人教b版数学选修4-5练习：模块综合检测含解析

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2019版高中数学人教B版选修4-4：第一章坐标系检测含解析

17π6)-7π6)2,-11π6)2,13π6):B2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的1,得到的曲线方程为( )3若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称关于极点对称关于过极点垂直于极轴的直线对称重合:C以(-2,π4)为圆心,半径为2的圆的极坐标方程为( )4A.ρ=-(sin θ+cos θ)sin θ+cos θ5A.圆6在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程tan θ=1(ρ≥0)与θ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )=π4(ρ①③②③:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①错误;tan θ=1不仅表示θ,还表示θ,故②错误;ρ==π4这条射线=5π4这条射线ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.7(8极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ=12的图形是( ):把ρcos θ,得x=12化为直角坐标方程=12,又圆ρ=cos θ的圆心B 正确.为(12,0),半径为12,故选项9(Q(1,π2)的最短距离等于( ) 10极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点A.‒1‒1:将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2‒1.:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)1112解析13解析所以圆心到直线的距离1.1+3所以上的点到直的距离的最小:114已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .:∵{ρcosθ=3,ρ=4cosθ,①②∴4cos 2 θ=3,∴2(1+cos 2θ)=3.∴cos 2θ=12.15故S △AOB=12×3-32×1=3-34.:3-34三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{X =2x ,Y =2y 后,曲线C 变为曲线(X ‒5)2+(Y +6)2=1,求曲线C 的方程,并判断其形状.(X-5)2+(Y+6)2=1,将{X =2x ,Y =2y 代入得(2x-5)2+(2y+6)2=1,(5)117设点B'的柱坐标为(ρ2,θ2,z 2),则ρ2=|OB|∠BOA =|OA |2+|AB |2=32+32=32,θ2==π4,z 2=3,所以点B'的柱坐标为(32,π4,3);如图,取OB 的中点E ,连接PE ,=|OE|=12|OB|=322,θ3==π,z 3=3,18(1)写出不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(2,1),所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y-1=12 (x-12),化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sinθ-2cosθ.。

高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1_2 基本不等式课件新人教B版选修4-5

2 + 2 + 2+ 2
4
=
2 + 2
2
(当且仅当a=b 时等号成立).
≤ ≤
+
2
≤
(当且仅当a=b 时等号成立).
2 + 2
2
,
2

,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变
2
+
形公式.如 a,b 是正数,且 b≥a 时,a≤
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
4
= .
27
3
2
2
当且仅当 2x =1-x ,即 x= 时,等号成立.
3
2 3
2 3
∴y≤ 9 , 即ymax = 9 .
反思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的
相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常
数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三
D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2 ·2- = 2

解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2;
对于选项 B,当 x>1,y>1 时,有 lg x+lg y≥2 lg·lg;
4

对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − -故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为 32x+3=32

2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5

2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】一、填空题1、柯西不等式二维公式：2、利用柯西可知：3、已知4、已知5、已知二、解答题：1、已知、、，，求证2、已知的取值范围。

求、b a b a b a +>=+,0,44三、选择题：1．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]2．若x 、y 、m 、n ∈(0，＋∞)，且m x ＋n y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．m ＋nB ．4mnC ．(m ＋n )2D.m 2＋n 223．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029 C ．1，12，13 D ．1，14，194．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2＜x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2＞x 1x 2D ．不能确定 5．若x 、y 、z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．96．若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．97．若x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2的最小值为( )A. 2B.22C. 3D.338．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m 与n,3m ＋2n 的最大值是( )A ．35B ．37C ．38D ．419．已知x 、y 、z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 【自助餐】1．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 的最小值是__________．2．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________．3．已知x 、y 、z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )(y ＋z )的最小值为__________．4．若x 1、x 2、x 3大于0，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 1x 22x 3＋x 1x 2x 23的最大值为________．5．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.6．已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.30346768A 皊29175 71F7 燷365978EF5軵^(21585 5451 呑l6+C37936 9430 鐰lCc。

