解析几何第三章习题及解答

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第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),

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它们的图像都是一条直线,z轴!
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解:方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注: (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程,
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上, x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后,对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面,我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos


OP k OP k
cos

y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8(1) 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3),轴垂直于 平面 x y z ,半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0

解析几何第三章

解析几何第三章

不妨设 A 0,则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
,为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况:
(1) D 0, 平面通过坐标原点;
D 0, 平面通过 x轴;
d
7
.
32 62 ( 3 )2
36
例2:求点 M(2,4,3) 和平面间的离差和距离 : 2x y 2z 3 0
将 的方程法式化,得:
2 x 1 y 2 z1 0 333
故离差为:
(M ) ( 2) (2) 1 4 2 3 1 1
3
33
3
M到 的距离
d (M) 1 .
平面 x y z 1 0 求其方程

设所求平面的法向量为
n
A,
B,
C
M1M2 1,4 2 在所求平面上
n M1M2 A 4B 2C 0
又所求平面与已知平面垂直
ABC 0 解得 C 3B, A 2B
代入点法式方程并整理得 2x 3 y 3z 0
例2 已知四点A(5,1,3), B(1,6,2) ,C(5,0,4) D(4,0,6)
Ax1 By1 Cz1 D 0 ( P1 )
Pr jnP1P0
Ax0 By0 Cz0 D , A2 B2 C 2
d | Ax0 By0 Cz0 D |. A2 B2 C 2 点到平面距离公式
另解
定义:如果自点 M 0 向平面 引垂线,其垂足为 Q ,



d A2 B2 C 2
例 求两平面 z x 2 y 1, 3x 6 y 3z 4间的距离.

解析几何-吕林根-课后习题解答一到五

解析几何-吕林根-课后习题解答一到五

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形?(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点;(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解:2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心,在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中,哪些矢量是相等的?[解]:图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证:KL=NM. 当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?[证明]:.4. 如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量:(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解:§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立,矢量b a ,应满足什么条件? (1=+ (2+=+ (3-=+ (4+=- (5= 解:§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题.⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x .⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ,→→→→+-=321223e e e b ,求→→+b a ,→→-b a 和→→+b a 23.⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243,解出矢量→x ,→y .解:2 已知四边形ABCD 中,→→→-=c a AB 2,→→→→-+=c b a CD 865,对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ,求→EF . 解:3 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→→→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 解:4 在四边形ABCD中,→→→+=baAB2,→→→--=baBC4,→→→--=baCD35,证明ABCD为梯形.解:6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点,O是任意一点,证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解:8. 如图1-5,设M是平行四边形ABCD的中心,O是任意一点,证明OA+OB+OC+OD=4OM.解:9在平行六面体ABCDEFGH(参看第一节第4题图)中,证明→→→→=++AGAHAFAC2.证明:.10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.解11. 用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心,证明: 1OA +2OA +…+n OA =0.解,13.在12题的条件下,设P 是任意点,证明 证明:§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1.在平行四边形ABCD 中,(1)设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解(2)设边BC 和CD 的中点M 和N ,且q AN P AM ==,求CD BC ,。

中医谈方论药第三章答案 解析几何第四版课后答案第三章

中医谈方论药第三章答案 解析几何第四版课后答案第三章

中医谈方论药第三章答案解析几何第四版课后答案第三章中医谈方论药第三章答案第三章单元测试 1以下哪一部书是李克绍先生的学术代表作 ( ) A. 《胃肠病漫话》 B. 《伤寒论串讲》C. 《伤寒解惑论》 D. 《伤寒论语释》 2以下哪一项不属于《伤寒解惑论》中提出九种治学方法。

( ) A. 关于“要理解当时医学上的名词术语” B. 关于“读于无字处和语法上的一些问题” C. 关于“内容不同的条文要有不同的阅读法” D. 关于“要理解寒温之争” 3丁元庆教授认为,《伤寒解惑论》中提出的哪一项既是标准也是方向?( ) A. 关于“要和《内经》《本草经》《金匮要略》结合起来” B. 关于“要与临床相结合” C. 关于“对传统的错误看法要敢破敢立” D. 关于“对原文要一分为二” 4以下哪段话是李克绍先生所说:( ) A. “胸中有万卷书,笔底无半点尘,始可著书;胸中无半点尘,目中无半点尘者,才许作古文疏注。

” B. “能否理论联系实际,在临床医疗中能否灵活运用,这是检验学习《伤寒论》成功与否的重要标志。

” C. “《伤寒论》言证候不谈病机,述病理而少及生理,出方剂而不言药理” D. “医者书不熟则理不明,理不明则识不清,临证游移,漫无定见,药证不合,难以奏效。

”5以下哪段话,是湖北叶发正研究员在《伤寒学术史》中对李克绍先生的评价:( ) A. “他的论著享誉海内外,称得起现代的伤寒著名学家。

” B. “高山仰止,景行行止” C. “他对《伤寒论》的研究创当代《伤寒论》注疏之新风,其见解独特、基于临床、前后呼应、逻辑严密;他活泼泼地注疏通解了活泼泼的《伤寒论》。

