振动理论11(2)-自激振动
振动理论11(1)-自激振动
自激振动●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动●存在另一类的扰动，称为自激振动⏹通过例子中二者区别的实质●普通单缸蒸汽发动机⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动●带失衡圆盘的弹性轴⏹弹性轴承在两个支撑上旋转⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动2●蒸汽发动机是自激振动⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用在活塞上●盘的运动是普通的受迫振动⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失3●于是总结出以下区别：⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运动停止，交替外力仍然存在4另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动5●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:其解可以写为是一个振幅呈指数增加的振动●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增加●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6●系统的动态稳定性质⏹具有正阻尼：动态稳定⏹具有负阻尼：动态不稳定●系统的静稳定性质⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向于驱动系统回到平衡位置⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其中一个固有频率的值为负●动态稳定和静态稳定的区别⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定的7系统的三个不同的稳定性阶段的行为(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8自激振动的频率●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低系统的固有频率⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，所以自激振动的频率就是系统的固有频率●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同9●从能量角度考虑⏹对于正阻尼情况阻尼力做负功，总是与速度反向机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收⏹负阻尼的情况阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在⏹能源自身是没有运动的交替频率的10●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大⏹实际观测不到无限大振幅●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在11●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个抛物线●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些12●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能量，振幅会增加⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消减⏹这两种情况下，振幅都会倾向于向发展, 此时能量平衡，系统所做的运动为无阻尼的稳态自由振动1311.2稳定的数学判据●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。
第一章 振动学基础知识
又由于小球有质量而具有惯性，要保持小球的原来运动 状态，即在小球运动到平衡位置时，表现为要越过平衡位 继续运动。所以，在恢复力和惯性两个因素交替作用下，使 单摆一直振动下去，这就是单摆振动的原因，也是其他相类 似物体振动的原因。
二、振动系统 我们研究各种工程振动问题的对象是振动系统 振动学研究的中心问题：就是振动系统、它所受 的各种激励及所产生的响应这三者之间的关系。 为了研究实际机械系统诸如火力发电厂内的各种 水泵、送引风机及汽轮发电机组等的振动特性，我 们要用尽量简单的物理模型来表征它们，这类物理 模型则称为振动系统。
一长度为A直线OP，由水平位置开始，以等角速度ω绕 O点转动，在任一瞬时t, OP在y轴的投影为
振动理论中把ω 称为圆频率。