2019版高中数学人教B版选修4-1：第一章相似三角形定理与圆幂定理检测含解析

个钝角和3个锐角都是锐角或都是钝角:由于圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的4个角中若没有直角,则必有2个锐角和2个钝角:A如图,A,B是☉O上的两点,AC是☉O的切线,∠B=65°,则∠BAC等于( )° B.35°° D.65°则圆周角∠ACB的度数是A.12 cmB.10 cmC.6 cmD.8 cm:∵A,B,C,D把OE五等分,AA'∥BB'∥CC'∥DD',∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'.又OE'=20,∴OA'=A'B'=B'C'=C'D'=D'E'=4.∴B'D'=B'C'+C'D'=8(cm).:D若两条直角边在斜边上的射影分别是4和16,则此直角三角形的面积是( )由弦切角定理,得∠DCA=∠B=60°,又AD ⊥l ,故∠DAC=30°.:B如图,点D ,E 在以AB 为直径的半圆O 上,点F ,C 在AB 上,四边形CDEF 为正方形,若正方形的边长为AC=a ,BC=b ,则a-b=( )B. C.2 D.15:OF=OC=,圆的半径为,12a +b26,CD=4,AD ∥BC ,若B. C. D.335395152:过点A 作AG ∥DC ,交EF 于点H ,交BC 于点G.设AE=x ,DF=y ,由AB=BG=6,可得AE=EH=x.由题意,知x ∶6=y ∶4,所以2x=3y.①又梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,所以3+x+3+x+y=6-x+9+4-y+3+x ,即x+y=8.②∴.S △AMDS △BMC =(1020)2=14∵S △AMD =5 000÷100=50(m 2),∴S △BMC =200 m 2.故还需要资金200×100=20 000(元).:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)如图,CD 是☉O 的直径,BE 切☉O 于点B ,DC 的延长线交BE 于点A ,∠A=20°,则∠DBE= :OB ⊥AB ,在Rt △OBA 中,它们相交于AB 所以BP=AP= a.32又AP ·PB=CP ·PD ,所以a×a=a×PD ,323298解得PD=a.23:a23如图,在△ABD 中,C 为AD 上一点,且∠CBD=∠A ,BD=3,AD=4,AB=2,则BC= .△DAB.AE∥BC,ED交AB≌△CFD.∵AE∶BF=AG∶BG=1∶3,∴AE∶(8+AE)=1∶3.∴AE=4.:4如图,BC是半径为2的圆O的直径,点P在BC的延长线上,PA是圆O的切线,点A在直径BC上的射OC的中点,则∠ABP= ,PB·PC= .:如图,设OC的中点为E,连接AC,11三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,以AD为直径的☉O交AB于点E,☉O的切线EF 于点F,求证:EF⊥BC.∵AD是直径,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°.∵EF切☉O于点E,DE是弦,∴∠DEF=∠A.∴∠A+∠BEF=90°.∵AD=BC,AB∥DC,∴∠B=∠A.∵E 是BD 的中点,∴BE=DE.又∠EBF=∠EDG ,∠BEF=∠DEG ,∴△BEF ≌△DEG ,则BF=DG.∴BF ∶FC=DG ∶FC.又DG ∶FC=1∶2,则BF ∶FC=1∶2,即.BF FC =12BF =1BF =1BE=EC ;AD ·DE=2PB 2.(1)欲证BE=EC ,由于在圆O 中,可证,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证⏜BE =⏜EC DAC=∠BAD ,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现AD ·DE ,而D 是AE 与BC 两弦的交点,联想到相交弦定理可得AD ·DE=BD ·DC.从而使问题转化为证明2PB 2=BD ·DC ,而P ,B ,D ,C 在一条直线上,且D 又是PC 的中点,而PA=PD ,PA 是切线,又联想到切割线定理得PA 2=PB ·PC ,充分利用关系转化可得答案.(1)连接AB ,AC ,如图.由题设知PA=PD ,∠BAD+∠PAB ,∠DCA=。