” D. “先生最反对学术上人云亦云,不求甚解,认为这是自欺欺人的不良学风。

先生读书也看前人注解,但决不盲从。

” 6以下哪一项,不是丁元庆教授对急性口僻的辨治分析:( ) A. 口僻发生在面部,表现为口眼歪斜。

面部是足阳明胃经循行之地。

B. 阳明火热内盛,炙灼足阳明人迎脉,形成人迎脉积。

高考数学分类练习 H单元 解析几何(理科)含答案3

高考数学分类练习  H单元 解析几何(理科)含答案3

数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20.F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程.(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC →与BD →同向. (i)若|AC |=|BD |,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.20.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y , 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6,32,所以94a 2+6b 2=1.②联立①②,得a 2=9,b 2=8, 故C 2的方程为y 29+x 28=1.(2)如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).(i)因为AC →与BD →同向,且|AC |=|BD |,所以AC →=BD →,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =kx +1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2=4y 得x 2-4kx -4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx -64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3+x 4=-16k 9+8k 2,x 3x 4=-649+8k2.⑤ 将④⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2, 所以(9+8k 2)2=16×9,解得k =±64,即直线l 的斜率为±64.(ii)证明:由x 2=4y 得y ′=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y =x 1x 2-x 214.令y =0,得x =x 12,即M x 12,0,所以FM →=x 12,-1.而FA →=(x 1,y 1-1),于是FA →·FM →=x 212-y 1+1=x 214+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD =180°-∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.19.H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (-c ,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=b 24截得的线段的长为c ,|FM |=433.(1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.19.解:(1)由已知有c 2a 2=13,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=3c 2,b 2=2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0),则直线FM 的方程为y =k (x +c ).由已知,有kc k 2+12+c 22=b 22,解得k =33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2+y 22c 2=1,直线FM 的方程为y =33(x +c ),两个方程联立,消去y ,整理得3x 2+2cx -5c 2=0,解得x =-53c 或x =c .因为点M 在第一象限,所以M 的坐标为c ,233c .由|FM |=(c +c )2+233c -02=433,解得c =1,所以椭圆的方程为x 23+y 22=1.(3)设点P 的坐标为(x ,y ),直线FP 的斜率为t ,则t =yx +1,即y =t (x +1)(x ≠-1),与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y =t (x +1),x 23+y 22=1,消去y ,整理得2x 2+3t 2(x +1)2=6.又由已知,得t =6-2x 23(x +1)2>2,解得-32<x <-1或-1<x <0.设直线OP 的斜率为m ,则m =y x,即y =mx (x ≠0).与椭圆方程联立,整理可得m 2=2x2-23. ①当x ∈-32,-1时,有y =t (x +1)<0,因此m >0,于是m =2x 2-23,得m ∈23,233. ②当x ∈(-1,0)时,有y =t (x +1)>0,因此m <0,于是m =-2x 2-23,得m ∈-∞,-233.综上,直线OP 的斜率的取值范围是-∞,-233∪23,233.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离15.B12、H2 设曲线y =e x在点(0,1)处的切线与曲线y =1x(x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.15.(1,1) 对y =e x求导得y ′=e x,令x =0,得曲线y =e x在点(0,1)处的切线斜率为1,故曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线斜率为-1,由y ′=-1x2=-1,得x =1,则y=1,所以P 的坐标为(1,1).H3 圆的方程14.H3、H4 如图1­3,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2.图1­3(1)圆C 的标准..方程为________; (2)过点A 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①|NA ||NB |=|MA ||MB |;②|NB ||NA |-|MA ||MB |=2;③|NB ||NA |+|MA ||MB |=2 2. 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号) 14.(1)(x -1)2+(y -2)2=2 (2)①②③(1)由题意,设圆心C (1,r )(r 为圆C 的半径),则r 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22+12=2,解得r = 2.所以圆C 的方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)由(1)知,A (0,2-1),B (0,2+1). 设M (a ,b ),则|MA ||MB |=a 2+[b -(2-1)]2a 2+[b -(2+1)]2=1-b 2+[b -(2-1)]21-b 2+[b -(2+1)]2=(2-1)b -(2-2)(2+1)b -(2+2)=(2-1)(b -2)(2+1)(b -2)=(2-1)2(2+1)(2-1)=2-1;同理|NA ||NB |=2-1.所以|NA ||NB |=|MA ||MB |,①正确;|NB ||NA |-|MA ||MB |=12-1-(2-1)=2,②正确;|NB ||NA |+|MA ||MB |=12-1+2-1=22,③正确.综上,正确结论的序号是①②③.7.H3 过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN |=( ) A .2 6 B .8 C .4 6 D .107.C 方法一:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D -7E +F +50=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-2,E =4,F =-20,所以圆的方程为x 2+y 2-2x+4y -20=0,即(x -1)2+(y +2)2=25,所以||MN =225-1=4 6.方法二:因为k AB =-13,k BC =3,所以k AB k BC =-1,所以AB ⊥BC ,所以△ABC 为直角三角形,所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1,-2),半径r =12||AC =5,所以||MN =225-1=4 6.方法三:由AB →·BC →=0得AB ⊥BC ,下同方法二.14.H3 一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.14.⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=254 设圆心为(t ,0)(t >0),则半径为4-t ,所以4+t 2=(4-t )2,解得t =32,所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=254.8.H3、H4 已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( )A .2B .4 2C .6D .2108.C 由题设,得圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4,故圆C 的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴,所以圆心(2,1)在直线l 上,则2+a -1=0,解得a =-1,所以|AB |2=|AC |2-|BC |2=-4=36,所以|AB |=6.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系5.H4 平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A .2x +y +5=0或2x +y -5=0 B .2x +y +5=0或2x +y -5=0 C .2x -y +5=0或2x -y -5=0 D .2x -y +5=0或2x -y -5=05.A 设所求直线方程为2x +y +m =0,则圆心到该直线的距离为|m |22+1=5,∴|m |=5,即m =±5.14.H3、H4 如图1­3,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2.图1­3(1)圆C 的标准..方程为________; (2)过点A 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①|NA ||NB |=|MA ||MB |;②|NB ||NA |-|MA ||MB |=2;③|NB ||NA |+|MA ||MB |=2 2. 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号) 14.(1)(x -1)2+(y -2)2=2 (2)①②③(1)由题意,设圆心C (1,r )(r 为圆C 的半径),则r 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22+12=2,解得r = 2.所以圆C 的方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)由(1)知,A (0,2-1),B (0,2+1). 设M (a ,b ),则|MA ||MB |=a 2+[b -(2-1)]2a 2+[b -(2+1)]2=1-b 2+[b -(2-1)]21-b 2+[b -(2+1)]2=(2-1)b -(2-2)(2+1)b -(2+2)=(2-1)(b -2)(2+1)(b -2)=(2-1)2(2+1)(2-1)=2-1;同理|NA ||NB |=2-1.所以|NA ||NB |=|MA ||MB |,①正确;|NB ||NA |-|MA ||MB |=12-1-(2-1)=2,②正确;|NB ||NA |+|MA ||MB |=12-1+2-1=22,③正确.综上,正确结论的序号是①②③.10.H4 在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.10.(x -1)2+y 2=2 由直线mx -y -2m -1=0得m (x -2)-(y +1)=0,故直线过点(2,-1).当切线与过(1,0),(2,-1)两点的直线垂直时,圆的半径最大,此时有r =1+1=2,故所求圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.9.H4 一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y -2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A .-53或-35B .-32或-23C .-54或-45D .-43或-349.D 设反射光线所在直线的斜率为k ,反射光线过点(-2,-3)关于y 轴的对称点(2,-3),∴反射光线所在直线方程为y +3=k (x -2).又∵其与圆(x +3)2+(y -2)2=1相切,∴|-3k -2-2k -3|1+k 2=1,解得k =-43或k =-34. 10.H4,H7 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x -5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4)10.D 当直线l 与x 轴垂直,且0<r <5时,满足条件的直线有且仅有2条. 当直线l 与x 轴不垂直时,不妨设切点M (5+r cos θ,r sin θ)(0<θ<π),则切线斜率k =-cos θsin θ.另一方面,由于M 是AB 的中点,故由点差法得k =2r sin θ,则r =-2cos θ,所以r >2. 因为M (5+r cos θ,r sin θ)在抛物线内, 所以r 2sin 2θ<4(5+r cos θ), 又r cos θ=-2,所以化简得r <4, 故2<r <4.当2<r <4时,由r =-2cos θ知满足条件且在x 轴上方的切点M 只有1个,从而总的切线有4条.故选D.8.H3、H4 已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( )A .2B .4 2C .6D .2108.C 由题设,得圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4,故圆C 的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴,所以圆心(2,1)在直线l 上,则2+a -1=0,解得a =-1,所以|AB |2=|AC |2-|BC |2=-4=36,所以|AB |=6.H5 椭圆及其几何性质20.H5、H8 设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM |=2|MA |,直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程.20.解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,13b .又k OM =510,所以b 2a =510, 进而得a =5b ,c =a 2-b 2=2b ,故e =c a =255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为x5b +yb=1,点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ,-12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1,72,则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b +x 12,-14b +74.又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1,从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b +x 125b +-14b +74b=1,72+12b x 1-52b =5,解得b =3,所以a =35,故椭圆E 的方程为x 245+y 29=1.21.H9、H5、H8、H10 一种作图工具如图1­6所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN =ON =1,MN =3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图1­7所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程.(2)设动直线l 与两定直线l 1:x -2y =0和l 2:x +2y =0分别交于P ,Q两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1­6图1­721.解:(1)设点D (t ,0)(|t |≤2),N (x 0,y 0),M (x ,y ),依题意, MD →=2DN →,且|DN →|=|ON →|=1,所以(t -x ,-y )=2(x 0-t ,y 0),且⎩⎪⎨⎪⎧(x 0-t )2+y 20=1,x 20+y 20=1, 即⎩⎪⎨⎪⎧t -x =2x 0-2t ,y =-2y 0,且t (t -2x 0)=0.由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是t =2x 0,故x 0=x 4,y 0=-y2,代入x 20+y 20=1,可得x 216+y 24=1,即所求的曲线C 的方程为x 216+y 24=1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x =4或x =-4,都有S △OPQ =12×4×4=8.(ii)当直线l 的斜率存在时,设直线l :y =kx +m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2+4y 2=16,消去y ,可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16)=0,即m 2=16k 2+4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x -2y =0,可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1-2k ,m 1-2k ; 同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫-2m 1+2k ,m 1+2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d =|m |1+k 2和|PQ |=1+k 2|x P -x Q |,可得S △OPQ =12|PQ |·d =12|m ||x P -x Q |=12|m |·2m 1-2k +2m 1+2k =2m21-4k2.