大学.空间解析几何习题
空间解析几何习题
空间解析几何习题习题0—11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：)2,1,2(),4,3,0(),4,0,0(-。
2．求点),,(c b a 关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。
3．自点),,(0000z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
4．一边长为a 的立方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。
5．求点)5,3,4(-P 到各坐标轴的距离。
6．在yOz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。
7．证明：以三点)9,1,4(A ，)6,1,10(-B ，)3,4,2(C 为顶点的三角形是等腰三角形。
习题0—21．设向量a 与x 同和y 轴的夹角相等，而与z 同的夹角是前者的两倍，求向量a 的方向余弦。
2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？（1）0cos =α；（2）1cos =β；（3）0cos cos ==βα3．分别求出向量)5,3,2(),1,1,1(-==b a 及)2,1,2(--=c 的模，并写出单位向量000,,c b a 。
4．设向量)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(===k j i ，证明k j i ,,两两正交。
习题0—31．设b a ,为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？（1）||||b a b a -=+；（2）||||b ba a =。
2．设c b a v c b a u -+=+-=3,2，试用c b a ,,表示v u 32-。
3．在A B C ?中，设M ，N ，P 分别为BC ，CA AB 的中点，试用AB CA BC ===c b a ,,表示向量AM ，N B ，CP 。
4．设MB AM =，证明：对任意一点O ，有)(21+=。
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
空间解析几何往年试题(2006-2014级)
1、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-= 且满足a b ⊥ ，则数____=λ.2、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 3、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点. 07级1、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥ ，则λ=2、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为3、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 08级1、设向量(3,5,),(2,1,4)a x b ==r r ，且2a b z x +=r r 与轴垂直，则________.2、经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是________________。
3、计算题（1）求过点M (0,1,1)-，且与直线{20:270y L x z +=+-=垂直的平面方程。
（2）求点M 到直线L 的距离。
09级 1、 向量(2,1,2),a b λ=-=r r ，满足b a ⊥r r ，则数λ=_____________。
2、 过点(1,2,3)且与两平面1x y z -+=和3232x y z ++=平行的直线方程为_________________。
3、 已知直线1132:214x y z L ---==和2241:321x y z L ++-==-，求经过1L 且与2L 平行的平面方程。
1、 与向量(0,3,4)a =-r 同向平行的单位向量是________________。
2、 xoz 面上的曲线25x z =绕x 轴旋转一周生成的旋转抛物面方程是__________________________。
3、求过点M (1,1,1)-，且与平面0x =和平面10y z -+=同时垂真的平面方程。
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何一、填空题1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。
2、直线2100x y --=方向向量为 。
3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。
4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。
5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。
6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。
7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。
8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。
9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)⋅a b = 。
10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。
二、解答题1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。
2、求过点(4,2,3) 且平行与直线31215x y z --==的直线方程。
3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程。
4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。
6、求22219416x y z ++=在XOY 平面上的投影域。
7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。
8、求曲线222251x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
9、求曲线 22249361x y z x z ⎧++=⎨-=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
大学知识第八节 空间解析几何
空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（ ）。
22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。
3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。
【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)， 平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。
故选择B 。
4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面 B 。
旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。
6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。
空间解析几何试题
