算法大全第08章 层次分析法
层次分析法
Analytic Hierarchy Process,简称AHP。
它是一种定性与定量相结合确定因子权重的科学方法。
（AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A 景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、 B、C中确定哪个作为最佳地点。
编辑本段步骤1、建立层次结构模型。
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
层次分析法课件(学生用)
层次分析法的步骤
1 A 2
4
1/ 2 1 2
1/ 4 1/ 2
1
0.14 0.14 0.14 A 0.29 0.29 0.29
0.57 0.57 0.57
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
例：检验判断矩阵A 的一致性 2、将矩阵 A 按行相加得到向量 W 。
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CR可由下式计算： CR CI RI
其中RI为平均随机一致性指标（Random Index），仅与 矩阵的阶数（n）相关，其取值如下表所示：
平均随机一致性指标RI值
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CI为判断矩阵的一致性指数（Consistency Index）可由
层次分析法的步骤层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵目标层a的判断矩阵a层次分析法的步骤选择单位a目标层准则层方案层构造判断矩阵层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层稳定性c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层薪酬待遇c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层未来发展c层次分析法的步骤构造判断矩阵判断矩阵的一致性检验一个正确的判断矩阵是符合逻辑的
在决策时，需要考虑到：经济效益B1、社 会效益B2、环境效益B3这3个准则层因素对目标 实现的影响。其中，经济效益B1需考虑直接经 济效益C1、间接经济效益C2；社会效益B2，需 考虑提高生活质量C3、增加旅游收益C4；环境 效益B3需考虑改善城市面貌C5、改善空气质量 C6。
请根据已知信息，构建层次结构模型。
层次分析法的步骤
ma x1 3 （ (W A W 1)1(A W 2W )2(A W 3W )3)
层次分析法(AHP法)课件
0.268 精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,
=3.010
4. 层次总排序及其一致性检验
• 计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对 重要性的权值，称为层次总排序。
• 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
Z
A层m个因素A1, A2,, Am ,
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
令a w / w
成对比较
A
w1
w1 w2
w1
wn
w2 w2
w2
wn
ij
i
j
满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
的正互反阵A称一致阵。
wn
w1
wn
wn
w2
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
Aw nw
性质 • 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量
三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下 四个步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1. 建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。
层次分析法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij )m ×m 。
层次分析法
为一致阵时有： 此时存在唯一的非 （由一致阵性质 1：Rark(4)=1， 有唯一非 O 最大特征根且 ）
②当主观判断矩阵 不是一致矩阵时，此时一般有： 此时，应有：
（Th2）
即：
所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，
即：
显然：
（1）
当 时，有： ， 为完全一致性
（2）
值越大，主观判断矩阵 的完全一致性越差，即： 偏离 越远(用特征向量作为权向量
问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回 答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵 的最大特征根 时， 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 的特征根 和特征向量 连续逼近一致阵 的特征根 和特征向量 时，即： 由 得到： 即： 是否在理论上有依据。 3．一般情况下，主观判断矩阵 在逼近于一致阵 的过程中，用与 接近的 来代替 ，即有 ，这种近似的替 代一致性矩阵 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断 指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造 主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。 以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：） 附： Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 （ 的所有元素为正数） （1） 的最大特征根是正单根 ； （2） 对应正特征向量 （ 的所有分量为正数） （3） 其中： 为半径向量， 是对应 的归一化特征向量 证明：（3）可以通过将 化为标准形证明
层次分析法
层次分析法第一节思想和原理层次分析法是20世纪70年代由美国学者T. L. Satty最早提出的一种多目标评价决策方法。
它将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。
其基本思路是将复杂问题分解为若干层次（目标层、准则层、方案层）和若干要素（每层所包含的对象）并在各要素间进行简单的比较、判断和计算，以获得不同要素（指标或待选方案）的权重，最后通过加权求和作出最优方案的选择或最终权重的确定。
第二节模型与步骤结合实例说明用层次分析法求解决策问题的过程。
设某企业经过发展，有一笔利润资金，现在的问题是企业高层领导决定如何使用这笔资金。
可供选择的方案：●作为奖金发给员工；●扩建员工宿舍、食堂等福利设施；●用于员工技术培训和进修；●修建图书馆、俱乐部等；●引进新技术设备进行企业技术改造。
一、构造层次结构●使用这笔资金的最终目标是什么？●通过什么途径，从哪几个方面入手实现此目标（宏观层面的，指导性的）？●具体措施有哪些（微观层面的）？最高层次只有一个元素，它表示决策者所要达到的目标；中间层次一般为准则、子准则，表示衡量能否达到目标的判断准则；最低一层表示要选用的解决问题的各种措施、方案等。
层次之间元素的支配关系不一定是完全的。
二、构造判断矩阵建立层次结构以后，我们就可以通过两两比较同一层次元素相对于上一层次某元素的重要性，得出比较判断矩阵。
比如，当我们考虑方案层各元素,,,2,1,n j C j =相对于准则层元素,,,2,1,m k B k =的重要性时，得出的判断矩阵的形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n k c c c c c c c c c B 212222111211， .,,2,1m k = 其中， ij c 为方案i C 与j C 相对于上层元素k B 的相对重要性的比较，其赋值规则为注：ij c 的取值可更加细化地取2，4，6，8或1/2，1/4，1/6，1/8.若判断矩阵满足条件： 1）0>ij c ， 2）ji ij c c /1=， 3）kj ik ij c c c ⋅=，则称其为一致矩阵。
层次分析法--总汇
第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
（完整版）层次分析法的计算步骤
（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。
这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。
为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。
例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。