如果图8-4所示的振动，在开始时质点P不在静平衡位置， 则其位移表达式将具有一般形式 (8-4) 式中 ω t+ φ——振动相位； φ——初相位，表示质点的初始位置。 简谐振动的速度和加速度只要对位移表达式(8-4)求一阶和 二阶导数即得 (8-5) (8-6)
构成这种振动系统力学模型的基本要素是惯性、 复原性和阻尼。
惯性：就是使物体目前的运动状态持续下去的作用。 复原性：就是使物体的位置回到平横状态的作用。 阻尼：就是阻碍物体的阻抗作用。
上述由惯性、复原性、阻尼等要素构成的系统，是 在外部激励的作用下发生振动。 振动系统对激励的反应称为响应。
振动学就是研究给定系统对激励的响应。
第五节 单自由度系统的强迫振动。当系统受到一个 周期性变化的外力作用时，振动便持续进行。 这种周期性变化的力称为干扰力，由于扰 力所引起的振动称为强迫振动。 在运行的汽轮发电机组上所发生的振动绝 大多数是强迫振动。激振力主要来源于转子的 质量偏心、轴弯曲或不圆度过大所产生的不平 衡离心力。 振动频率与激振力的频率相同。
转子不稳定和自激振动
转子不稳定和自激振动不稳定性和自激振动是旋转机器独特的问题，转子的动能可以导致转子结构的振动，达到损毁的程度。
通常，“不稳定性”和“自激振动”两个术语可互换使用，但是严格说，“不稳定”可能是一种“静态地”表现，没有伴随典型的振荡，重要的“静态不稳定”例子相对很少，最常见的是电机转子在径向磁场气隙内的不恢复倾向。
对一个工程良好的电机，支撑轴承应具有足够的刚度对抗磁场气隙的明显的负阻尼。
另一个静态不稳定的例子的是不承载分瓣轴承，对这种轴承类型的一些结构，存在一个最小载荷水平，低于此，轴颈不具有一个静态稳定的均衡位置。
动态不稳定或自激振动的显著不同点在于存在一个特征频率，它并不与旋转频率明显相关。
“无阻尼共振”代表一种零稳定性状态，在有限同频激励缺失情况下，其幅值是自维持，但不是自放大。
在旋转激励存在的情况下，振动幅值以一定的时间速率线性建立，它与激励的大小成正比。
理论上，如果激励的大小降为零，共振响应将消失。
而动态不稳定性表现为，一个特征振动倾向于其幅值按指数增长，而没有明显的同频激励。
一个不稳定振荡的幅值不断增长，只会被非线性机制所制约。
增长的振荡和衰减的振荡是一个非守恒的转子系统相反的行为表现，因此，一个非守恒系统振荡可量化其特征，可表示为不稳定系统的对数增长率，或稳定系统的对数衰减率。
稳定性为零的状态，区分有阻尼的行为状态与不稳定行为状态，称为稳定性阈值。
动态不稳定的原因有四种：•油膜轴承：在某些滑动轴承中存在交叉耦合效应，是剧烈不稳定现象的根源，它一般与接近转频的一半的频率振荡相联系。
轴颈的不稳定运动接近一个圆周涡动，与旋转同方向。
这种类型的不稳定倾向对静态负荷灵敏，有时称为“油膜涡动或油膜振荡”。
•叶轮力：一个叶轮的机械效率对顶部流体泄漏敏感，如果叶轮的横向运动占有泄漏流体间隙的较大的比例，那么产生的切向叶片力将沿叶轮边缘变化，得到的效果是在与叶轮位移垂直的方向上产生力，这等效于油膜轴承的交叉耦合刚度系数，其导致涡动不稳定。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
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第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
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船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
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2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
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5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
机械加工自激振动的研究
机械加工自激振动的研究Ξ徐 伟1,雷盛开2(1.广东技术师范学院,广东广州 510655;2.三峡大学职业技术学院,湖北宜昌 447002))摘 要:探讨机械加工中自激振动的产生机理,简述减少自激振动的途径,通过合理选择切削用量,提高工艺系统的抗振性等措施,可取得较好效果。
关键词:机械加工;自激振动;机理;途径中图分类号:TH113.1 文献标识码:A 文章编号:1007-4414(2004)03-0023-02 在机械加工过程中,工艺系统的振动会破坏刀具与工件之间正常的运动轨迹,给机械加工带来较大的危害,具体表现在以下几个方面:①影响加工表面质量,频率低时产生波纹,频率高时产生微观不平度;②降低生产效率,加工中的振动制约了切削用量的提高,严重时甚至使切削不能正常进行;③缩短刀具、机床等的使用寿命;④振动产生的噪声污染了环境。
据统计,机械加工过程中的振动以自激振动为主,约占总数的70%以上。
为了保证零件的加工质量,在机械加工过程中,必须采取相应的工艺措施对自激振动加以控制。
1 产生自激振动的机理[1]切削过程中产生的自激振动是一种频率较高的强烈振动,通常又称为颤振。
对于它的产生机理,虽然从20世纪50年代以来进行了许多研究,但尚无完全成熟的理论,还不能用一种理论来阐明各种状况下的切削(磨削)自激振动。
