足题意， 所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）.15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，AD DB =.（1）若49OD k =（O 为坐标原点），求直线l 的方程； （2）点P 在x 轴上运动，若0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求点P 横坐标的取值范围.【答案】(1) 210x y --=或440x y --=；(2) [)()0,11,9;解：（1）由题意得(1,0)F ，设直线l 的方程为：1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，线段MN 的中点()00,D x y ，联立直线与抛物线的方程：214x ty y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，可得124y y t +=，124y y =-，所以02y t =，200121x ty t =+=+，即()221,2D t t +，所以2221OD t k t =+，由题意可得224219t t =+，解得2t =或14t =， 所以直线l 的方程为：210x y --=或440x y --=；（2）0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,即FAP ∠恒为锐角，等价于0AF AP ⋅>，设()2110,,(1,0),,0,4y A y F P x ⎛⎫⎪⎝⎭2211011,,1,44y y AP x y AF y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则224222111101103110441644y y y y AP AF x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=++-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立， 令214y t =，则0t >，原式等价于203(1)0t t t x ++->，对任意的0t >恒成立，令200()(3)h t t x t x =+-+，①△220000(3)41090x x x x =--=-+<，解得:019x <<，②00302(0)0x h ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩，解得：001x ， 又01x ≠，故001x <， 综上所述：0x 的取值范围[)()0,11,9．16．已知()1,0F -，Q 是圆K ：222150x x y -+-=上的任意一点，线段FQ 的垂直平分线交QK 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过F 作E 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与E 交于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）6S ≤< （1）由题意可知42PF PK PQ PK FK +=+=>=， 所以动点P 的轨迹是以F 、K 为焦点且长轴长为4的椭圆.因此E 的方程为22143x y +=.（2）由题意可设AB 的方程为1x ky =-，代入2234120x y +-=，得()2234690k y ky +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122634k y y k +=+，122934y y k =-+.设1200023(,),234y y kM x y y k +==+， 2002234113434k x ky k k =-=-=-++， 所以2243,3434k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，OM 的斜率为34k -. 直线OM 的方程为34ky x =-， 代入2234120x y +-=，解得221634x k =+，所以CD ==， 设点A ，B 到OM 的距离分别为1d ，2d ，则1d =，2d =()1212ACBDS CD d d =+===12y =-==== 所以，6S ≤<（当且仅当0k =等号成立）.17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10（1）由12F F =c =设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线方程为y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241k m +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnkS d dk=⋅==+44==44==因为0k≠，所以20k>，所以2212kk+≥(当且仅当21k=时等号成立)，所以22990,142kk⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S∈.综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.18．已知椭圆2214yx+=，直线1l y kx=+：分别与x轴y轴交于,M N两点，与椭圆交于,A B两点.（1）若AM NB=，求直线l的方程;（2）若点P的坐标为()0,2,-求PAB△面积的最大值.【答案】（1）21y x=±+；（2(1)设()()1122,,,A x yB x y联立直线方程与椭圆方程有22141yxy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx++-=有12224x x kk+=-+，()1212224224k x xy yk+++==+，所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1N ，MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为AM NB =，所以线段MN 的中点与AB 的中点重合，有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得：2k =± (2)12|3|21PABSx x =⨯⨯-=由（1）中可知12224kx x k +=-+，12243x x k =-+⋅故PABS=661==因为3,43所以6331PAB S ∆=，当0k =时PAB △面积最大.19．如图所示，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试讨论点T 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定直线方程为3y =. （1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，b ∴==因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=， ()()22264324396210k k k ∆=++=+>， 由韦达定理得122843k x x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ，直线1MB的斜率为(11111kx k x +==，直线1MB的方程为1y k x = 直线2NB的斜率为(222221kx y k x x ++==，直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++-===，其中12122843kkx x x x k =-=++，((121221222122x x x x x x x ⎡⎤-+++++====解得3y =.因此，点T 在定直线3y =上.20．如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点(0,1)M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C.（1）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；（2）过点M 且互相垂直的两直线分别与椭圆1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB △的面积取最大值时，求直线MA ，MB 斜率的比值.【答案】（1）2213x y +=，22+31y x =；（2.（1）设椭圆2212211:1x y C a b +=，2222222:1y x C a b +=，依题意得对1C ：11b =，222112123a b e e a -=⇒==，得213a ，1C ∴：2213x y +=，同理对2C ：21a =，2222222233a b e e a -=⇒==，得2213b ， 2C ∴：22+311x y =，即22+31y x=；（2）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，， 则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：2222111313031x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩（）， 得22113160k x k x （）++=，得1216=31A k x k -+,212131=31A k y k -++，所以2112211631(,)3131k k A k k -+-++,同理可得222222223,33k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 所以221122222211226622=(,),,313133k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,MA MB ⊥，从而可以求得611=22S MA MB ⎛⋅=- 112222222242436412334163k k k k k k 121=2313k k ++， 因为121k k =-，所以()()3112216+=31k k S k+，不妨设()()31111221+031k k k f k k >=+，，()()2341112136131k k f kk'--+=+，令()0f k '=，即4211361=0k k --+，解得2113=,3k k -=当1111()0,),(0)k f k k f k ∈'>∈+∞'<，当1k =时，1()f k 取得极大值也是最大值，即S 取得最大值， 此时两直线MA ，MB斜率的比值21123==3k k k --. 