中国矿业大学(徐州)高等数学2003年考研真题／研究生入学考试试题
考研数学真题答案2003
考研数学真题答案2003考研数学真题答案2003年的试卷包含了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。
以下是对2003年考研数学真题的部分答案的概述：高等数学部分：1. 选择题：本部分通常包括对函数、极限、导数、积分等基本概念的考查。
例如，对于一个给定的函数，考生需要判断其在某一点的连续性或可导性，或者计算特定极限的值。
2. 填空题：填空题可能要求考生填写函数的导数、积分或者解决一些基本的数学问题。
3. 解答题：解答题通常包括计算复杂积分、求解微分方程、证明定理等。
例如，考生可能需要使用分部积分法或者换元积分法来计算一个复杂的定积分。
线性代数部分：1. 选择题：考查矩阵的基本运算、向量空间的概念、线性变换等。
2. 填空题：可能要求考生计算矩阵的特征值、特征向量或者判断向量组的线性相关性。
3. 解答题：解答题可能包括求解线性方程组、证明矩阵的某些性质或者进行矩阵的分解。
概率论与数理统计部分：1. 选择题：考查概率的基本概念、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等。
2. 填空题：可能要求考生计算某个随机事件的概率或者求随机变量的期望和方差。
3. 解答题：解答题可能包括证明概率论中的某些定理、计算统计量的分布或者进行假设检验。
注意：以上只是对2003年考研数学真题答案的一个大致概述，具体的题目和答案需要参考当年的真题试卷和标准答案。
由于篇幅限制，这里无法提供完整的题目和详细解答，建议考生查阅当年的真题及答案解析，以便更准确地复习和准备考试。
结尾：考研数学的复习是一个系统而深入的过程，需要考生对各个知识点有透彻的理解，并且通过大量的练习来提高解题能力。
希望考生能够合理安排时间，系统复习，最终在考试中取得优异的成绩。
2003-数二真题标准答案及解析
2003 年考研数学（二）真题一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0 时， (1 ax 2 ) 41 与 xsin x 是等价无穷小，则 a=.（ 2 ） 设 函 数 y=f(x)由 方 程 xy 2ln x y 4所 确 定 ， 则 曲 线 y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程是.（ 3）y 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 __________.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 __________.（5） 设 为 3 维列向量，T 是T的转置. 若T=.11 11 1 1，则11110 1 （ 6） 设三阶方阵 A,B 满足 A 2 BA B E ，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A 02 0 ，则2 0 1B ________.二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设 { a n }, { b n }, { c n } 均为非负数列，且lim a n0 , lim b n1 , lim c n,则必有nnn(A) a n b n 对任意 n 成立 .(B) b n c n 对任意 n 成立 .(C)极限 lim a n c n 不存在 .(D) 极限 lim b n c n 不存在 .[]nn3 n（ 2）设 a nn 1x n 1 1 x n dx , 则极限 lim na n 等于2 0 n33 (A)(1 e)21 . (B)(1e 1 ) 2 1 .33(C)(1e 1) 2 1 .(D)(1 e) 2 1.[]（ 3）已知 yx 是微分方程 y y ( x) 的解，则 ( x) 的表达式为ln x xyyy 2y 2（A ）x 2.(B)x2 .x 2x 2(C)y 2 .(D)y 2 .[]（ 4）设函数 f(x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 两个极小值点和一个极大值点 . (C) 两个极小值点和两个极大值点 .(D) 三个极小值点和一个极大值点 .[ ]yOx（5）设 I 1 4 tan xdx , I 2 4 xxdx , 则tan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1 I 2I 1 .[]（6）设向量组 I ： 1, 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2 , , s 线性表示，则(A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (B)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关 .[]三 、（本题满分 10 分）ln(1 ax 3 ), x0,x arcsin xx 0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax 1 x0,,xx sin4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？四 、（本题满分 9 分）x 1 2t2 ,d 2y.设函数 y=y(x) 由参数方程1 2 ln t eu(t 1) 所确定，求du dx 2x 9 y1u五 、（本题满分 9 分）计算不定积分xe arctan xdx.(1 3x 2 )2六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且 y0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( ysin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2dy (2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0, y (0)3的解 .2七 、（本题满分 12 分）讨论曲线 y4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数 .八 、（本题满分 12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点 ( 2 , 1) ，其上任一点P(x,y) 处的法线与 y 轴的交点为 Q ，且线22段 PQ 被 x 轴平分 .