目前运用较多的主要有再生颤振原理、振型耦合颤振原理两种系统理论。
1.1 再生颤振原理(1)再生颤振现象的产生在稳定的切削过程中,由于偶然的扰动(材料的硬疵点,加工余量不均匀,或其他原因的冲击等),工艺系统会产生1次自由振动,并在加工表面上留下相应的振纹。
当工件转至下1转时,由于切削到重叠部分的振纹使切削厚度发生改变,引起切削力的变化,使系统再一次振动,并在本转加工表面上产生新的振纹,这个振纹又会影响到下一圈的切削,从而造成持续的振动。
这种后续切削中重复再生的振动,形成了再生颤振。
由此可见,再生颤振来源于切削厚度改变所引起的动态切削力,但并非动态切削力存在就一定会导致再生颤振,这还要取决于工艺系统的各种组合条件。
自激振动
自激振动原理简介自激振动 self-excited oscillation 由静能源的能量产生的持续而稳定的周期振动[1]。
在振幅小的期间，振动能量可平均地得到补充；在振幅增大期间，耗散的能量组成，被包含在振动系统中，此时补充的能量与耗散的能量达到平衡而接近一定振幅的振动。
心脏的搏动、颤抖、性周期等一些在生物中所看到的周期现象，有许多是自激振动。
详细内容自激振动系统为能把固定方向的运动变为往复运动（振动）的装置，它由三部分组成：①能源，用以供给自激振动中的能量消耗；②振动系统；③具有反馈特性的控制和调节系统。
振动系统和控制系统间的联系,有纯机械的联系,也有力学的或物理特性的联系。
分析自激振动时，必须研究这种联系和反馈过程，才能更好地了解自激振动的特性，提出改进措施。
自激振动的稳定状态由能量平衡确定，即从能源送入振动系统的能量等于系统所消耗的能量。
在这一点上可分为两种情形：如果自激振动的频率是给定的，那么能量平衡的条件就确定自激振动的稳定振幅；如果自激振动的振幅是给定的，那么能量平衡的条件就确定自激振动的频率。
自激励分类自激励分为软自激和硬自激两种。
在前一种场合,系统从静止状态独立地起振。
在后一种场合，为了激励系统，需要给予一定量的起始推力。
自激振动在许多情况下用到负阻的概念。
这个概念和相位关系联系着。
在普通情况下（正阻），电压与电流（或力与速度）同相。
正阻是能量的消耗者。
如果在系统的某一元件上发现电压与电流反相，那么这个元件就可能是振动的源泉，这个元件就是负阻。
自激振动系统分成近似正弦系统和张弛振动系统两类。
第一类的特征是自激振动的波形近似于正弦曲线。
第二类是显著的非正弦波形有时甚至是断裂波形。
在张弛系统里，阀的作用由储能器的两个能量值间的落差表达出来；在一个量值上阀打开，而在另一个量值上关闭。
对自激振动的实际研究必须解决两个基本问题：如果自激振动是需要的，就要研究如何得到所需频率，功率和波形的振动；如果自激振动是有害的，就要研究如何设法消除它。
自激振动
自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统在运动过程中伴随有能量损耗但系统存在一种机制使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节及时适量地得到补充从而产生一个稳定的不衰减的周期运动
§4-5 自激振动
对线性阻尼振动系统 , 严格的周期运动只能 由周期性驱动力产生 ; 而对非线性系统 , 有一种 自激振动系统 , 在非振动即非周期性变化的能源 供给下 , 它能产生严格的周期运动 , 是人们十分 感兴趣的现象. 自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统 , 在运动过程中伴随有能量损耗 , 但系统存在一种 机制 , 使能量能够由非振动的能源通过系统本身 的反馈调节 , 及时适量地得到补充 , 从而产生一 个稳定的不衰减的周期运动 . 这样的振动称为自 激振动. 下面介绍一个典型的自激系统——三极 管 振 荡系统, 描述它的振荡方程称为范· 德· 波尔方程,
则系统能实现稳定的周期振动. 现在 来研究方 程 描述 的 相轨道 . 先把方 程化 为两个一阶方程
=y x 2 2 2 y = µ ( x − µ ( x0 − x 2 ) y − ω0 x = y dx
2 2
给 出任 一 初始条件 , 通过 计算 机 数值求解 , 可以证明 它的 相轨道都将趋向于 一 条闭合曲 线 , 这一 条闭合曲 线 , 称为极 限环 . 极 限环以外 的 相 轨道向里盘旋 , 而极 限环以内 的 相轨道则向外盘 旋 , 都趋向 极 限环 , 说明 不 论初始情况如何 , 系 统 最终都 到 达以 极 限环描述 的周期性运动 , 图 中 参数取值为 x0 = 1, µ = 0.3, ω 0 = 1.
2 2
可 得 出相轨道 能过 横坐标轴 时 必然垂直 于 横坐标 轴 , 通过 纵坐标轴 时 必然 取 同 一 斜率 , 数值计算 得出的图符合这些规律. 自激振动现象是一种普遍现象. 如钟摆、 弦 乐器以及人的心脏的周期性跳动、 活塞发动机的 周期性运动 等都 是 利用 这种现象 来 建立 不衰减的 周期运动 ; 但有 些 自激振动是十分有 害 的 , 这 些 现象应设法避免. 由 图可以 定性地 看 到自振动从 初始条件 开 始 到周期运动 形成 的过程 , 这是 作 图 法和 数值计算 方法的优点.