空间解析几何一、 填空题（每小题4分，共20分）1、已知2,==a b 且2⋅=a b , 则⨯=a b ；2、已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,1===a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ；3、旋转曲面2z =是由曲线 绕z 轴旋转一周而得；4、空间曲线⎩⎨⎧==+x z 1y x 在yOz 面上的投影为 ； 5、当λ=____时,直线231x y z ==-平行于平面40x y z λ++=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有 ；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．2、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a = ；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D ． 3、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 4、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 5、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (B)双叶双曲面,z 轴;三、 判断题（每题3分，共18分）１．若0≠a ，且c a b a ⋅=⋅或c a b a ⨯=⨯，则c b =。
（ ）2．与ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3,3,3πππ。
（ ） 3．平面1432===z y z 与6x+4y+3z+12=0平行。
( ） 4．向量)()(c a b c a a ⋅-⋅与c 恒垂直。
空间解析几何(练习题(答案))
1. 过点M (1, —1, 1)且垂直于平面x — y — z+1 = 0及2x+y + z+1 = 0的平面方程.39. y—z+2=03.在平面x—y—2z=0上找一点p, 使它与点（2,1,5）, （4，邙,1）及（―2,—1,3）之间的距离相等.5.已知：A(1,2,3),B(5,—1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),贝打// =A . 4B . 1C , -D . 227 .设平面方程为x - y = 0,则其位置( )A .平行于x 轴B .平行于y 轴C .平行于z 轴D .过z 轴.8 .平面x—2y+7z+3 = 0与平面3x+5y+z—1 = 0的位置关系（）A .平行B .垂直C .相交D .重合9 .直线工二 =丫二9 与平面4x —2y —2z—3 = 0的位置关系()-2 -7 3A .平行B ,垂直C ,斜交D .直线在平面内—―、f—y+1 = 010 .设点A(0,—1,0)到直线，y的距离为( )、x + 2z - 7 = 0A . 75B . 1=C . 1 D，6 55. D 7 , D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当m=时，2i _3j +5k 与3i+mj —2k互相垂直.4 .设a=2：+j+k , b=i—2j+2k , C = 3i—4j+2k , 则P c(a j b)= ----------------c4.过点（2, —8⑶且垂直平面x+2y—3z-2 = 0直线方程为10 .曲面方程为：x2 * 4 +y2 +4z2 =4,它是由曲线绕旋转而成的.。
一4,3. m = 一；43且9,工匚2=",29 1 2 -3旋转而成.1 .设 a ={2-3,1 1b =^,-1,3)0 = {1-2,0},则(a = b)xC=( )A . 8B . 10C . fo ,-1,-1)D , {2,1,21}3 .若 a =6i +3j _2k,b//a,且月=14,则b =()A . ±(12i +6j -4k)B . ±(12i +6j jC . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k) 4 .若 M 1(1,1,1),M 2(2,2,1),M 3(2,1,2),则 M 1M 2与M 1M 3的夹角中716 .求平面x — y +2z —6 = 0与平面2x + y + z —5 = 0的夹角(ooo5A . 30B . 60C . 90D . arcsin- 61. D 3 . A 4 . C 6. C 8. A 9 . D7.求与平面2x-6y+3z=4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k 值，使三个平面：kx —3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1, x — 8y — 2z = 3通过同一条 直线.5.求以向量i + j, j + k, k+i 为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x+y+2z+5=0,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程8 98 .动点到点（0,0,5 ）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为 .5.已知a ={-3,0,4}, b =0-2,-14},则两向量所成夹角的角平分线上的单位向JTM o (3,-1,2), 直线l 」x y -z 1 = 0 2x- y z-4=0M O 到l 的距离为（x -2 y -3与平面2x + y+z = 6夹角为 （2 2z = 2 -x - y22z=(x") (y-1)或两向量对应坐标成比例 。
高等数学-空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。
参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα===3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S。
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M0M1 // M0M2
t1 = 0, t2 = 2 M1 = (0, 0, −1), M2 = (2, 2, 3)
x −1 y −1 z −1 L: = = 1 1 2
M1(t1 , 2t1 ,t1 −1),
L 1 M1
L2
M0
M2
L
M2 (t2 ,3t2 − 4, 2t2 −1)
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x−x y− y z −z 直线: = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = 垂直：s ×n = 0 A B C 平行： s ⋅n = 0
s⋅ n 夹角公式： sinϕ = s n
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
A x + B y + C1z + D = 0 1 1 L: 1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 的平面束 方程 λ1( A x + B1y + C1z + D ) 1 1 +λ2 ( A2x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
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思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形: x y z 2 (1) 抛 柱 2y = x, 平 z = 0及 + + =1 物 面 面 ; 4 2 2
2 2 2
(2) 抛 柱 x2 =1− z, 平 y = 0, z = 0 及 x + y =1 物 面 面 ;
(4) 旋 抛 面 x + y = z, 柱 y = x, 平 z = 0 转 物 面 面
s = ( m, n, p) 为直线的方向向量.
