北师大版九年级数学下册结识抛物线

y=x2
（0，0）
y=-x2
（0，0） y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外）
向上 向下
动画演示
yx
2
二次函数y=x2，当x<0时 (在对 称轴的左侧)，y随 着x的增大而减小。
当x=-2时，y=-4 当x=1时，y=-1 当x=-1时，y=-1 当x=2时，y=-4
0
二次函数y=x2，当x>0时 (在对称轴的右侧)，y随 着x的增大而增大。
y 1 2 x , y 2 x , y 3 x 它们的函数图象怎样？
2 2 2
与刚才研究y x 的函数图象类似吗？是抛物线吗？
2
它们的开口朝向，对称轴，顶点怎样？ 顶点是最高点还是最低点？
8．抛物线y=－x2的顶点坐标为（0，0） ．若点 A（3，m）在其图象上，则m= -9 ．若点 B（n，-4）在其图象上，则n的值是 ±2 ．
小结
9．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段 AB⊥y轴，若AB=6，则 （-3，9） A点坐标为___________, （3，9） B点坐标为___________. 10．点A、B分别为y=－x2上两点，且线段 AB⊥y轴，若AB=5，则 A点坐标为___________, （-2.5，-6.25） 小结 （2.5，-6.25） B点坐标为___________.
3．观察二次函数y=x2的图象，可以知道当x ＜0时，随着x的增大，y值 减小 ；当x＞0时， 随着x的增大，y值 增大 ． 4．观察二次函数y=－x2的图象，可以知道当 x＜0时，随着x的增大，y值 增大 ；当x＞0时， 减小 随着x的增大，y值 ．
小结
5．观察y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 2图象可知，无论x取何值，y 0．观察y=－x ≤ 0．
y x
2
0
抛物线y=x2在x轴的 二次函数y=x2的 上方(除顶点外),顶点 图象形如物体抛射 是它的最低点,开口 时所经过的路线,我 y 2 向上,并且向上无限 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 10 伸展;当x=0时,函数y y轴对称,y轴就 对称轴与抛物 的值最小,最小值是0. (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 是它的对称轴. 线的交点叫做 8
y=x2
（0，0）
y=-x2
（0，0） y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外）
向上 向下
动画演示 当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
yx
2
E
A
F
抛物线 C y=x2与 y=-x2关 于x轴 4 对称
1
在同一坐标系 内，抛物线y=x2与 抛物线y= -x2的位 置有什么关系？
14.已知点A(1,a)在抛物 线y=x2上. (1)求A点的坐标. (2)在x轴上是否存在点P, 使得△OAP是等腰三角形? 若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.
猜想：
y 1 2 x , y 2 x , y 3 x
2 2 2
它们的函数图象怎样？
与刚才研究 y x 2 的函数图象类似吗？是抛物线吗？ 它们的开口朝向，对称轴，顶点怎样？ 顶点是最高点还是最低点？
… …
－3 9
－2 4
－1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
描点,连线
y
10 8 6 4 2 1
2 y= x
-4
-3
-2
-1
0 -2
1
2
3
4
x
x
.5 4 2.25
-1 -0.5 1 0.25
0 0
0.5 0.25
1 1
1.5 2.25
2
4
...
... ...
坐标轴中 描的点越 多图像越 精确
6．抛物线y=－x2上有一点A(2,__ ), 点A关于y -4 轴的对称点A’坐标为(__ , __)，这个点 -2 -4 ____(填“在”或“不在”)y=－x2的图象 在 上．
小结
（0，0） 7．抛物线y=x2的顶点坐标为 ．若点A （a，4）在其图象上，则a的值是 ±2 ．若 点B（3，b）在其图象上，则b= 9 ．
自尊
自爱
自信
自立
自强
复习： 1、什么叫做二次函数？ 一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0） 的函数叫做x 的二次函数 2、画函数图象的主要步骤是什么？ （1）列表； （2）描点； （3）连线。
3、请你画出二次函数 y=x2 的图象。 列表：
x
…
－3
－2 －1
0
1
2
3
…
y
x y
返回
1
B
0
抛物线 4 y=x2与 22 y=-xx 关 y D 于原点 轴对称
1．二次函数y=x2的图象是一条 ，开 向上 Y轴 口 ，对称轴为 ． 对称轴的左侧（x＜0），y随x的增大而 ； 减小 对称轴的右侧，y随x的增大而 增大 ． 抛物线与x轴的交点是（0，0） ，与y轴也交于此 点，是图象的最_________点，也叫做顶点．
二次函数y=-x2，当x<0时 (在对称轴的左侧)，y随 着x的增大而增大。
y x
返回
2 二次函数y=-x2，当x>0时 (在对称轴的右侧)，y随 着x的增大而减小。
课 堂
yx
二次函数y=±x2的性质 １、顶点坐标与对称轴
2
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
y x
2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
小结
小结：
1.画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总 结 2.画函数y=-x2的图象，并研究其性质。 3.比较y=x2与y=-x2的图象的异同点及联系。 4.性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减 性、极值。

13．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐 标．

求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交 点坐标．
4 9 11．二次函数y=x2,若2≤x≤3,则___≤y≤___;若 9 16 －4≤x≤－3,则___≤y≤___;若－1≤x≤3,则 0 ___≤y≤___; 9 12.已知a>0，点（a，y1）、（a＋1，y2）都 ﹤ 在函数y=x2的图象上，则y1______y2.（填 “＜”或“>” ）
低
抛物线
小结
2．二次函数y=－x2图象是一条 抛物线 ，开 口向下 ，对称轴为 Y轴． 对称轴的左侧（x＜0）,y随x的增大而 增大 ； 减小 对称轴的右侧，y随x的增大而________． （0，0） 抛物线与x轴的交点是 ，与y轴也交于此 高 点，是图象的最________点，也叫做顶点．
小结
观察图象,回答问题串
y= x
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什 6 么?图像与对称轴有交点吗？请你找出几对对称点, 并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
抛物线的顶点.
当x<0 (在对称轴的 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ 左侧)时,y随着x的增大而 1 减小. -4 -3 -2 -1 0 1 2 当x>0当x=2时，y=4 3 (在对称轴的 4 x 当x=-2时，y=4 -2 右侧)时, 当x=1时，y=1 y随着x的增大而 (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 当x=-1时，y=1 增大.
做一做P405
x y
… …
－3 －2 －1 -9 -4 -1
0 -0
1 -1
2 -4
3 -9
… …
描点,连线
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -4 -6 -8 -10 0
y 1 2 3 4 x
y=-x2
yx
2
观察右图，
完成填空。
0
y x
2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
知道的？
做一做： 二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出 它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行 交流。 观察y=-x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值, 完成下表
x y=-x2
-3 -9
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
3
......
-9 ......