大学.空间解析几何习题
向量与空间解析几何习题及详细解答
解：设动点为 M(x, y, z)
M0M {x 1, y 1, z 1}
因 M0M n ,故 M0M n 0 .
即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得：2x+3y-4z-1=0 即为动点 M 的轨迹方程. 14. 求满足下列各组条件的直线方程： (1) 经过点 (2，－3, 4), 且与平面 3x－y＋2z－4＝0 垂直； (2) 过点 (0，2，4) ，且与两平面 x＋2z＝1和 y－3z＝2 平行；
解：设四顶点依次取为 A, B, C, D.
AB {0,1, 2}, AD {2, 2,1}
则由 A，B，D 三点所确定三角形的面积为
1 1
35
S1 2 | AB AD | 2 | 5i 4 j 2k | 2 .
同理可求其他三个三角形的面积依次为 1 , 2, 3 . 2
故四面体的表面积 S 1
A. xOz 平面上曲线 (z a)2 x2 绕 y 轴旋转所得曲面 B. xOz 平面上直线 z a x 绕 z 轴旋转所得曲面 C. yOz 平面上直线 z a y 绕 y 轴旋转所得曲面
D. yOz 平面上直线 (z a)2 y2 绕 X 轴旋转所得曲面
(5)下列方程所对应的曲面为双曲抛物面的是（ D ）
ijk s n1 n2 1 0 2 {2,3,1}
0 1 3
故过点（0，2，4）的直线方程为
x y2 z4 2 3 1
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x 1 y 2 z 1. 2 1 3
15. 试确定出下列各题中直线与平面间的关系：
k 12i 20 j 8k
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何一、填空题1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。
2、直线2100x y --=方向向量为 。
3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。
4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。
5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。
6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。
7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。
8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。
9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)⋅a b = 。
10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。
二、解答题1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。
2、求过点(4,2,3) 且平行与直线31215x y z --==的直线方程。
3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程。
4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。
6、求22219416x y z ++=在XOY 平面上的投影域。
7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。
8、求曲线222251x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
9、求曲线 22249361x y z x z ⎧++=⎨-=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
空间解析几何练习与答案
空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。
2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。
大学知识第八节 空间解析几何
空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（ ）。
22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。
3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。
【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)， 平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。
故选择B 。
4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面 B 。
旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。
6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。
高等数学-空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。
参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα===3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S。
空间解析几何习题
4．设 AM MB ，证明：对任意一点 O ，有 OM 1 (OA OB) 。 2
5．已知两点 M1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M1M 2 及 2M1M 2 。 6．向量 a 4i 4 j 7k 的终点 B 的坐标为（2，-1，7），求它的始点 A 的坐标，并求 a 的模及其方向余弦。 7．已知三力 F1 (1, 2, 3), F2 (2, 3, 4), F3 (3, 4, 5) 同时作用于一点，求合力 F 的 大小和方向余弦。
5．已知向量 a, b, c 满足条件 a b c O ，证明 a b b c c a 。
3．在 ABC 中，设 M ， N ， P 分别为 BC ， CA AB 的中点，试用 a BC, b CA, c AB 表示向量 AM ， BN ， CP 。
习题 0—3
（2） a b 。 |a| |b|
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
空间解析几何习题答案
一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。
华南理工大学考研真题—空间解析几何
一、判断下列命题的正误，倘若准确在( )号内打“√”，倘若不准确，在( )内打“×”。(10分)
1．若 ( )
2．若 ，则 ( )
3． ( )
4．两个相等矢量一定平行。( )
5．若 ,则 共面。( )
二、已知 为四个共面向量，且 不共线，倘若 ，证实： 。(10分)
三、已知 为单位向量， 垂直 ， 垂直于 ，求 的夹角。(10分)
四、求直线L： 在平面 上的投影直线的方程。(15分)
五、求平行于平面 且与球面 相切的平面方程。(15分)
六、设三平面的方程为： 试求满意下列条件的 值：
(1)三平面交于一点
(2)三平面通过同向来线
(3直交母线的交点轨迹。(20分)
八、求过两球面 相交圆的直圆柱面的方程。(20分)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1),
六安市长安小学
M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
习题课
第八章
空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
六安市长安小学
一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程
空间平面
一般式
点法式
截距式
x y z 1 abc
点: (x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n (A, B, C)
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
六安市长安小学
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1)
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标)
点 M 到坐标轴的距离：
dx y2 z2 dy x2 z2 dz x2 y2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
B(0, y, z)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
六安市长安小学
例6.直线
曲面的方程.
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
提示: 在 L 上任x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
z L
及 x 1.
六安市长安小学
解答:
P50 题21(1)
2y2 x x y z 1 422 z0
(8, 2,0) zx
O
x
y
六安市长安小学
z 2 O 4 (2,1,0) y
z P50 21 (2) 1
1
1O x
1
y
x2 1 z y 0 xOz面 z 0 xOy面 x y 1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
六安市长安小学
空间直线
一般式 对称式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 0 D2 0
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m, n , p ) 为直线的方向向量.
7 1 4
所求为 cos 3 , cos 5 , cos 4
50
50
50
六安市长安小学
例4.
求过直线
L
:
x x
5y z 0 z40
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成
角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n
其法向量为
n1 (1 , 5, 1 ).
已知平面的法向量为
平面
的直线方程。
解：设所求直线 的方向向量 ，已知直线
向量
,已知平面 的法向量为
已知
， ，所以，
，故可取
的方向
六安市长安小学
从而所求直线的方程为 即
六安市长安小学
过点 方向向量
例2 求过点 且通过直线
的平面方程.
解： 已知点
，直线方向向量
直线上的点
，向量
所求平面的法向量
于是可取
所求平面方程为 即
n (1, 4, 8)
选择 使 cos π n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程
x 20 y 7z 12 0.
六安市长安小学
x z 4 0.
例5. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
提示:
思路: 先求交点
M1 , M2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
夹角公式:
cos s1 s2
s1 s2
六安市长安小学
面与线间的关系
平面: Ax By Cz D 0, n (A, B , C)
直线: x x y y z z , s (m, n , p) mn p
垂直： s n 0
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式：
sin s n
rr
M
M0
O
y
1
x
六安市长安小学
思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形:
(1) 抛物柱面 2y2 x, 平面 z 0 及 x y z 1; 422
(2) 抛物柱面 x2 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1; (4) 旋转抛物面 x2 y2 z, 柱面 y2 x, 平面 z 0
六安市长安小学
线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
s2 (m2 , n2 , p2 )
垂直:
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
的距离为
M0
d
n
M1
六安市长安小学
(3) 点
的距离 为
到直线
M 0 (x0 , y0 , z0 )
d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
六安市长安小学
二、实例分析
例1 求过点 ，垂直于直线 且平行于
sn
六安市长安小学
3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束
方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
1 , 2 不全为 0
六安市长安小学
(2)点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
六安市长安小学
例3.
设一平面平行于已知直线
x
2x z 0 yz5
0
且垂直于已知平面
7x y 4z 3 0,求该平面法线的
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量
n1 (7, 1, 4)
取所求平面的法向量
i jk
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
六安市长安小学
2.线面之间的相互关系
面与面的关系
平面
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式:
cos n1 n2
n1 n2