② 将①代入②得,S △OPQ =2m 21-4k 2=84k 2+14k 2-1. 当k 2>14时,S △OPQ =8·4k 2+14k 2-1=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1+24k 2-1>8;当0≤k 2<14时,S △OPQ =8·4k 2+11-4k 2=8⎝⎛⎭⎪⎫-1+21-4k 2. 因0≤k 2<14,则0<1-4k 2≤1,21-4k 2≥2,所以S △OPQ =8⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+21-4k 2≥8,当且仅当k =0时取等号.所以当k =0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.18.H5、H10 如图1­4,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC =2AB ,求直线AB 的方程.图1­418.解:(1)由题意,得c a =22,且c +a 2c=3,解得a =2,c =1,则b =1, 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1. (2)当AB ⊥x 轴时,AB =2,又CP =3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将直线AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0,则x 1,2=2k 2±2(1+k 2)1+2k2,C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21+2k 2,-k 1+2k 2,且AB =(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(1+k 2)(x 2-x 1)2= 22(1+k 2)1+2k2.若k =0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意, 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y +k1+2k 2=-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2k 21+2k 2, 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,5k 2+2k (1+2k 2),从而PC =2(3k 2+1)1+k2|k |(1+2k 2). 因为PC =2AB ,所以2(3k 2+1)1+k 2|k |(1+2k 2)=42(1+k 2)1+2k 2,解得k =±1, 此时直线AB 的方程为y =x -1或y =-x +1.20.H5、H8 已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.20.解:(1)证明:设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y =kx +b 代入9x 2+y 2=m 2, 得(k 2+9)x 2+2kbx +b 2-m 2=0, 故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b =9bk 2+9. 于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k,即k OM ·k =-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0,k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y =-9kx .设点P 的横坐标为x P ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =-9k x ,9x 2+y 2=m 2,得x 2P =k 2m 29k 2+81,即x P =±km 3k 2+9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3,m 的坐标代入(1)中l 的方程得b =m (3-k )3,因此x M =k (k -3)m3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M ,于是±km 3k 2+9=2×k (k -3)m 3(k 2+9), 解得k 1=4-7,k 2=4+7.因为k >0,k ≠3,所以当l 的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB 为平行四边形.19.H5,H8 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N ,问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ?若存在,求点Q 坐标;若不存在,说明理由.19.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1, 设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n <1. 直线PA 的方程为y -1=n -1mx , 所以x M =m 1-n ,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1-n ,0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称, 所以B (m ,-n ), 设N (x N ,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM ||OQ |=|OQ ||ON |”,即y Q 满足y 2Q =|x M ||x N |.因为x M =m 1-n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1,所以y 2Q =|x M ||x N |=m 21-n 2=2.所以y Q =2或y Q =- 2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2).13.H5 设F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点,若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为________.13. 5 由已知,令F (-c ,0),虚轴的一个端点B (0,b ),B 恰为线段PF 的中点,故P (c ,2b ).又P 在双曲线上,代人双曲线方程得c 2a 2-4b 2b 2=1,即e =ca= 5.20.F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程.(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC →与BD →同向. (i)若|AC |=|BD |,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.20.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y , 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6,32,所以94a 2+6b 2=1.②联立①②,得a 2=9,b 2=8, 故C 2的方程为y 29+x 28=1.(2)如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).(i)因为AC →与BD →同向,且|AC |=|BD |,所以AC →=BD →,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =kx +1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2=4y得x 2-4kx -4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx -64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3+x 4=-16k 9+8k 2,x 3x 4=-649+8k2.⑤ 将④⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2, 所以(9+8k 2)2=16×9,解得k =±64,即直线l 的斜率为±64.(ii)证明:由x 2=4y 得y ′=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y =x 1x 2-x 214.令y =0,得x =x 12,即M x 12,0,所以FM →=x 12,-1.而FA →=(x 1,y 1-1),于是FA →·FM →=x 212-y 1+1=x 214+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD =180°-∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.20.H5、H8 平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程.(2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y =kx +m 交椭圆E于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值.20.解:(1)由题意知2a =4,则a =2, 又c a =32,a 2-c 2=b 2,可得b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知,椭圆E 的方程为x 216+y 24=1,(i)设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 204+y 20=1,且(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204+y 20=1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2.(ii)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 将y =kx +m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2,①则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2,所以|x 1-x 2|=416k 2+4-m21+4k2. 因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S =12|m ||x 1-x 2|=216k 2+4-m 2|m |1+4k 2=2(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫4-m 21+4k 2m 21+4k 2. 设m 21+4k2=t .将y =kx +m 代入椭圆C 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.② 由①②可知0<t ≤1,因此S =2(4-t )t =2-t 2+4t . 故S ≤23,当且仅当t =1,即m 2=1+4k 2时,S 取得最大值23, 由(i)知,△ABQ 的面积为3S , 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20.H5、H8 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(c ,0),(0,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图1­7,AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.图1­720.解:(1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx +cy -bc =0, 则原点O 到该直线的距离d =bc b 2+c 2=bca, 由d =12c ,得a =2b =2a 2-c 2,解得离心率c a =32.(2)方法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB |=10. 易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y =k (x +2)+1,代入①得 (1+4k 2)x 2+8k (2k +1)x +4(2k +1)2-4b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k +1)2-4b 21+4k 2. 由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k 2=-4,解得k =12. 从而x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB |=1+122|x 1-x 2|= 52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2). 由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.方法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.② 依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB |=10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21+4y 21=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得 -4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12. 因此直线AB 的方程为y =12(x +2)+1,代入②得x 2+4x +8-2b 2=0,所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB |=1+122|x 1-x 2|= 52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2). 由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.20.H5、H8、H9 如图1­5所示,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是22,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.图1­5(1)求椭圆E 的方程.(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.20.解:(1)由已知得,点(2,1)在椭圆E 上,因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2+1b 2=1,a2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2,所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C ,D 两点. 如果存在定点Q 满足条件,则有|QC ||QD |=|PC ||PD |=1,即|QC |=|QD |,所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时,设直线l 与椭圆相交于M ,N 两点, 则M ,N 的坐标分别为(0,2),(0,-2). 由|QM ||QN |=|PM ||PN |,得|y 0-2||y 0+2|=2-12+1, 解得y 0=1或y 0=2,所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点坐标只可能为(0,2). 下面证明:对任意直线l ,均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y =kx +1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1, 因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(-x 2,y 2). 又k QA =y 1-2x 1=kx 1-1x 1=k -1x 1, k QB ′=y 2-2-x 2=kx 2-1-x 2=-k +1x 2=k -1x 1,所以k QA =k QB ′,即Q ,A ,B ′三点共线,所以|QA ||QB |=|QA ||QB ′|=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2),使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.19.H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (-c ,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=b 24截得的线段的长为c ,|FM |=433.(1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.19.解:(1)由已知有c 2a 2=13,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=3c 2,b 2=2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0),则直线FM 的方程为y =k (x +c ).由已知,有kc k 2+12+c 22=b 22,解得k =33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2+y 22c 2=1,直线FM 的方程为y =33(x +c ),两个方程联立,消去y ,整理得3x 2+2cx -5c 2=0,解得x =-53c 或x =c .因为点M 在第一象限,所以M 的坐标为c ,233c .由|FM |=(c +c )2+233c -02=433,解得c =1,所以椭圆的方程为x 23+y 22=1.(3)设点P 的坐标为(x ,y ),直线FP 的斜率为t ,则t =yx +1,即y =t (x +1)(x ≠-1),与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y =t (x +1),x 23+y 22=1,消去y ,整理得2x 2+3t 2(x +1)2=6.又由已知,得t =6-2x 23(x +1)2>2,解得-32<x <-1或-1<x <0.