然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。
如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。
层次之间可以建⽴⼦层次。
⼦层次从属于主层次的某个因素。
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-167-第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。
可以建立如图1的层次结构模型。
图1 层次结构模型-168-1.2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n 小块，你可以精确称出它们的重量，设为n w w ,,1L ，现在，请人估计这n 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。
设现在要比较n 个因子},,{1n x x X L =对某因素Z 的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
即每次取两个因子i x 和j x ，以ij a 表示i x 和j x 对Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵n n ij a A ×=)(表示，称A 为X Z −之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。
容易看出，若i x 与j x 对Z 的影响之比为ij a ，则j x 与i x 对Z 的影响之比应为ijji a a 1=。
定义1 若矩阵n n ij a A ×=)(满足 （i ）0>ij a ，（ii ）ijji a a 1=（n j i ,,2,1,L =） 则称之为正互反矩阵(易见1=ii a ，n i ,,1L =)。
关于如何确定ij a 的值，Saaty 等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。
表1列出了1~9标度的含义：表1 标度的含义标度含 义1 3 5 7 92，4，6，8 倒数表示两个因素相比，具有相同重要性 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值若因素i 与因素j 的重要性之比为ij a ，那么因素j 与因素i 重要性之比为ij ji a a /1=。
从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。
Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。
-169-最后，应该指出，一般地作2)1(−n n 次两两判断是必要的。
有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作1−n 次比较就可以了。
这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。
进行2)1(−n n 次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。
1.3 层次单排序及一致性检验判断矩阵A 对应于最大特征值max λ的特征向量W ，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。
但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。
如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A 的元素还应当满足：n k j i a a a ik jk ij L ,2,1,,,=∀= （1） 定义2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。
需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A 是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。
定理1 正互反矩阵A 的最大特征根max λ必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。
A 的其余特征值的模均严格小于max λ。
定理2 若A 为一致矩阵，则 （i ）A 必为正互反矩阵。
（ii ）A 的转置矩阵TA 也是一致矩阵。
（iii ）A 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而1)(rank =A （同样，A 的任意两列也成比例）。
（iv ）A 的最大特征值n =max λ，其中n 为矩阵A 的阶。
A 的其余特征根均为零。
（v ）若A 的最大特征值max λ对应的特征向量为Tn w w W ),,(1L =，则jiij w w a =，n j i ,,2,1,L =∀，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A L L L L L LL212221212111 定理3 n 阶正互反矩阵A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根n =max λ，且当正互反矩阵A 非一致时，必有n >max λ。
根据定理3，我们可以由max λ是否等于n 来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。
由-170-于特征根连续地依赖于ij a ，故max λ比n 大得越多，A 的非一致性程度也就越严重，max λ对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出},,{1n x x X L = 在对因素Z的影响中所占的比重。
因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下： （i ）计算一致性指标CI1max −−=n nCI λ（ii ）查找相应的平均随机一致性指标RI 。
对9,,1L =n ，Saaty 给出了RI 的值，如表2所示。
表2 RI 的值 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max 'λ，并定义1'max −−=n nRI λ。
（ⅲ）计算一致性比例CRRICI CR = 当10.0<CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
1.4 层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。
我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
表3 层次总排序合成表设上一层次（A 层）包含m A A ,,1L 共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为m a a ,,1L 。
又设其后的下一层次（B 层）包含n 个因素n B B ,,1L ，它们关于j A 的层-171-次单排序权重分别为nj j b b ,,1L （当i B 与j A 无关联时，0=ij b ）。
现求B 层中各因素关于总目标的权重，即求B 层各因素的层次总排序权重n b b ,,1L ，计算按表3所示方式进行，即∑==mj jij i ab b 1，n i ,,1L =。
对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。
这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。
但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。
设B 层中与j A 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为)(j CI ，（m j ,,1L =），相应的平均随机一致性指标为)(j RI （)()(j RI j CI 、已在层次单排序时求得），则B 层总排序随机一致性比例为∑∑===mj jmj jaj RI aj CI CR 11)()(当10.0<CR 时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
§2 层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i ）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii ）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i ）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（ii ）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。
AHP 至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。