切削振动1
切削振动振动相关知识阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。
阻尼比在土木、机械、航天等领域是结构动力学的一个重要概念，指阻尼系数与临界阻尼系数之比，表达结构体标准化的阻尼大小。
阻尼比是无单位量纲，表示了结构在受激振后振动的衰减形式。
可分为等于1，等于0, 大于1，0~1之间4种，阻尼比=0即不考虑阻尼系统，结构常见的阻尼比都在0~1之间.影响因素：主要针对土木、机械、航天等领域的阻尼比定义来讲解。
阻尼比用于表达结构阻尼的大小，是结构的动力特性之一，是描述结构在振动过程中某种能量耗散的术语，引起结构能量耗散的因素（或称之为影响结构阻尼比的因素）很多，主要有（1）材料阻尼、这是能量耗散的主要原因。
（2）周围介质对振动的阻尼。
（3）节点、支座联接处的阻尼（4）通过支座基础散失一部分能量。
（5）结构的工艺性对振动的阻尼。
模态是机械结构的固有振动属性,结构的动力特性主要取决于它的模态参数,包括各阶固有频率、阻尼系数、振型系数等。
模态分析方法最早应用于航空航天领域,是研究结构动力特性的一种方法,是系统辨别方法在工程振动领域中的应用,最终目的就是为确定结构的动力特性,以得到该结构一系列的振型和对应各个振型的频率,以分析结构系统的振动特性、诊断系统的振动故障以及对系统的动力特性进行设计优化。
车削振动[1]在机械加工中产生的振动，按产生的原因来分类，有自由振动、受迫振动和自激振动，与机床、夹具、刀具和工件组成的工艺系统的动态特性有关。
自由振动是当振动系统的平衡被破坏，由弹性力来维持系统的振动。
是切削力的突然变化或其它外力冲击引起的。
可快速衰减，对车床加工影响非常小，可忽略不计。
受迫振动产生的原因是由系统外部或内部周期变化的激振力(也叫振源)的作用下而产生的振动，共振是受迫振动中的一个特例。
此振动主要由以下几方面原因产生高速回转存在不不衡，例如卡盘和工件、主轴、电动机转子、带轮等。
就是因为零件的不平衡而产生激振力F(也叫离心惯性力)，车床传动存在误差，车床传动当中的齿轮组，由于制造误差、装配误差产生了周期变化的激振力；液压传动中油液脉动、轴承滚动体尺寸差、皮带接缝等因素。
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相平面
●不显含时间变量的系统称为自治系统，即时间不出现在运动微分方程中，只有时间的微分出现在形如下面的方程中
⏹其中函数表示单位质量物体上恢复力与阻尼力的合力●把上面的方程用两个一阶方程来表示
如果和为笛卡尔坐标，平面称为相平面. 系统的状态就可以用坐标和来描述，表示为相平面上的一个点
随系统的改变，相平面内的点移动，在相平面内产生一个曲线，称为相轨迹(trajectory).
●状态速度定义为
●当状态速度为零时即达到平衡态：速度和加速度
均为零
●利用第一个方程，用第二个方程除第一个方程，
●对于相平面上的每个点，如果是可确定的，迹的斜率是唯一的：
●相轨迹的走向总是顺时针方向，与轴正交。
●如果（即迹点在轴上）并且, 迹的斜率无限大, 所有跟这个点相关的迹均垂直于轴
51
●如果，, 斜率不确定．这时的相点定义为奇异点.
奇异点与平衡状态相关，在该平衡状态里，速度和力均为零
关于奇异点表征的平衡是稳定的还是不稳定的，还需要进一步的讨论
例题
●确定单自由度振动的相平面:
●解由, 写成两个一阶方程:二式相除，
●分离变量并积分
●这是一族椭圆，大小由确定。
●这个方程是一个保守体系:
●奇异相点为
保守系统的自由振动
首先用相平面法研究最简单的机械系统，即保守系统。
其动力学方程为
对应的相轨迹微分方程为
分离变量并积分
●为保守系统的势能
●积分常数
⏹系统的总机械能,取决于
初始条件
●上述相轨迹方程表示了系统的机械能守恒，即保守系统的能量积分
●也可写作
●对应于实际发生的运动，必须有(否则只是想像的)
56
●相轨迹曲线相对横坐标轴对称
●与交点（动能为零）的●势能曲线的驻点对应横坐标轴上的奇点
●在势能取极小值的
⏹（有动能，有非零值）
，在相平面上对应奇点的封闭相
轨迹
⏹当（没有非零的值）时
，不存在对应的相轨迹
⏹这种类型的奇点是稳定的，称为中
心。
它对应于系统的稳定平衡状态57
●在势能取极大值的
⏹，在区间内没有
对应的相轨迹
⏹在时，及处
处相接触
⏹当时，这两个分支则演
变为分布在轴的上方和下方的两支
曲线。
这种类型的奇点是不稳定的
，称为鞍点。
它对应于系统的不稳