设直线OP 的斜率为m ,则m =y x,即y =mx (x ≠0).与椭圆方程联立,整理可得m 2=2x2-23. ①当x ∈-32,-1时,有y =t (x +1)<0,因此m >0,于是m =2x 2-23,得m ∈23,233. ②当x ∈(-1,0)时,有y =t (x +1)>0,因此m <0,于是m =-2x 2-23,得m ∈-∞,-233.综上,直线OP 的斜率的取值范围是-∞,-233∪23,233.19.H5、H8 已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ,B 关于直线y =mx +12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).图1­619.解:(1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y =-1mx +b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =-1mx +b ,消去y ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12+1m 2x 2-2b m x +b 2-1=0.因为直线y =-1m x +b 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+4m2>0.①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2+2,m 2b m 2+2的坐标代入直线方程y =mx +12,解得b =-m 2+22m 2.②由①②得,m <-63或m >63. (2)令t =1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-62,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,62,则|AB |=t 2+1·-2t 4+2t 2+32t 2+12,且O 到直线AB 的距离d =t 2+12t 2+1. 设△AOB 的面积为S (t ),所以 S (t )=12|AB |·d =12-2⎝⎛⎭⎪⎫t 2-122+2≤22,当且仅当t 2=12时,等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 21.H5、H8 如图1­6所示,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2, 求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ |,求椭圆的离心率e .图1­621.解:(1)由椭圆的定义,得2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2. 设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2,得2c = |F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)方法一:如图,设点P (x 0,y 0),由点P 在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,得x 20a 2+y 20b2=1,x 20+y 20=c 2, 求得x 0=±a c a 2-2b 2,y 0=±b 2c.由|PF 1|=|PQ |>|PF 2|得x 0>0,从而|PF 1|2=a a 2-2b 2c +c 2+b 4c2=2(a 2-b 2)+2a a 2-2b 2=(a +a 2-2b 2)2.由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a .从而由 |PF 1|=|PQ |=|PF 2|+|QF 2|,得|QF 1|=4a -2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ |,知|QF 1|=2|PF 1|,因此 (2+2)|PF 1|=4a ,即(2+2)(a +a 2-2b 2)=4a , 于是(2+2)(1+2e 2-1)=4,解得e =12×1+42+2-12=6- 3.方法二:如图,由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a .从而由|PF 1|=|PQ |=|PF 2|+|QF 2|,得|QF 1|=4a -2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ,|PF 1|=|PQ |,知|QF 1|=2|PF 1|,因此,4a -2|PF 1|=2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-2)a ,从而|PF 2|=2a -|PF 1|=2a -2(2-2)a =2(2-1)a .由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2,因此e =c a =|PF 1|2+|PF 2|22a= (2-2)2+(2-1)2=9-62=6- 3.H6 双曲线及其几何性质4.H6 下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1C.y 24-x 2=1 D .y 2-x 24=1 4.C 选项A ,B 中的双曲线的焦点在x 轴上,不正确;C 中的双曲线的焦点在y 轴上,且渐近线方程为y =±2x ,符合题意;D 中的双曲线的焦点在y 轴上,但渐近线方程为y =±12x ,不符合题意.故选C. 7.H6 已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =54,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C的方程为( )A.x 24-y 23=1B.x 29-y 216=1C.x 216-y 29=1 D.x 23-y 24=1 7.C 由题知⎩⎪⎨⎪⎧c a =54,c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,c =5,故b 2=c 2-a 2=9.8.H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( )A .对任意的a ,b ,e 1>e 2B .当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 2C .对任意的a ,b ,e 1<e 2D .当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2 8.D e 1=1+b 2a 2,e 2=1+(b +m )2(a +m )2.不妨令e 1<e 2,化简得b a <b +m a +m(m >0),得bm <am ,即b <a .同理可得,当b >a 时,有e 1>e 2.故选D.12.H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________.12.22不妨设点P (x 0,x 20-1)(x 0≥1),则点P 到直线x -y +1=0的距离d =||x 0-x 20-1+12.令u (x )=x -x 2-1=1x +x 2-1,则u (x )是单调递减函数,且u (x )>0.当x →+∞时,u (x )→0,所以d >22,故c max =22. 11.H6 已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A. 5 B .2 C. 3 D. 211.D 由题意,设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),如图所示,设M 在第一象限,由题意知|AB |=|BM |=2a ,∠ABM =120°,所以在△ABM 中,|AM |=23a ,所以M (2a ,3a ),代入双曲线方程得(2a )2a 2-(3a )2b2=1,解得a 2=b 2,所以e = 2.故选D.5.H6 已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-36,36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-223,223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,2335.A 由题意不妨取F 1(-3,0),F 2(3,0),所以MF 1→=(-3-x 0,-y 0),MF 2→=(3-x 0,-y 0),所以MF 1→·MF 2→=x 2+y 20-3<0.又点M 在曲线C 上,所以有x 202-y 20=1,即x 20=2+2y 20,代入上式得y 20<13,所以-33<y 0<33,故选A.10.H6 已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一条渐近线为3x +y =0,则a =________.10.33 双曲线x 2a 2-y 2=1(a >0)的渐近线方程是y =±1a x ,又知一条渐近线为3x +y=0,所以1a =3,解得a =33.3.H6 若双曲线E :x 29-y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A .11B .9C .5D .33.B 由题知||PF 1-||PF 2=±6,所以||PF 2=||PF 1±6=-3或9(负值舍去),故||PF 2=9.15.H6、H7 平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p >0)交于点O ,A ,B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为________.15.32 设OA 所在的直线方程为y =b a x ,OB 所在的直线方程为y =-bax ,抛物线C 2的焦点为F ,则可知,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a,2pb 2a 2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,2pb 2a 2,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2.又∵F 为△OAB 的垂心,∴AF ⊥OB ,即AF →·OB →=0.又∵AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,p 2-2pb 2a 2,OB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,2pb 2a 2,∴4p 2b2a 2+2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2-2pb 2a 2=0,整理得5a 2=4b 2,∴e =c a =a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+54=32. 14.H6、H7 若抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p =________.14.2 2 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为(-2,0),所以-p2=-2,故p =2 2.5.H6,H8 过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB |=( )A.4 33B .2 3C .6D .4 3 5.D 易知双曲线的右焦点为F (2,0),渐近线方程为y =±3x .将x =2代入渐近线方程,得y =±2 3,故|AB |=4 3.6.H6、H7 已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=47x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 221-y 228=1 B.x 228-y 221=1 C.x 23-y 24=1 D.x 24-y 23=1 6.D 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线是y =±b ax .因为一条渐近线过点(2,3),所以2b a= 3.抛物线y 2=47x 的准线是x =-7,因为双曲线的一个焦点在直线x =-7上,所以a 2+b 2=7,解得a =2,b =3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1.9.H6 双曲线x 22-y 2=1的焦距是________,渐近线方程是________.9.2 3 y =±22x c 2=a 2+b 2=3⇒c =3,则焦距为2 3,渐近线方程为y =±22x .10.H6、E1 设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a +a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-2,0)∪(0,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)10.A 由题意得A (a ,0),不妨取Bc ,b 2a ,Cc ,-b 2a ,由双曲线的对称性知D 在x 轴上,设D (x 0,0),由BD ⊥AC 得b 2a -0c -x 0·b 2a a -c =-1,解得c -x 0=b 4a 2(c -a ),由题可知c -x 0=b 4a 2(c -a )<a +a 2+b 2=a +c ,所以b 4a 2<c 2-a 2=b 2⇒b 2a 2<1⇒0<b a<1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba,所以渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).H7 抛物线及其几何性质20.F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程.(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC →与BD →同向. (i)若|AC |=|BD |,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.20.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y , 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6,32,所以94a 2+6b 2=1.②联立①②,得a 2=9,b 2=8, 故C 2的方程为y 29+x 28=1.(2)如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).(i)因为AC →与BD →同向,且|AC |=|BD |,所以AC →=BD →,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =kx +1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2=4y得x 2-4kx -4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx -64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3+x 4=-16k 9+8k 2,x 3x 4=-649+8k2.⑤ 将④⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2, 所以(9+8k 2)2=16×9,解得k =±64,即直线l 的斜率为±64.(ii)证明:由x 2=4y 得y ′=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y =x 1x 2-x 214.令y =0,得x =x 12,即M x 12,0,所以FM →=x 12,-1.而FA →=(x 1,y 1-1),于是FA →·FM →=x 212-y 1+1=x 214+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD =180°-∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.15.H6、H7 平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p >0)交于点O ,A ,B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为________.15.32 设OA 所在的直线方程为y =b a x ,OB 所在的直线方程为y =-bax ,抛物线C 2的焦点为F ,则可知,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a,2pb 2a 2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,2pb 2a 2,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2.又∵F 为△OAB 的垂心,∴AF ⊥OB ,即AF →·OB →=0.又∵AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,p 2-2pb 2a 2,OB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2pb a ,2pb 2a 2,∴4p 2b2a 2+2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2-2pb 2a 2=0,整理得5a 2=4b 2,∴e =c a =a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+54=32. 14.H6、H7 若抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p =________.14.2 2 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为(-2,0),所以-p2=-2,故p =2 2.10.H4,H7 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x -5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4)10.D 当直线l 与x 轴垂直,且0<r <5时,满足条件的直线有且仅有2条. 当直线l 与x 轴不垂直时,不妨设切点M (5+r cos θ,r sin θ)(0<θ<π),则切线斜率k =-cos θsin θ.另一方面,由于M 是AB 的中点,故由点差法得k =2r sin θ,则r =-2cos θ,所以r >2. 因为M (5+r cos θ,r sin θ)在抛物线内, 所以r 2sin 2θ<4(5+r cos θ),。