(1) 求曲线 y=f(x) 的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在 [ 0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x) 的弧长 s. 九 、（本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x ( y)( y 0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求， 当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 2/ min 的m速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 ( y) 之间的关系式；(2) 求曲线 x( y) 的方程 .(注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 .) 十 、（本题满分 10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续， 在开区间 (a,b)内可导， 且 f (x) 0.若极限 limf (2xa)存在，证x axa明：(1) 在(a,b)内 f(x)>0;(2)在 (a,b)内存在点b 2 a 22 ，使b；f (x)dxf ( )a，使 f ( )(b2a 2)2 b(3) 在 (a,b) 内存在与 (2)中 相异的点f ( x) dx. a a十一、（本题满分10 分）220若矩阵 A82a相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P使P1AP.006十二、（本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0 ，l 2:bx2cy3a0，l 3:cx2ay3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.2003 年考研数学（二）真题评注一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0时， (1ax 2 ) 4 1 与 xsin x 是等价无穷小，则a=-4.1【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1ax 2 ) 41 ，反过来求 a. 注意在计算过程中xxsin x应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.11【详解】当 x0 时， (1 ax 2 ) 4 1 ~ax 2 ， x sin x ~ x 2 .42 11 ax 2(141于是，根据题设有ax )lim 41，故 a=-4.lim2ax 0 x sin xx 0 x4（ 2 ） 设 函 数 y=f(x) 由 方 程 xy 2 ln xy 4 所 确 定 ，则 曲 线 y=f(x) 在点 (1,1)处的切线方程是x-y=0 .【分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式 xy 2 ln xy 4 两边直接对 x 求导，得y xy2 4y3 y ，x将 x=1,y=1 代入上式，有y (1) 1. 故过点 (1,1)处的切线方程为y 1 1 (x 1) ，即x y 0.【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点 .（ 3） y2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是( l n2) n .n!【分析 】 本题相当于先求y=f(x) 在点 x=0 处的 n 阶导数值 f (n ) ( 0) ，则麦克劳林公式中 x n 项的系数是f (n) (0).n!【详解】 因为y2 x ln 2 ， y2x (ln 2)2 ，, y ( x)2 x (ln 2)n ，于是有y(n ) (0) ( l n2) nxny ( n) (0)(ln 2)n，故麦克劳林公式中项的系数是n!.n!【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为1(e4 a1).4a【分析】利用极坐标下的面积计算公式S 12 ( )d即可 . 2【详解】所求面积为S 122()d122ad 2 0 2 0e=1e2a21(e4 a1) .4a4a.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂111（5）设为3维列向量，T是的转置.若T T=3.1 11，则111【分析】本题的关键是矩阵T1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一的秩为行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由T1111111 1 =11 1 1，知 1 ，于是111111T1111 3.1a1【评注】一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有A a2 b1 b2bn .a n101（6）设三阶方阵A,B 满足A2B A B E ，其中E为三阶单位矩阵，若A020 ，则B2 011.2【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由A2B A B E知，(A2E)B A E，即(A E)(A E)B A E，易知矩阵 A+E 可逆，于是有(A E)B E.再两边取行列式，得A EB 1，0011因为AE0102.,所以B2002【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设{ a n}, { b n}, { c n}均为非负数列，且lim a n0 , lim b n 1, lim c n,则必有n n n(A)a n b n对任意n成立.(B)b n c n对任意n成立.(C)极限 lim a n c n不存在.(D) 极限lim b n c n不存在 .[D]n n【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B) ；而极限lim a n c n是 0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim b n c n属 1型，必为无穷n n大量，即不存在 .