21．已知椭圆D ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长为2（1）求椭圆D 的方程；（2）点()0,2E ，轨迹D 上的点A ，B 满足EA EB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=⎪⎩ 2a =，1b =，c =所以D 的方程为2214x y +=（2）过()0,2E 的直线若斜率不存在，则13λ=或3.设直线斜率k 存在()11,A x y ，()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩ ()221416120k x kx +++=则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x kx x λ⎧∆≥⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩由（2）（4）解得1x ，2x 代入（3）式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641λλ<≤+ 解得133λ<<综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛:解析中出现EA EB λ=属于 λ问题，由EA EB λ=得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k的关系，再利用0∆≥建立不等关系即得解.22．已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点00(3,)(1)P y y >是抛物线C 上一点，且134PF =，Q 的方程为22(3)6x y +-=，过点F 作直线l ，与抛物线C 和Q 依次交于.（如图所示）（1）求抛物线C 的方程； （2）求()MB NA AB +的最小值.【答案】（1）；（2）．由在抛物线上得，又由得，解得，，又，故.所以抛物线的方程为.由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为.则圆心到直线的距离为，.设，，由得，则，由抛物线定义知，.设，则，，函数在上都是单调递增函数，当时即时，有最小值.23．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）2,2⎡⎢⎣⎦.（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由1PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，由已知可得=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-，可知121sin 1212sin 2OA OB AOBS OA OB S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠==将根与系数的关系代入整理得：12S S = 结合()2221m k =+，得12S S = 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是⎡⎢⎣⎦．.24．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b+=，()22222:1044x y C a b a b+=>>，椭圆2C 的右顶点和上顶点分别为A 和B ，过A ，B 分别引椭圆1C 的切线1l，2l ，切点为C ，D .（1）若2a =，1b =，求直线1l 的方程； （2）若直线1l 与2l 的斜率之积为916-，求椭圆1C 的离心率. 【答案】（1）)4y x =±-；（2（1）当2a =，1b =，221:14x C y +=，222:1164x y C +=.()4,0A ， 设过()4,0A 处的切线方程为()4y k x =-，代入1C ，得()222214326440k x k x k +-+-=.令()()()2222324146440k k k ∆=-+-=，得2112k =，k =， 所以1l的方程为：)4y x =-. （2）设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12916k k =-， 1l ，2l 的方程分别：()12y k x a =-，22y b k x -=.联立()1222221y k x a x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222324222111440b a k x a k x a k a b +-+-=. 由()()64222422211116440a k b a k a k a b ∆=-+-=，得22213a k b =.联立2222221y b k x x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222222222430b a k x a bk x a b +++=.由()422222222216120a b k b a k a b '∆=-+=，得22223a k b =.故422412a k k b =，344a b e ⇒=⇒=.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，(1,0)-.（1）∵c a =，222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b+=，将1)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14xC y +=.（2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k -=+，∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++，∴直线BD 过定点(1,0)-.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，过2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12.（1）由题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且1ABF 的周长为8，根据椭圆的定义，可得1ABF 的周长为12124AF AF BF BF a ，即48a =，即2a =，又因为c e a ==c =1b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()222418410k x kmx m +++-=.由()()222264164110k m k m ∆=-+->，可得2241k m +>，且2121222844,1414km m x x x x k k-+=-+=++由弦长公式，可得12214MN x k=-=⋅+ 又因为点O 到直线1l的距离1d ==所以112MONS MN d =⋅=△.因为圆O 的方程为224x y +=，所以圆O 的圆心到直线2l的距离2d =所以PQ ==，所以212POQS PQ d =⋅=△，所以12MON POQ S S =△△. 27．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以. 当时，，所以. 综上，为定值.28．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F ，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题