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2.线面之间的相互关系 . 面与面的关系 平面 平面 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 ×n2 = 0
n1 ⋅ n2 夹角公式: cosϕ = n1 n2
A A2 + B B2 + C1C2 = 0 1 1 A B C1 1 = 1= A2 B2 C2
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线与线的关系
x 直线 L ： − x1 = y − y1 = z − z1 , s = (m , n , p ) 1 1 1 1 1 m n1 p1 1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , s2 = (m2 , n2 , p2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
其法向量为 n1 = (1+ λ , 5, 1− λ). 已知平面的法向量为 n = (1, − 4, − 8)
π n⋅ n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1
从而得所求平面方程
3 λ =− 4 x + 20y + 7z −12 = 0.
x − z + 4 = 0.
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例5. 求过点
O x P(x,0,0)
y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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例6.直线 曲面的方程. 提示: 提示 在 L 上任取一点
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
旋转轨迹上任一点, 则有
= y0
x2 + y2
得旋转曲面方程
z
r r
L
M
M0
y
O
1 x
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x2 + y2 − z2 =1
且与两直线 都相交的直线 L.
L2
提示: 提示 思路: 先求交点 M1 , M2 ; 再写直线方程. 的方程化为参数方程
L 1 M1
M0
M2
L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 , t1 −1),
M2 (t2 , 3t2 − 4, 2t2 −1) .
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M0 , M1 , M2 三点共线
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从而所求直线的方程为
即
过点 方向向量
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例2 求过点 的平面方程. 的平面方程 解：已知点 直线上的点
且通过直线
，直线方向向量 ，向量
所求平面的法向量 于是可取 所求平面方程为 即
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2x − z = 0 例3. 设一平面平行于已知直线 x + y − z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7x − y + 4z − 3 = 0, 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 提示 已知平面的法向量 n1 = (7, −1, 4) 求出已知直线的方向向量
及 x =1.
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解答: 解答 P50 题21(1)
z
2
2y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z =0 (8, − 2, 0)
z
O
O
x
4
(2,1, 0)
yxy目录 Nhomakorabea上页
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z 1
P50 21 (2)
−1 1 x
O
x =1− z xOz面 y =0 xOy面 z =0 x + y =1
( λ 1 , λ 2 不全为0 )
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(2)点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
M0
d
r n
Π
M1
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(3) 点
到直线
M0 (x0 , y0 , z0 )
的距离为 d
M0M1 × s d= s
s = (m, n, p) ϕ M1(x1, y1, z1)
取所求平面的法向量
i j k n = s × n1 = 1 1 2 = 2(3, 5, − 4) 7 −1 4 3 5 −4 , cos β = 所求为 cosα = , cosγ = 50 50 50
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x + 5y + z = 0 且与平面 x − 4y − 8z 例4. 求过直线 L : x−z +4=0 +12 = 0 夹成 角的平面方程. π 4 n n1 提示: 提示 过直线 L 的平面束方程
在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标
1−−1
1−−1
点 M 到坐标轴的距离：
dx = y2 + z2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
B(0, y, z)
dy = x2 + z2
r
M
dz = x + y
2
2
垂直: 平行: s1 ×s2 = 0
s1 ⋅ s2 夹角公式: cosϕ = s1 s2
m m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 1 m n1 p1 1 = = m 2 n 2 p2
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面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C)
习题课 空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
第八章 八
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面 一般式 点法式 截距式
x y z + + =1 a b c
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
点: (x0 , y0 , z0 ) 法 量: n = ( A, B, C) 向
三点式
y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1
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空间直线
1 1 1 一般式 A x + B y + C1z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2
对称式
x = x0 + mt 参数式 y = y0 + nt z = z0 + pt (x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
i j k x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
=
1 m2 + n2 + p2
m
n
p
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二、实例分析
例1 求过点 平面 ，垂直于直线 的直线方程。 的直线方程。 ，已知直线 的方向 且平行于
解：设所求直线 的方向向量 向量 已知 ，
,已知平面 的法向量为 已知平面 所以， ，所以， ，故可取
2
1
y
z
1 −1 1
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1
O
x
y
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P50 21(4)
z
(1,−1)
x
y2 = x
O 1
y
(1,1)
x2 + y2 = z
x =1 z =0
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