高中数学解析几何训练题精选(带答案)

高中数学解析几何训练题精选(带答案)

高中数学解析几何训练题精选〔带答案〕高中数学习题精选第三部分解析几何一、选择题:1、直线的倾斜角是______。

A. B. C. D.2、直线m、l关于直线x = y对称,假设l的方程为,那么m的方程为_____。

A. B. C. D.3、平面内有一长为4的定线段AB,动点P满足|PA||PB|=3,O为AB中点,那么|OP|的最小值为______。

A.1 B. C.2 D.34、点P分有向线段成定比,假设,那么所对应的点P的集合是___。

A.线段 B.线段的延长线 C.射线 D.线段的反向延长线5 、直线L经过点A 与点B ,那么该直线的倾斜角为______。

A.150 B.135 C.75 D.456、经过点A 且与直线垂直的直线为______。

A. B. C. D.7、经过点且与直线所成角为30的直线方程为______。

A. B.或C. D.或8、点A 和点B ,直线m过点P 且与线段AB相交,那么直线m的斜率k的取值范围是______。

A. B. C. D.9、两不重合直线和互相平行的条件是______。

A. B.或 C. D.10、过且倾斜角为15的直线方程为______。

A. B. C. D.11、a = 1是直线和互相垂直的___。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件12、与曲线关于直线对称的曲线方程是______。

A. B. C. D.13、曲线关于点对称的曲线的方程是______。

A. B. C. D.14、实数a = 0是和平行的______A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也非必要条件15、m和n的斜率分别是方程的两根,那么m和n所成角为______。