2021-2022学年人教版高中数学选修2-3教材用书：模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．{4}B ．{14}C ．{4,6}D ．{14,2}解析：选C 由C x 14＝C 2x －414得x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，解得x ＝4或x ＝6.经检验知x ＝4或x ＝6符合题意．2．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列的一组数据是( ) A ．0，12，0,0，12 B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (0≤p ≤1) D.11×2，12×3，…，17×8解析：选D 利用分布列的性质推断，任一离散型随机变量X 的分布列都具有下述两共性质：①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1.选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36. 3．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.36 D ．0.64解析：选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.4．已知x ，y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80解析：选B 依题意得，x －＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y －＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x －，y －)，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45.5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 解析：选D 目标被击中P 1＝1－0.4×0.5＝0.8， ∴P ＝0.60.8＝0.75. 6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种解析：选A 直接法：选出3名志愿者中含有1名女生和2名男生或2名女生和1名男生，故共有C 12C 26＋C 22C 16＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名同学中选出3名，减去全部是男生的状况，故共有C 38－C 36＝56－20＝36种选法．7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的开放式中只有第6项二项式系数最大，则开放式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360 解析：选A 由已知得，n ＝10，T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r ·C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.8．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．9．箱子里有5个黑球和4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C.35×14D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：选B 记“从箱子里取出一球是黑球”为大事A ，“从箱子里取出一个球是白球”为大事B ，则P (A )＝59，P (B )＝49，在第4次取球后停止，说明前3次取到的都是黑球，第4次取到的是白球，又每次取球是相互独立的，由独立大事同时发生的概率公式，在第4次取球后停止的概率为59×59×59×49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.10．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079.则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误． 11．对两个变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观看值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝10，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的确定值越接近1，变量x ，y 的线性相关性越强．②中的r 太小，④中观看值组数太小．12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，接受独立性检验法抽取3 000人，计算发觉k ＝6.023，则依据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )P (K 2≥k )… 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 … k…1.3232.0722.7065.0246.6357.879…A.90% B ．95% C ．97.5%D ．99.5%解析：选C ∵k ＝6.023＞5.024，∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必需担当语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担当4个学科的科代表，共有A 47＝840(种)选法．答案：84014．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的均值是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P (ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.37615．抽样调查表明，某校高三同学成果(总分750分)X 近似听从正态分布，平均成果为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________.解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.316．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男 13 10 女720为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，计算得到K 2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．解析：依据供应的表格得 K 2＝50×13×20－7×10223×27×20×30≈4.844>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．答案：4.844 能三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋16x n开放式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值．(2)此开放式中是否有常数项？为什么？解：(1)T k ＋1＝C k n·⎝⎛⎭⎫6x n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16x k ＝C kn ·x n －2k 6，由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0，解得n ＝2(舍)或n ＝7.∴n ＝7. (2)由(1)知T k ＋1＝C k7·x 7－2k6. 当7－2k 6＝0时，k ＝72，由于k ∉N *，所以此开放式中无常数项．18．(本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场竞赛，每场均决出胜败，设这支篮球队与其他篮球队竞赛胜场的大事是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了2场的概率； (2)求这支篮球队在6场竞赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场竞赛中胜场数的均值和方差．解：(1)这支篮球队首次胜场前已负2场的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.(2)这支篮球队在6场竞赛中恰好胜3场的概率为P ＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.(3)由于X 听从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.故在6场竞赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.19．(本小题满分12分)某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客接受的付款期数X 的分布列为商场经销一件该商品，接受250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求大事：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位接受1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及E (Y )．解：(1)由A 表示大事“购买该商品的3位顾客中至少有1位接受1期付款”知，A 表示大事“购买该商品的3位顾客中无人接受1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P (Y ＝300)＝1－P (Y ＝200)－P (Y ＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2， Y 的分布列为E (Y )20．(本小题满分12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题意得，ξ全部可能的取值为0,40,80,120,160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124， ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×12＋120×4＋160×24＝80.21．(本小题满分12分)甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，接受分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量．(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量．(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值．解：(1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35. (2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.(3)ξ＝0,1,2，P (ξ＝i )＝C i 2C 2－i3C 25(i ＝0,1,2)，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P31035110均值E (ξ)＝1×35＋2×110＝45.22．(本小题满分12分)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区(如下图)，L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及均值E (X )，并依据“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你挂念救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为大事A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920，所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P110920920E (X )＝0×110＋1×920＋2×920＝2720.法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，P (Y ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38， P (Y ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以，随机变量Y 的分布列为Y0 1 2 3 P18383818E (Y )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝2，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以，E (Y )＝3×12＝32，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．。