定平衡状态。
通过鞍点的相轨迹称
为分隔线，因为它将相平面分隔成
具有不同类型相轨迹的若干个区域58
●在势能曲线的拐点处
⏹相轨迹在的左半边具
有中心性质，在的右半边
具有鞍点性质，相轨迹不封闭。
这种奇点为退化的鞍点，也对应
于不稳定的平衡状态。
59
沿封闭的相轨迹进行积分得到自由振动的周期
线性保守系统
●单位恢复力是位移的线性函数●对应的势能和相轨迹方程为
61
●取正号时，相轨迹为椭圆族，奇点为中心，系统的自由振动为简谐振动；
●取负号时，恢复力变成排斥力，成为负刚度系统，相轨迹为双曲线族，不存在周
期运动。
奇点是鞍点，平衡状态不稳定
62
●系统的单位质量恢复力为坐标的非线性函数
●
考虑的情况。
是硬弹簧，刚度随位移增大
而增大，
为软弹簧，刚度随位移减小而减小。
●势能和相轨迹分别为
+
非线性弹簧
63
●受上述非线性弹簧作用的系统的动力学方程为●
即Duffing
方程
64
+
黏性阻尼
●切线斜率相同的相点连起来的曲线称为等倾线
●有阻尼的情况下，
●不同的值表示不同的相轨迹切线斜率
⏹对应的线为零斜率线
●可以使用等倾线方法确定有阻尼的相轨迹图，步骤如下：
⏹1. 在感兴趣的相平面区域，给定不同值画出若干等倾线；
⏹2. 在等倾线上画出小线段，其斜率为；
⏹3. 根据确定的斜率，利用外推方法画出相轨迹。
65
●阻尼系数为正时，零斜率线在第二、四象限。
●阻尼较小时，相轨迹是朝原点趋近的螺线，围绕奇点
无穷尽地转动但始终达不到奇点，这类起点称为稳定焦点，对应于自由衰减振动
●阻尼较大时，相轨迹尚
未完成绕奇点转动一周
即接近奇点，成为直接
通往奇点的射线，但由
于相点在奇点处移动速
度为零，因此，需经过
无限长时间后才能到达
奇点，这类奇点称为稳
定结点。
系统的运动为
衰减的非往复运动
66
●若阻尼为负值，系统的总机械能不仅没有耗散，反而不断从外界获取能量，这种特殊情况称为负阻尼
●负阻尼系统的平衡状态不稳定，相轨迹为不断向外扩展的螺线或射线。
●零斜率等倾线出现
在第一、三象限。
这类奇点称为不稳
定焦点或不稳定结
点
67
●
关于相平面法的分析表明，相平面内的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应●
保守系统在稳定平衡位置附近的等幅自由振动对应于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族
⏹密集的封闭相轨迹族
⏹其中一根对应相轨迹某一个实际的周期运动
⏹由初始运动状态确定⏹
对应着一个总机械能值
极限环
68
●自激振动是一种特殊的周期运动
⏹振幅和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运
动状态无关
⏹自激振动在相平面内的相轨迹是唯一的孤立封闭曲
线，称为相平面内的极限环
●极限环可以是稳定的，也可以不稳定。
当相点由于扰动偏离极限环后，即沿新的相轨迹运动。
●若扰动后的相轨迹仍渐近地贴近极限环，则称极限环是稳定的
●若扰动后的相轨迹远离极限环，则极限环不稳定
●只有稳定的极限环才是物理上可实现的自激振动
69
瑞利方程
●瑞利在声学研究过程中曾分析过以下方程
称为瑞利方程。
●将该方程的各项对求导，将作为新的变量仍记作，参数以代替，可化作
●这是范德波尔在研究电子管振荡器电路时导出的方程，称为范德波尔方程。
●工程中有不少实际的自激振动问题可以用范德波尔方程描述
70
●以上两个方程的第二项相当于耗散系统的阻尼项
⏹当位移或速度较小时，此阻尼项为负值
⏹对位移或速度足够大的值，此阻尼项变为正值
●用范德波尔方程描述系统
⏹小幅度运动时为负阻尼，从外界获取能量；
⏹大幅度运动时为正阻尼，出现能量耗散
●利用变量，将方程化作一阶自治的微分方程。
不失一般性，令，，得到
71
●对应的相轨迹图如下：
⏹虚线为零斜率线
⏹在原点附近阻尼为负值，零斜
率发生于第一、三象限；
⏹在远离原点处，阻尼为正值，
零斜率发生于第二、四象限●由此推断
⏹原点附近的相点必向外发散，
与原点重合的奇点为不稳定焦
点
⏹在远离原点处，相点的运动向
内收敛，接近于稳定焦点周围
的相轨迹走向。
●走向相反的这两类相轨迹之间必有一稳定极限环存在
72
●范德波尔方程的频率和振幅可作近似计算。
⏹令
⏹取一阶谐波，代入方程，并略去高阶项可以导出
这表明，频率和振幅均为确定值，与初始状态无关。
●在的一阶精度范围内，自激振动的频率与忽略的线性保守系统的固有频率近似相等
73。