A.15 B.30 C.45 D.6016、直线的倾斜角为______。

A. B. C. D.17、a为非负实数,直线不通过的象限是______。

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限18、点到直线的间隔为______。

解析几何第三章知识点

解析几何第三章知识点

第三章 平面与空间直线版权所有,侵权必究§3.1 平面的方程1.平面的点位式方程在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ,b 后,通过点M 0且与a ,b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ,b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面π 的方位向量.取标架{}321,,;e e e O ,设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ,平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ,y ,z }(如图). 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ,b 共面. 由于a ,b 不共线,这个共面的条件可以写成M M 0= u a +v b而M M 0= r -r 0,所以上式可写成r = r 0+u a +v b(3.1-1)此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程,其中u ,v 为参数.若令a = {1X ,1Y ,1Z },b = {2X ,2Y ,2Z },则由(3.1-1)可得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y vX u X x x 210210210 (3.1-2)此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程,其中u ,v 为参数.(3.1-1)式两边与a ×b 作内积,消去参数u ,v 得(r -r 0,a ,b ) = 0(3.1-3)此即222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1-4)这是π 的点位式普通方程.已知平面π上三非共线点i M (i = 1,2,3). 建立坐标系{O ;e 1, e 2, e 3},设r i = i OM ={i x ,i y ,i z },i = 1,2,3. 对动点M ,设r =OM ={x ,y ,z },取21M M 和31M M 为方位向量,M 1为定点,则平面π的向量参数方程,坐标参数方程和一般方程依次为r = 1r +u(2r -1r )+v(3r -r 1)(3.1-5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x(3.1-6)131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0(3.1-7)(3.1-5),(3.1-6)和(3.1-7)统称为平面的三点式方程.特别地,若i M 是π 与三坐标轴的交点,即1M (a ,0,0),2M (0,b ,0),3M (0,0,c ),其中abc ≠0,则平面π 的方程就是caba z y a x 00---=0 (3.1-8)即1=++czb y a x (3.1-9)此方程叫平面π的截距式方程,其中a ,b ,c 称为π 在三坐标轴上的截距.2.平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0,y 0,z 0)和两个方位向量a = {1X ,1Y ,1Z },b = {2X ,2Y ,2Z }确定,因而任一平面都可用方程将其方程(3.1-4)表示. 将(3.1-4)展开就可写成Ax +By +Cz +D = 0(3.1-10)其中A =2211Z Y Z Y ,B =2211X Z X Z ,C =2211Y X Y X由于a = {1X ,1Y ,1Z }与b = {2X ,2Y ,2Z }不共线,所以A ,B ,C 不全为零,这说明空间任一平面都可用关于a ,b ,c 的一三元一次方程来表示.反之,任给一三元一次方程(3.1-10),不妨设A ≠0,则(3.1-10)可改写成02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ACz ABy A D x A即000=--+ACA B zy AD x 它显然表示由点M 0 (-D / A ,0,0)和两个不共线的向量{B ,-A ,0}和{C ,0,-A }所决定的平面. 于是有定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ,y ,z 的三元一次方程;反过来,任一关于变数x ,y ,z 的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1-10) 称为平面π 的一般方程. 3.平面的法式方程若给定一点M 0和一个非零向量n ,则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ;i ,j ,k }下,设0r = 0OM ={x 0,y 0,z 0},n = {A ,B ,C },且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ,y ,z },则因总有M M 0⊥n ,有n (r -r 0) = 0(3.1-11) 也就是A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0) = 0(3.1-12)方程(3.1-11)和(3.1-12)叫平面π 的点法式方程. (3.1-12)中的系数A ,B ,C 有简明的几何意义,它们就是平面π 的一个法向量的分量.特别地,取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足,而n 为单位向量. 当平面不过原点时,取n 为与OP 同向的单位向量n 0,当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP | = p ,则OP = p n 0,由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r -p n 0) = 0式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ,上式可写成n 0r -p = 0(3.1-13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r = {x ,y ,z },n 0 = {cos α,cos β,cos γ},则由(3.1-13)得x cos α+y cos β+z cos γ-p = 0(3.1-14)此为平面的坐标法式方程,简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征:1°一次项系数是单位向量的分量,其平方和等于1; 2°常数项-p ≤0(意味着p ≥ 0). 3°p 是原点到平面的距离. 4.化一般方程为法式方程在直角坐标系下,若已知π的一般方程为Ax +By +Cz +D = 0,则n = {A ,B ,C }是π的法向量,Ax +By +Cz +D = 0可写为nr +D = 0(3.1-15)与(3.1-13)比较可知,只要以2221||1CB A ++±=±=n λ 去乘(3.1-15)就可得法式方程λAx +λBy +λCz +λD = 0 (3.1-16)其中正负号的选取,当D ≠0时应使(3.1-16)的常数项为负,D =0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化,而将2221CB A ++±=λ叫做法化因子.§3.2 平面与点的相关位置平面与点的位置关系,有两种情形,就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时,一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在曲面的哪一侧.1.点与平面间的距离定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线,垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0上的射影叫做M 0与平面π之间的离差,记作δ = 射影n 00QM(3.2-1)显然δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ,n 0) =±∣0QM ∣当0QM 与n 0同向时,离差δ > 0;当0QM 与n 0反向时,离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时,离差δ = 0.显然,离差的绝对值|δ |就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面(3.1-13)之间的离差为δ = n 0r 0-p (3.2-2)推论1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα,则),,(0000z y x M 与π间的离差=δp z y x -++γβαcos cos cos 000(3.2-3)推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax +By +Cz +D = 0间的距离为()2220000,CB A DCz By Ax M d +++++=π (3.2-4)2.平面划分空间问题,三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为Ax +By +Cz +D = 0那么,空间任何一点M (x ,y ,z )与平面间的离差为=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax +By +Cz +D )式中λ为平面π的法化因子,由此有Ax +By +Cz +D =δλ1(3.2-5)对于平面π同侧的点,δ 的符号相同;对于在平面π的异侧的点,δ 有不同的符号,而λ一经取定,符号就是固定的. 因此,平面π:Ax +By +Cz +D = 0把空间划分为两部分,对于某一部分的点M (x ,y ,z ) Ax +By +Cz +D > 0;而对于另一部分的点,则有Ax +By +Cz +D < 0,在平面π上的点有Ax +By +Cz +D = 0.§3.3 两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形,即相交、平行和重合. 设两平面π1与π2的方程分别是π1: 11110A x B y C z D +++=(1)π2: 22220A x B y C z D +++=(2)则两平面π1与π2相交、平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或无数个解,从而我们可得下面的定理.定理3.3.1 两平面(1)与(2)相交的充要条件是111222::::A B C A B C ≠(3.3-1)平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠(3.3-2)重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===(3.3-3)由于两平面π1与π2的法向量分别为11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==,当且仅当n 1不平行于n 2时π1与π2相交,当且仅当n 1∥n 2时π1与π2平行或重合,由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为θ,称π1与π2的二面角∠(π1,π2) =θ 或π-θ为两平面间的夹角.显然有12cos (,)ππ∠=±cos θ =(3.3-4)定理3.3.2 两平面(1)与(2)垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A(3.3-5)例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面x +y +z = 0,求它的方程.解 设所求平面的法向量为n = {A ,B ,C },由于12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上,有12M M n ⊥, 120M M n ⋅=,即20A C --= .又n 垂直于平面x +y +z = 0的法线向量{1,1,1},故有 A +B +C = 0 解方程组20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得2,,A CBC =-⎧⎨=⎩ 所求平面的方程为2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=,约去非零因子C 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=,即2x -y -z =0§3.4 空间直线的方程1.由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程在空间给定了一点0000(,,)M x y z 与一个非零向量v = {X ,Y ,Z },则过点M 0且平行于向量v 的直线l 就惟一地被确定. 向量v 叫直线l 的方向向量. 显然,任一与直线l 上平行的飞零向量均可作为直线l 的方向向量.下面建立直线l 的方程.如图,设M (x ,y ,z ) 是直线l 上任意一点,其对应的向径是r = { x ,y ,z },而0000(,,)M x y z 对应的向径是r 0,则因M M 0//v ,有t ∈R ,M M 0= t v . 即有r -r 0= t v所以得直线l 的点向式向量参数方程r = r 0+t v (3.4-1)以诸相关向量的分量代入上式,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X t z y x z y x 000根据向量加法的性质就得直线l 的点向式坐标参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xtx x 000 (3.4-2)消去参数t ,就得直线l 的点向式对称方程为Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.4-3)此方程也叫直线l 的标准方程.今后如无特别说明,在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L 通过空间两点M 1(x 1,y 1,z 1)和M 2(x 2,y 2,z 2),则取M 1为定点,21M M 为方位向量,就得到直线的两点式方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4-4)根据前面的分析和直线的方程(3.4-1),可得到||||||||||00v M M v t =-=r r 这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4-1)或(3.4-2)中参数的几何意义:参数t 的绝对值等于定点M 0到动点M 之间的距离与方向向量的模的比值,表明线段M 0M 的长度是方向向量v 的长度的 |t | 倍.特别地,若取方向向量为单位向量v 0 = {cos α,cos β,cos γ}则(3.4-1)、(3.4-2)和(3.4-3)就依次变为r = r 0+t v 0(3.4-5)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x (3.4-6)和γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (3.4-7)此时因 |v | = 1,t 的绝对值恰好等于l 上两点M 0与M 之间的距离.直线l 的方向向量的方向角α,β,γ cos α,cos β,cos γ 分别叫做直线l 的方向角和方向余弦.由于任意一个与v 平行的非零向量v'都可作为直线l 的方向向量,而二者的分量是成比例的,我们一般称X :Y :Z 为直线l 的方向数,用来表示直线l 的方向.2.直线的一般方程空间直线l 可看成两平面π1和π2的交线. 事实上,若两个相交的平面π1和π2的方程分别为π1: 11110A x B y C z D +++= π2: 22220A x B y C z D +++=那么空间直线l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组111122220,0.A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3.4-8)反过来,如果点不在直线l 上,那么它不可能同时在平面π1和π2上,所以它的坐标不满足方程组(3.4-8).因此,l 可用方程组(3.4-8)表示,方程组(3.4-8)叫做空间直线的一般方程.一般说来,过空间一直线的平面有无限多个,所以只要在无限多个平面中任选其中的两个,将它们的方程联立起来,就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4-3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式,得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式,只需在直线上任取一点,然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例1将直线的一般方程10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩ 化为对称式和参数方程.解 令y = 0,得这直线上的一点(1,0,-2).两平面的法向量为a = {1,1,1},b = {2,-1,3}因a ×b = {4,-1,-3},取为直线的法向量,即得直线的对称式方程为12413x y z -+==--令t z y x =-+=-=-32141,则得所求的参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩§3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上3种情形. 设直线l 与平面π 的方程分别为L :000x x y y z z X Y Z ---== (1) π :Ax +By +Cz +D = 0(2)将直线l 的方程改写为参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tZz z tY y y tX x x 000. (3)将(3)代入(2),整理可得(AX +BY +CZ )t = -(Ax 0+By 0+Cz 0+D )(4)当且仅当AX +BY +CZ ≠0时,(4)有惟一解CZBY AX DCz By t +++++-=000Ax这时直线l 与平面π 有惟一公共点;当且仅当AX +BY +CZ = 0,Ax 0+By 0+Cz 0+D ≠0时,方程(4)无解,直线l 与平面π 没有公共点;当且仅当AX +BY +CZ = 0,Ax 0+By 0+Cz 0+D = 0时,(4)有无数多解,直线l 在平面π 上. 于是有定理3.5.1 关于直线(1)与平面(2)的相互位置,有下面的充要条件: 1)相交: AX +BY +CZ ≠02)平行:AX +BY +CZ = 0,Ax 0+By 0+Cz 0+D ≠03)直线在平面上: AX +BY +CZ = 0,Ax 0+By 0+Cz 0+D = 0以上条件的几何解释:就是直线l 的方向向量v 与平面π 的法向量n 之间关系. 1)表示v 与n 不垂直;2)表示v 与n 垂直且直线l 上的点(x 0,y 0,z 0)不在平面π 上; 3)表示v 与n 垂直且直线l 上的点(x 0,y 0,z 0)在平面π 上. 当直线l 与平面π 相交时,可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时,直线与平面的交角ϕ 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角;垂直时规定是直角.设v = {X ,Y ,Z }是直线l 的方向向量,n = {A ,B ,C }是平面π 的法向量,则令∠(l ,π ) =ϕ,∠(v ,n ) = θ ,就有ϕ=-2πθ 或 ϕ= θ-2π(θ 为锐角) 因而sin ϕ =∣cos θ∣=vn v n ⋅⋅=222222ZY X CB A CZ BY AX ++++++ (3.5-1)§3.6 空间直线与点的相关位置任给一条直线l 的方程和一点M 0,则l 和M 0的位置关系只有两种:点在直线上和点不在直线上。