2021-2022高二数学人教A版选修4-5同步练习：3.1 二维形式的柯西不等式 Word版含解析

A 组1.已知x+y=1,则x 4+y 4的最小值是( ) A .12 B .18 C .14D .1解析:由柯西不等式知(x 4+y 4)(12+12)≥(x 2+y 2)2,由于x+y=1,所以x 2+y 2≥(x+y )22≥12,所以x 4+y 4≥(x2+y 2)22=18,当且仅当x=12,y=12时,等号成立. 答案:B2.已知x+y=1,那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A .56B .65C .2536D .3625解析:2x 2+3y 2=[(√2x )2+(√3y )2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6x+√6y )2=65(x+y )2=65. 当且仅当2x=3y ,即x=35,y=25时等号成立.答案:B3.函数y=√x -5+2√6-x 的最大值是( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5 解析:依据柯西不等式,知y=1×√x -5+2×√6-x≤√12+22×√(√x -5)2+(√6-x )2=√5, 当且仅当√6-x =2√x -5,即x=265时,等号成立. 答案:B4.已知x ,y>0,且xy=1,则(1+1x )(1+1y)的最小值为 ( )A.4B.2C.1D.14解析:(1+1x )(1+1y)=[12+(√x )2][12+(√y )2]≥(1×1√x √y )2=(1+√xy )2=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立. 答案:A5.已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A.√2 B.2 C.√3 D.3解析:2x+y=√2×√2x+1×y ≤√(√2)2+12×√(√2x )2+y 2=√3×√2x 2+y 2=√3,当且仅当√2y=√2x ,即x=y=√33时等号成立,即2x+y 取到最大值√3. 答案:C6.设a ,b ,m ,n ∈R ,且a 2+b 2=5,ma+nb=5,则√m 2+n 2的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(am+bn )2,即5(m 2+n 2)≥25,∴m 2+n 2≥5,当且仅当an=bm 时,等号成立. ∴√m 2+n 2的最小值为√5. 答案:√57.设实数x ,y 满足3x 2+2y 2≤6,则2x+y 的最大值为 . 解析:由柯西不等式,得(2x+y )2≤[(√3x )2+(√2y )2]·[(√3)2+(√2)2] =(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11. 当且仅当3x=4y ,即x=√11,y=√11时等号成立.因此2x+y 的最大值为√11.答案:√118.已知a √1-b 2+b √1-a 2=1,求证a 2+b 2=1.分析:利用柯西不等式,把式子进行调整、变形.证明:由柯西不等式,得(a √1-b 2+b √1-a 2)2≤[a 2+(1-a 2)]·[(1-b 2)+b 2]=1,当且仅当√1-a 2=√1-b 2a 时取等号.故ab=√1-a 2·√1-b 2,即a 2b 2=(1-a 2)·(1-b 2),于是a 2+b 2=1.9.大家分别用“综合法”“比较法”和“分析法”证明白不等式:已知a ,b ,c ,d 都是实数,且a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,则|ac+bd|≤1.这就是有名的柯西(A.-L.Cauchy,法国数学家、力学家)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd )2≤(a 2+b 2)·(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 请用自然语言叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明. 解:数学语言叙述柯西不等式:若a ,b ,c ,d ∈R ,则(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 二维形式的证明:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2·c 2+b 2·d 2+a 2·d 2+b 2·c 2 =a 2·c 2+2abcd+b 2·d 2+a 2·d 2-2abcd+b 2·c 2 =(ac+bd )2+(ad-bc )2≥(ac+bd )2,当且仅当ad-bc=0,即ad=bc 时,等号成立. 10.