【详解】用举反例法，取a n 21，c n11,2,) ，则可立即排除(A),(B),(C) ，因此， b n n(n正确选项为 (D).n2【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.n（ 2）设a n 3 n 1 x n 11x n dx ,则极限lim na n等于20n33(A)(1e) 2 1 .(B)(1e1) 2 1 .33(C)(1e1) 2 1 .(D)(1e) 21.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为3n3a n n 1 x n 11 x n dx=202nnn 11 x n d (1x n ) 013n=(1 x n ) 2n 1 n01{[1 (n3)n] 21} ，n n1n 33可见lim na n=lim {[ 1 ()n] 21}(1 e 1 ) 2 1.n n n1【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（ 3）已知y x是微分方程 y y( x) 的解，则(x) 的表达式为ln x x y y y 2y 2（A ）x2.(B)x 2.22(C)x2 .(D)x2.[ A ] y y【分析】将 y x代入微分方程，再令的中间变量为u，求出(u) 的表达式，进而可计算出 ( x ) .ln x y【详解】将 y x代入微分方程y y( x) ，得ln x x yln x11(ln x)，即(ln x)1.ln 2 x2 ln x ln x令 lnx=u ，有(u)1(x y2.应选 (A). u2 ，故) =x2y【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（ 4）设函数f(x)在(, ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(D)一个极小值点和两个极大值点 .(E)两个极小值点和一个极大值点 .(F)两个极小值点和两个极大值点 .(D)三个极小值点和一个极大值点 .[C ]yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x) 的图象去推导 f ( x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 .（5）设 I 14tan x dx , I 24xdx , 则xtan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1I 2 I 1 .[ B]【分析】 直接计算 I 1,I2 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解 】 因为当 x>0 时，有 tanx>x ，于是tan x1，x1，从而有I 14 t a nx，dxxtan xx4I 2 4x，dx4tan x可见有I 1I 2且 I 2，可排除 (A),(C),(D) ，故应选 (B).4【评注 】 本题没有必要去证明I 11 ，因为用排除法，(A),(C),(D) 均不正确，剩下的 (B)一定为正确选项 .（6）设向量组 I ： 1 , 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2,,s 线性表示，则(A)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D)当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .[ D ]【分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ： 1 ,2 ,, r 可由向量组II ： 1,2 ,, s 线性表示， 则当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命题： 若向量组 I ： 1 , 2 ,, r可由向量组 II ： 1 , 2 ,, s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 .1 0101 ,【详解 】 用排除法：如1 ,1,2 ，则12 ，但2 线性无关，10 11 1 ,排除(A) ；1, 2 ,10 ， 则 2 可 由 1线性表示，但 1线性无关，排除 (B)；0 01 , 11 ,1 线性无关，排除 (C). 故正确选项为 (D).1 0 1,21 ，1 可由2 线性表示，但【评注 】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三、（本题满分10 分）ln(1ax 3 ) ,x0,x arcsin xx0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax1x0,,x sin x4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？【分析】分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即f (00) f (0) f (00).【详解】 f (00)lim f ( x)lim ln(1ax 3 )lim ax 3x 0x0x arcsin x x 0 x arcsin x= lim 3ax 2lim3ax2 12x0x 01x111x23ax 26a.= lim1x 2x02f (00)lim f (x)lim e ax x2ax1x 0x0x sinx4= 4 lim e ax x 22ax1 4 lim ae ax2x a2a 2 4.x 0x x 02x令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a2a 2 4 ，得a 1或a 2 .当 a=-1 时，lim f ( x)6f(0)，即 f(x) 在 x=0 处连续 .x0当 a=-2 时，lim f ( x)12 f (0)，因而 x=0 是 f(x) 的可去间断点 .x0【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四、（本题满分9 分）x12t 2 ,d2y.设函数 y=y(x) 由参数方程 1 2 ln t e u(t1) 所确定，求y dx21udu x9【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值 .