高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题1．已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且经过点M．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1A Q 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．3．已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为点,A B ，其中2AB =，且双曲线过点()2,3C ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点()1,1P 的直线分别交Γ的左、右支于,D E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF FG =．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．4．已知双曲线C 的渐近线方程是y =，点()2,3M在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()10F ,（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径r =l 的方程．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C经过点2⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q ．7．已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点．（1）若12m =-，求AB ；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S的取值范围．第8题图第9题图9．如图，已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F，椭圆C 的上、下顶点分别为,A B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定AOM （O 为坐标原点）与ADN △的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10．已知双曲线过点(A ，它的渐近线方程是20x y ±=．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的倾斜角互补，求直线l 的斜率．11．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，平面内一动点M 满足直线AM 与BM 的斜率乘积为14-．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 交轨迹C 于,P Q 两点，若直线AP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍，求坐标原点O 到直线l 的距离的取值范围．12．若双曲线E ：2221(0)x y a a-=>y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若AB =，点C 是双曲线上一点，且()OC m OA OB =+，求k ，m 的值．13．已知1F ，2F 分别是椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点，且焦距为MN 平行于x 轴，且114F M F N +=．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线:4l x =上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得ACD BCD S S λ= 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．14．平面上的动点(,)P x y 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1y =-的距离，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:l y x m =+与曲线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ，使得MF AB ⊥，若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由．15．已知双曲线()22:1,,24x C y M m -=，斜率为k 的直线l 过点M ．（1）若0m =，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；（2）已知点(2,0)T ，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ，直线,TA TB 的斜率分别为12,k k ，若12k k +为定值，求实数m 的值．16．已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点F 与原点O 的距离为1，正方形PQMN 的边PQ ，MN 与x 轴平行，边PN ，QM 与y 轴平行，2112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ，且0k >．（1）若直线l 过点P ，求k 的值；（2）若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ，QM 上，l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ，求sAB的取值范围．17．已知F 是椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，点13,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且12OA OB k k +=-(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．参考答案1．（1）2212x y -=（2）2m =±2．（1）2211612x y +=（2）（i ）34-；（ii ）950,2⎛ ⎝⎭3．（1）2213y x -=（2）证明略，(1,0)B 4．（1）2（2）是，35．（1）2212x y +=（2）1x y =±+6．（1）2212x y +=（2）证明略7．（1（2）7⎡-+⎣8．（1）2214x y +=（2）()0,19．（1）2212x y +=（2210．（1）2214x y -=（2）11．（1）2214x y +=(0)y ≠（2）6(0,)512．（1）(（2）51,24k m ==±13．（1）2214x y +=（2）存在，314．（1）24x y =；（2）不存在15．（1）12k =±或k =（2）2m =.16．（1）1k =（2）12,78⎛ ⎝⎦17．（1）2214x y +=（2）1[,0)(1,)4-+∞。
2024高考数学专项复习圆锥曲线专题：调和点列-极点极线
圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即AC BC =ADBD=λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2AB=1AC+1AD)。
同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。
所以称A,B和C,D称为调和共轭。
2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。
若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。
3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反演点。
由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。
4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.2024高考数学专项复习5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。
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高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解错误!未定义书签。
第一部分了解基本题型错误!未定义书签。
第二部分掌握基本知识错误!未定义书签。
第三部分掌握基本方法错误!未定义书签。
二、知识考点深入透析错误!未定义书签。
三、圆锥曲线之高考链接错误!未定义书签。
四、基础知识专项训练错误!未定义书签。
五、解答题专项训练错误!未定义书签。
附录:圆锥曲线之高考链接参考答案错误!未定义书签。
附录：基础知识专项训练参考答案错误!未定义书签。
附录：解答题专项训练参考答案错误!未定义书签。
一、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点:高考试卷对圆锥曲线的考查主要是:给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等)；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。
二、圆锥曲线试题的特点：１、突出重点知识的考查。
直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本,在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。
2、注重数学思想与方法的考查。
3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份,使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点,导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。
三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。
２、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨迹问题;范围与位置问题；最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。
3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型１、直线与圆锥曲线结合的题型（1)求圆锥曲线的轨迹方程:这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低,一是出现在选择题,填空题或者解答题的第一问，较容易。