已知θ为锐角,a ,b>0,求证(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. 证明:设m =(a cosθ,b sinθ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|a cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ|=|m ·n |≤|m ||n |=√(a cosθ)2+(bsinθ)2·√1 =√a 2cos 2θ+b 2sin 2θ,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时等号成立.∴(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. B 组1.假照实数m ,n ,x ,y 满足m 2+n 2=a ,x 2+y 2=b ,其中a ,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为( )A.a+b 2B.√abC.√a 2+b 22D.√a 2+b 22 解析:由柯西不等式,得(mx+ny )2≤(m 2+n 2)(x 2+y 2)=ab ,当m=n=√a 2,x=y=√b2时,mx+ny=√ab . 答案:B2.函数y=3√x -5+4√6-x 的最大值为 . 解析:∵y 2=(3√x -5+4√6-x )2≤(32+42)[(√x -5)2+(√6-x )2] =25(x-5+6-x )=25,当且仅当3√6-x =4√x -5,即x=13425时等号成立.∴函数y 的最大值为5.答案:53.已知a ,b ,m ,n 均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn )·(bm+an )的最小值为 . 解析:依据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )=(am+bn )(an+bm )≥(√am ·√an +√bn ·√bm )2=mn (a+b )2=2×1=2,当且仅当am an =bnbm ,即m=n=√2时,取得最小值2. 答案:24.函数y=√x -4+√25-5x 的最大值为 . 解析:∵y=√x -4+√25-5x ,∴y=1×√x -4+√5×√5-x≤√(1+5)(x -4+5-x )=√6( 当且仅当√5-x =√5·√x -4,即x=256时等号成立 ). 答案:√65.已知x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求1(x+y )2+1(x -y )2的最小值.解:令u=x+y ,v=x-y ,则x=u+v 2,y=u -v2.∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8,∴u 2+v 2=4.由柯西不等式,得(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4,当且仅当u 2=v 2=2,即x=±√2,y=0,或x=0,y=±√2时,1(x+y )2+1(x -y )2的最小值是1.6.(2021陕西高考)已知关于x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a ,b 的值;(2)求√at +12+√bt 的最大值. 解:(1)由|x+a|<b ,得-b-a<x<b-a ,则{-b -a =2,b -a =4,解得a=-3,b=1. (2)√-3t +12+√t =√3√4-t +√t≤√[(√3)2+12][(√4-t )2+(√t )2]=2√4-t +t =4,当且仅当√4-t√3=√t1,即t=1时等号成立. 故(√-3t +12+√t )max =4.7.已知x ∈(0,π2),试求函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 的最大值,并求出相应的x 的正弦值.解:设m =(3,4),n =(cos x ,√1+sin 2x ),则f (x )=3cos x+4√1+sin 2x =m ·n =|m ·n |≤|m ||n | =√32+42×√cos 2x +1+sin 2x =5√2, 当且仅当m ∥n 时取等号,此时,3√1+sin 2x =4cos x ,∴sin x=√75. ∴当sin x=√75时,函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 取最大值5√2.。