【详解 】由dye 12ln t 22et ， dx4t ，dt 12 ln t t1 2ln tdtdydy 2ete得dt1 2 ln t 2(1,dxdx 4t2 ln t )dt所以d 2 y d dy 1e12 1dx 2dt ( dx )dx=2 (1 2 ln t )2 t 4tdte= 4t 2(1 2ln t) 2.当 x=9 时，由 x1 2t2 及 t>1 得 t=2, 故d 2 yee2 .dx 2x 94t 2 (1 2ln t) 2t216(1 2 ln 2)五 、（本题满分 9 分）xe arctan x计算不定积分(1x 2 )3 dx.2【分析 】 被积函数含有根号1 x2 ，典型地应作代换： x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换： arctanx=t ，即 x=tant.【详解 】 设 xtant ，则xe arctan xdx e t tan t2tdt = tsin tdt.(13 =(1 tan 2 3sec ex 2 ) 2t) 2ttdttt又esin e dcos= ( e t cost e t costdt)=e t cost e t sinte t sin tdt ，故t1 t ( s i n c o s) .e s i nt d t 2 ettCxe arctan x1 e arctan x ( x 1因此3 dx =) C(1 x 2 ) 2 2 1 x 21 x 2(x1)e arctan x=C.2 1 x 2【 评注 】本题也可用分布积分法：xe arctan xx de arctan x3dx =(1x 2 ) 21 x 2xe arctan x e arctan xdx=1 x2 (1 3x 2 ) 2= xe arctan x1 de arctan x1 x 21 x 2xe arctan x e arctan xxe arctan xdx ，=1 x 21 x 23(1 x 2 ) 2移项整理得arctan xdx = (xarctan xxe 31)e C.(1 x 2 ) 22 1 x 2本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctan x t 或 tant=x.六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且y 0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( y sin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2 dy3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)的解 .2【分析 】 将dx转化为dy 比较简单， dx 11，关键是应注意：dydx dy =dyydxd 2 x d ( dx ) = d ( 1 ) dxdy 2 dy dy dx y dyy1 y = y2y( y )3.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1) 由反函数的求导公式知dxdy 1y，于是有d 2 x d dx d 1 dx y 1ydy 2dy (dy)=dx(y)dy=y 2y( y )3.代入原微分方程得y y sin x.(*)(2) 方程 ( * )所对应的齐次方程y y0 的通解为Y C1e x C2 e x .设方程 ( * ) 的特解为y* A cos x B sin x ，代入方程 ( * )，求得A0, B1，故 y*1sin x ，从而y y sin x 的通解是212y Y y*C1 e x C2e x sin x.32由y(0) 0, y (0)，得 C11,C21.故所求初值问题的解为21s i nx.y e x e x2【评注】本题的核心是第一步方程变换 .七、（本题满分 12 分）讨论曲线 y 4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数.【分析】问题等价于讨论方程ln 4 x 4 ln x 4x k 0 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数） .【详解】设(x)ln 4x 4 ln x4x k ，y则有( x)4(ln 3x1x) .4-kx不难看出， x=1 是(x) 的驻点.O1x当 0x1时，(x)0 ，即( x) 单调减少；当x>1时， ( x)0 ，即(x) 单调增加，故 (1) 4 k 为函数(x) 的最小值.当 k<4，即 4-k>0 时，( x) 0无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即 4-k=0 时，( x) 0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即 4-k<0 时，由于lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k ] x 0x 0lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k] x x ；，故( x) 0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,) 内，即两条曲线有两个交点.【评注】讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标 .八、（本题满分12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点(2 , 1)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线2 2段 PQ 被 x 轴平分 .(3)求曲线 y=f(x) 的方程；(4)已知曲线 y=sinx 在[ 0,] 上的弧长为l ，试用 l 表示曲线y=f(x) 的弧长 s.【分析】 (1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x) 的方程 .(2)将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式bx 2y 2 dt 进行计算即可.sa【详解】 (1)曲线 y=f(x) 在点 P(x,y) 处的法线方程为Y y 1( X x) ，y其中 (X,Y) 为法线上任意一点的坐标. 令 X=0，则Y y x，y故 Q 点的坐标为(0, y x).