（２)求直线方程、斜率、线段长度相关问题:此类题目一般比较困难,不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力,还要求学生有较强的推算能力。
这类题目容易与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃。
(3)判断直线与圆锥曲线的位置关系:直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。
可从代数与几何两个角度考虑,①从代数角度看,可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断,但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。
例如：将y kx m=+代入22221x ya b-=中消y后整理得:222222222()20b a k x a kmx a m a b----=,当bka=±时，该方程为一次方程，此时直线y kx m=+与双曲线的渐近线平行,当bka=±时,该方程为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。
②从几何角度看,可分为三类:无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点,具体如下:①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决。
②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆,表示直线与其相切;对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行。
③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
２、圆与圆锥曲线结合的题型这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉,并有较强的综合能力。
3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。
题目中经常涉及两种圆锥曲线,对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题,还有这类题目看起来比较复杂,容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题。
4、圆锥曲线与向量知识结合的题型在解决解析几何问题时,平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征,而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。
高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合,以旧带新,使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点。
二、常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二:弦的垂直平分线问题;题型三：动弦过定点的问题;题型四:过已知曲线上定点的弦的问题;题型五:共线向量问题;题型六：面积问题；题型七:弦或弦长为定值问题；题型八：角度问题；问题九:四点共线问题；问题十:范围问题（本质是函数问题）；问题十一、存在性问题:(存在点，存在直线y kx m =+,存在实数，存在图形:三角形（等比、等腰、直角）,四边形（矩形、菱形、正方形），圆）。
三、热点问题:1、定义与轨迹方程问题;2、交点与中点弦问题；3、弦长及面积问题；4、对称问题;5、最值问题；6、范围问题;7、存在性问题；8、定值、定点、定直线问题。
第二部分 掌握基本知识1、与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识：（三个“二次”问题）(1）判别式：24b ac ∆=-。
（2)韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x , 则1212,b c x x x x a a+=-=。
(3)求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1/2x =。
２、与直线相关的知识：(1）直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容:①倾斜角与斜率：tan ,[0,)k ααπ=∈;②点到直线的距离公式：d =。
（3)弦长公式:直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=12AB y =-,较少用)。
（4）两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系:①12121l l k k ⊥⇔=-;②212121//b b k k l l ≠=⇔且。
(5）中点坐标公式:已知两点1122(,)(,)A x y B x y ，，若点(,)M x y 是线段A Ｂ的中点， 则1212,y 22x x y y x ++==。
３、圆锥曲线的重要知识：考纲要求:对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理科要求有所不同。
文科:掌握椭圆,了解双曲线及抛物线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线。
(1)、圆锥曲线的定义及几何图形:椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。
(2）、圆锥曲线的标准方程： ①椭圆的标准方程：22222221(0)x y a b a b c a b +=>>=+且 或 221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且; （距离式方程:2a =）②双曲线的标准方程:22222221(0,0)x y a b c a b a b -=>>=+且 或 221(0)x y m n m n+=⋅<； (距离式方程：2a =）③抛物线的标准方程：22(0)y px p =>,还有三类。
（3)、圆锥曲线的基本性质：必须要熟透,特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系,p 的几何意义等。
(4)、圆锥曲线的其它知识:(了解一下，能运用解题更好）①通径:22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线： ; ②焦点三角形面积公式:122tan 2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S ，1221tan 2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S ; （其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅) ③焦半径公式:00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，（简记为“左加右减,上加下减”)；0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为;11||,||22p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为。
４、常结合其它知识进行综合考查:(１）圆的相关知识:两种方程,特别是直线与圆、两圆的位置关系。
(2）导数的相关知识：求导公式及运算法则,特别是与切线方程相关的知识。
（3)向量的相关知识：向量数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等。
(4）三角函数的相关知识:各类公式及图象与性质等。
（5)不等式的相关知识:不等式的基本性质,不等式的证明方法，均值定理等。
第三部分 掌握基本方法一、圆锥曲线题型的解题方法分析高考圆锥曲线试题常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等。
１、解题的通法分析:高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查,这符合高考命题原则:考查基础知识，注重数学思想，培养实践能力。
中学数学的通性通法是指数学教材中蕴涵的基本数学思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、数形结合的思想)和常用的数学方法（数形结合,配方法,换元法,消元法，待定系数法等)。
解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时，我们最常用的数学方法有数形结合,待定系数法,化归转化等。
在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个方程组,通过消元得到一个一元二次方程再来求解。
就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关系,这时一般会用到韦达定理进行转化。
例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系，我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程，消y 得到一个关于x的一个一元二次方程,然后我们就可以根据一个一元二次方程的△=24b ac -的值来判断。