高二数学人教B选修第章综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 [答案] C[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° [答案] B[解析] 建立空间直角坐标系，可求AB 1→·BC 1→＝0，故成90°.3．已知△ABC ，AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是( )A ．b·c >0，a·c >0B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0C ．a·b >0D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0[答案] D[解析] 由数量积的意义知D 成立．4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若存在点D, 使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则点D 的坐标为( )A ．(－1,1,1)B ．(－1,1,1)或(1，－1，－1)C ．(－12，12，12)D ．(－12，12，12)或(1，－1,1)[答案] A[解析] 代入坐标运算得D (－1,1,1)，故选A.5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [答案] C[解析] ∵A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)， ∴AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)． ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴选C.6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CN 所成的角的余弦值是( )A.32B.102C.35D.25 [答案] D[解析] 以D 为坐标原点DA →、DC →、DD 1→为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则AM→＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos θ＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝25(用基向量表示亦可)．7．下面命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D[解析] ①②③④均正确，故选D.8．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)；直线l 2的方向向量v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1 与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或重合 [答案] D[解析] ∵v 2＝－2v 1，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．9．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A.92B. 3C.655D ．2[答案] D[解析] 以AB →、AD →、AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，32，3)，A (0,0,0)，∵n ＝(2,2，－1)，AB →＝(3,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝2，故选D.10．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( )A.12 B.21015 C.23 D.1115[答案] B[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 11．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定[答案] B[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →－(－x ，a ，－a )，C ′E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .12．如图，四面体P －ABC 中，PC ⊥面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －P A －C 的余弦值为( )A.22B.33C.77D.57[答案] C[解析] 如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，P A ＝PB ＝2，AB ＝1，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋2BD →·DE →＋2DE →＋EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14.∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77.∴cos 〈DB →，EC →〉＝77.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________. [答案] 0[解析] 由于(2m ＋n )·(m －3n )＝0，可得：m ·n ＝－2，则： a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝18. |a |＝(4m －n )2＝6， |b |＝(7m ＋2n )2＝3，cos 〈a ，b 〉＝186×3＝1，∴〈a ，b 〉＝0.14．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________．[答案]1510[解析] 如图所示，AD ⊥面BCD ，AD ＝32，BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510.15．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，则P A 与底面ABC 所成的角为________．[答案] 60°[解析] 由于P A ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，所以OP ⊥面ABC ，∠P AO 为所求角，不妨设BC ＝1，则OA ＝12，cos ∠P AO ＝12，所以∠P AO ＝60°.16．已知A 、B 、C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为零的实数λ、m 、n 使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值等于________．[答案] 0[解析] 由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，得OA →＝－m λOB →－n λOC →.根据空间直线的向量参数方程有－m λ－nλ＝1⇔－m －n ＝λ⇒m ＋n ＋λ＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O →是平面P AC 的法向量．[解析] 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2.则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →.∴AC ∩AP ＝A ，∴OB 1→⊥平面P AC ，即OB 1→是平面P AC 的法向量．18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．[解析] (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)， A 1C →＝(0，3，－3)，∵AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )，则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →＝(－1，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋1212＋02＋02＝155， ∴二面角A －A 1C －B 的大小为arccos155. 19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．[解析] (1)证明：在△BAD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，由余弦定理得，BD ＝3， ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ，又GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥BD ， GD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG ，(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)， AG →＝(－1,0,1)，AE →＝(－1，3，2)，设平面AEFG 法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AG →＝－x ＋z ＝0m ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，取m ＝(1，－33，1)，平面ABCD 的一个法向量n ＝DG →＝(0,0,1)，设平面AEFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ，则cos θ＝|m·n ||m ||n |＝217.20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P 在棱长为1正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．[解析] 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1 ,1，－1)得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos<P A →，PC →>＝P A →·PC →|P A →|·|PC →|<0，这等价于P A →·PC →<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.因此，λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．[解析] (1)因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.(2)过D 作DR ⊥CD 交于AB 于R ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F (3，1,0)，B (3，3,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2) 所以FB →＝(0,2,0)，BC 1→＝(－3，－1,2)，DB →＝(3，3,0)．由FB ＝CB ＝CD ＝DF ，所以DB ⊥FC . 又CC 1⊥平面ABCD ，所以DB →为平面FCC 1的一个法向量．设平面BFC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥FB →n ⊥BC 1→得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )，(0，2，0)＝0(x ，y ，z )，(－3，－1，2)＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－3x －y ＋2z ＝0.取x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0z ＝32，因此n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32，所以cos<DB →，n >＝DB →·n |DB →||n |＝33＋9×1＋34＝17＝77. 故所求二面角的余弦值为77. 22．(本小题满分14分)已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连接B 1C ，过点B 作B 1C 的垂线交于CC 1于E ，交B 1C 于F .(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ；(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；(3)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设|CE |＝a ，则C (3,3,0)，B 1(3,0,4)，A 1(0,0,4)，B (3,0,0)，D (0,3,0)．设E (3,3，a )，则A 1C →＝(3,3，－4)，B 1C →＝(0,3，－4)，BD →＝(－3,3,0)，BE →＝(0,3，a )．由BE ⊥B 1C ，知BE →·B 1C →＝0，即0·0＋3·3＋a ·(－4)＝0.∴a ＝94. ∴E (3,3，94)，BE →＝(0,3，94)， ∴A 1C →·BE →＝0，A 1C →·BD →＝0，∴A 1C ⊥BE ，A 1C ⊥BD .又BE ∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面EBD .(2)易证A 1B 1⊥BE ，∴BE →可看作平面A 1B 1C 的法向量n ＝(0,3，94)， CA →＝(－3，－3,0)．∴点A 到平面A 1B 1C 的距离d ＝|CA →·n ||n |＝125.(3)ED →＝(－3,0，－94)，设ED 与平面A 1B 1C 所成角为θ.则sin θ＝|DE →·n ||DE →||n |＝|3·0＋0·3＋94＋94|32＋02＋(94)2·02＋32＋(94)2＝925 即ED 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为925.。