解析几何教程习题答案

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第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律,即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明:作向量,,AB a BC b CD c ===(如下图),则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线,试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明:必要性,设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆,则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性,作向量,,AB a BC b CD c ===,由于ABCabcABCDabca b +b c +0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合,即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明:设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F (如下图),并且记,,a AB b BC c CA ===,则根据书中例 1.1.1,三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以,111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明:如下图,梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ,记向量,AB a FA b ==,则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向,所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点,所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且A BabcE FD C111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

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第三章 常见曲面习题3.11.证明:如果2220a b c d ++->,那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面,求出它的球心坐标和半径。

证明:将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-,由2220a b c d ++->,得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。

解:空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示,设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=,得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=,其中d 任意。

过该三点的平面方程是132x yz ++=,所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。

3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上,并此球面方程。

证明:因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=,所以曲线在一个球面上。

4.适当选取坐标系,求下列轨迹的方程(1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹; (2)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹; (3)到定平面和定点等距离的点的轨迹。

解(1)选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。

设定比常数为0k >。

所以动点(,,)x y z 满足2222222()(())x y z a k x y z a ++-=+++,化简有222222222(1)(1)(1)2(1)(1)0k x k y k z a k z k a -+-+--++-=,当1k =时,轨迹为平面0z =。

当01k <≠时,轨迹为球面2222221201k x y z a z a k+++-+=-。

(2)选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。

设常数为0k >。

所以动点(,,)x y zk =,化简有222222222444(416)40.k x k y k a z k a k ++-+-=(3)选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),a 定平面为z a =-。

所以动点(,,)x y z满足z a =+,化简有224.x y az +=5.曲面S 在柱面坐标系(,,)R u v 下的方程为2cos 2v R u =,求S 的直角坐标方程。

解:将柱面坐标与直角坐标的关系cos ,sin ,x R u y R u z v ===代入方程得到22.x y z -=6.曲面S 的直角坐标方程为22225x y z +-=,试求其球面坐标方程。

解:将球面坐标与直角坐标的关系cos cos ,cos sin ,sin x R y R z R θϕθϕθ===代入方程得到2222222cos sin 25,x y z R R θθ+-=-=即2cos 225.R θ=习题3.21.求半径为1,对称轴为23y zx ==的圆柱面方程。

解:圆柱面上的点(,,)x y z 到对称轴23y zx ==的距离是常数1,所以1=,即有222(32)(3)(2)14.y z z x x y -+-+-=2.已知与圆柱面的三条母线为,11,11,x y z x y z x y z ==+==--=+=求这个圆柱面的方程。

解:先求对称轴,对称轴上的点(,,)x y z 到三母线的距离相等,所以(,,)(1,1,1)(1,,1)(1,1,1)(1,1,)(1,1,1)x y z x y z x y z ⨯=+-⨯=-+⨯,化简整理得对称轴的方程:11x y z =+=-。

圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点(0,1,1)-到母线x y z ==的距离,所以(,1,1)(1,1,1)(0,1,1)(1,1,1)x y z +-⨯=-⨯,即222(2)(1)(1)6,y z x z x y -++-++--=展开得到圆柱面方程222330.x y z xy xz yz y z ++---+-=3.求母线方向为(2,3,4)-,准线为229,1x y z ⎧+=⎨=⎩的柱面方程。

解:柱面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上一点000(,,)x y z 的母线上,所以022000009,1,2,3,4x y z x x t y y t z z t ⎧+=⎪=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩消去000,,,x y z t 得到柱面方程:22216161324161624261310.x y z yz xz x y z +++-+---=4.已知圆柱面的对称轴为211x y z =-=-+,点(1,2,1)-在此圆柱面上,求此圆柱面的方程。

解:圆柱面上的点(,,)x y z 与点(1,2,1)-到对称轴的距离相等,所以(,1,1)(1,2,2)(1,3,0)(1,2,2)41x y z --⨯-=-⨯-=,展开整理得222855484822390.x y z xy yz xz x y z +++-+----=5.求准线为221,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩的圆柱面方程。

解:因为准线是椭圆,所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心(0,0,0),母线方向不可能平行于坐标面xOy ,可设为(,,1)l m。

在准线上取三点1,0),2它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径r ,于是1(2,0,0)(,,1)(0,1,0)(,,1),0)(,,1)2l m l m l m ⨯=⨯=⨯,得222114413),42m l l +=+=++-化简有 2234,0,m l ml ⎧+=⎨=⎩显然0,l ≠所以0,m l ==1r =。

因而圆柱面有两个2(,,)(4x y z ⨯=,即22()4 4.x y ±+=6.求以z 轴为对称轴,坐标原点为顶点,半顶角为6π的圆锥面方程。

解:因为圆锥面以z 轴为对称轴,坐标原点为顶点,半顶角为6π,所以圆锥面非常为2222tan 0,6x y z π+-=即222330.x y z +-=7.求顶点在原点,准线为(,)0,,(0)f x y z h h =⎧⎨=≠⎩的锥面方程。

解:锥面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上某点000(,,)x y z 的母线上,所以000000(,)0,,,,f x y z h x tx y ty z tz=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩因此得到锥面方程(,)0.hx hy f z z = 8.求以原点为顶点,包含三条坐标轴的圆锥面方程。

解:设圆锥面的对称轴的方向向量为(,,)l m n ,依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等,所以有(1,0,0)(,,)(0,1,0)(,,)(0,0,1)(,,)l m n l m n l m n ==即l m n ==,对称轴的方向向量为(1,1,1)±±。

因此圆锥面上的点(,,)x y z 满足22)(1,1,1)±±=,化简得0.xy yz xz ±±=即有四个圆锥面。

9.求顶点为(0,1,0),准线为221,45y x z ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的锥面方程。

解:锥面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上某点000(,,)x y z 的母线上,所以220000001,45,,1(1),y x z x tx y t y z tz ⎧-=⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎪=+-⎪⎪=⎪⎩因此得到锥面方程222205210250.x y z yz y z --++--= 10.证明:母线方向为(,,)l m n ,与球面2221x y z ++=外切的柱面方程为2222222()()(1)0lx my nz l m n x y z ++-++++-=。

证明:依照题意知柱面是半径为1的圆柱面,对称轴为.xy z l m n==所以柱面上的点(,,)x y z 满足1=,由公式2222()a b a b a b ⨯=-得到2222222222()()()l m n x y z lx my nz l m n ++++-++=++,故柱面方程为2222222()()(1)0lx my nz l m n x y z ++-++++-=。

11.过x 轴和y 轴分别作动平面,交角θ为常数,求交线的轨迹方程,并且证明它是一个锥面。

解:过x 轴和y 轴的动平面方程可设为11220,0.B y C z A x C z +=+=它们的交线是11220,0.B y C z A x C z +=⎧⎨+=⎩由于两平面的交角θ是常数,所以cos θ=,交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程:2222222cos ()()0x y y z x z θ-++=,该方程明显是4次齐次方程,所以是锥面。

12.证明:以0000(,,)M x y z 为顶点的锥面方程是关于000(),(),()x x y y z z ---的齐次方程。

证明:我们知道顶点在原点的锥面方程是关于,,x y z 的齐次方程 ,所以将坐标系的原点平移到0000(,,)M x y z ,新坐标系的坐标用,,x y z ''',则000,,x x x y y y z z z '''=-=-=-,故锥面方程是关于,,x y z '''的齐次方程,即关于000(),(),()x x y y z z ---的齐次方程。

13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程,和在各坐标面上的投影曲线,并作出曲线的简图:(1)22222224,25;x y a x y z a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩(2)2222224,(3)4;x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩(3)2222224,20.x y z a x y ax ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩解:(1)向xOy 面投影的投影柱面方程是2224x y a +=,在xOy 面上的投影曲线是2224,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩ 在方程组中消去x 得到向yOz 面投影的投影柱面方程是222y z a +=,在yOz 面上的投影曲线是222,0.y z a x ⎧+=⎨=⎩ 在方程组中消去y 得到向xOz 面投影的投影柱面方程是222x z a -=-,在xOz 面上的投影曲线是222,0.x z a y ⎧-=-⎨=⎩ (2)在方程组中分别消去,,x y z 得到向,,yOz xOz xOy 面投影的投影柱面方程分别是227230(2,2),,230(2,2).4y x z x z y x z -=≤≤+=-=≤≤ 在,,yOz xOz xOy 面上的投影曲线方程分别是227230,230,,(2),(2).40,0,0,y y x z z x x z y ⎧-=-=+=⎧⎧⎪≤≤⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎩ (3)在方程组中分别消去,,x y z 得到向,,yOz xOz xOy 面投影的投影柱面方程分别是422222222440,240,20z a z a y z ax a x y ax -+=+-=+-=。

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