【测控指导】高中数学人教B版选修4-5课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

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2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
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D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
利用柯西不等式证明不等式【例1】已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.
∵a+b+c=1,∴a2+b2+c2≥3,
当且仅当 a=b=c= 时等号成立.
1 3
1
答案:C
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定理(柯西不等式的一般形式)
(1)设
2 ��2
2 a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 为实数,则 (��1
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【做一做1】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则a2+b2+c2的最小值为( )

人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1

【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.
4.注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一作差法比较大小【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么? 提示:常用作差比较法.

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模块综合检测
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合A={y|y-2>0},集合B={x|x2-2x≤0},则A∪B等于( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,2]
C.[0,2)∪(2,+∞)
D.R
A=(2,+∞),B=[0,2],∴A∪B=[0,+∞).
2.若集合A={x||2x-1|<3},B∩B是( )
A
B.{x|2<x<3}
C
D
A={x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2},
B
∴A∩B
3.若a,b,x,y∈R,
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由②知,x-a与y-b同号;
又由①,得(x-a)+(y-b)>0.
故x-a>0,y-b>0,即x>a,且y>b.
故充分性成立.
故必要性也成立.故选C.
4.若实数x,y满足|tan x|+|tan y|>|tan x+tan y|,且y∈
A.tan x-tan y
B.tan y-tan x
C.tan x+tan y
D.|tan y|-|tan x|
|tan x|+|tan y|>|tan x+tan y|,
知tan x与tan y异号.
∵y∈y>0,tan x<0.
∴|tan x-tan y|=tan y-tan x.
5.已知三个条件:①
ac2>bc2;
A.0
B.1
C.2
D.3
ac2>bc2⇒a>b,而a>b不能推出ac2>bc2,
故ac2>bc2是a>b的充分条件;
a>b,故不符合题意;
③a2>b2不能推出a>b,故不符合题意,
综上所述只有①符合题意.
6.已
A.a x
x
C.log
a
0<a<1.
x<0<a x<1
又x>1,所以log
a
7.设m,n∈N*,且m>n,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,x>1,则a与b的大小关系为( )
A.a≥b
B.a≤b
C.与x值有关,大小不定
D.以上都不正确
m+(lg x)-m-(lg x)n-(lg x)-n
=( (lg x)m-(lg x)n)
=((lg x)m-(lg x)n)
=((lg x)m-(lg x)n
=((lg x)m-(lg x)n
∵x>1,∴lg x>0.。

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