由题设知y1( y y x )0 ，即 2 ydy xdx0.2y积分得x 2 2 y2 C (C为任意常数).由 y2x21知 C=1，故曲线y=f(x) 的方程为2x22y 2 1.(2) 曲线 y=sinx 在 [0，]上的弧长为l1cos2 xdx 2 2 1 cos2 xdx.00曲线 y=f(x)的参数方程为x c o ts,y0t.2 s i nt,2 2故 s2 sin2 t 1cos2 t dt12 1 sin 2 t dt ，0220令 t u ，则21 s2l =2 2012 1 cos2 udu1 cos2 u ( du)2202l.4【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x) 的弧长，所以积分限应从0 到，而不是从0 到2 .2九、（本题满分10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x( y)( y0) 绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，m液面的面积将以m2/ min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体） .(3)根据 t 时刻液面的面积，写出t 与( y) 之间的关系式；(4)求曲线 x( y) 的方程.(注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分 .)【分析】液面的面积将以m 2 / min 的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：22t ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与( y) 之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可 .【详解】 (1)设在 t 时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为2 ( y)4t ,从而t2 ( y) 4.(2)液面的高度为 y 时，液体的体积为y2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0上式两边对y 求导，得2 ( y) 6 ( y) ( y) ，即( y) 6( y).解此微分方程，得y( y)Ce 6，其中C为任意常数，由 (0) 2 知C=2,故所求曲线方程为yx 2e6 .【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十、（本题满分10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b)内可导，且f (x)0. 若极限lim f (2x a)存在，证x a x a 明：(2)在 (a,b)内 f(x)>0;(3)在 (a,b)内存在点，使b2 a 22；bf ( x)dx f ()a(3)在 (a,b) 内存在与 (2) 中相异的点，使f ()(b 2 a 2 )2bf (x)dx.a a【分析】 (1)由limf (2x a)f(x)>0.(2) 要证的结论显含x a存在知， f(a)=0, 利用单调性即可证明x af(a),f(b) ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3)注意利用 (2)的结论证明即可 .【详解】 (1)因为 lim f (2x a)存在，故 lim f (2 x a) f (a) 0.又 f ( x)0 ，于是f(x)在(a,b)x a x a x a 内单调增加，故f (x) f (a)0, x(a,b).设 F(x)= x2, g(x)xx b) ,则 g ( x) f ( x) 0 ，故 F (x), g( x) 满足柯西中值定理(2) f (t )dt (aa的条件，于是在 (a,b)内存在点，使F (b) F (a)b2 a 2(x 2 )，g (b)g(a)b a xf (t )dt f (t) dt)xf (t )dt(a a a即b 2 a 22.bf ( )f ( x)dx a(3) 因 f ( ) f ( ) f (0) f ( ) f (a) ，在 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理， 知在 (a, ) 内存在一点，使 f ( )f ( )(a) ，从而由 (2) 的结论得b 2 a 22，bf ()( a)f ( x) dxa即有f ( )(b2a 2 )2bf (x)dx.a a【评注 】 证明 (3)，关键是用（ 2）的结论：222bb 2 a22f ( )(ba )af (x) dxb f ( x)dxf( )( a)aaf ( ) f ( )( a)（ 根据 (2) 结论 ）f ( )f (a)f ( )( a) ，可见对 f(x) 在区间 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理即可 .十 一、（本题满分 10 分）2 2 0若矩阵 A8 2 a 相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P 1AP.0 0 6【分析 】 已知 A 相似于对角矩阵，应先求出 A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量 的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求 P ，则是常识问题 .【详解 】 矩阵 A 的特征多项式为2 2 0EA82 a (6)[(2) 216]6= (6)2( 2) ，故 A 的特征值为126, 32.由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应1 26 应有两个线性无关的特征向量，即3 r (6E A) 2 ，于是有 r (6E A) 1.42 0 2 1 0 由6EA8 4 a 0 0 a ，0 0知 a=0.于是对应于1 26 的两个线性无关的特征向量可取为110 ，22 .1当 32 时，42 0 2 1 0 2EA8 4 0 0 0 1 ，80 0 02x 1x 2 0,1 解方程组2 的特征向量2 .x 30,得对应于330 11令P0 2 21 0，则 P 可逆，并有 P 1AP.十二 、（本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0 ， l 2 : bx 2cy 3a 0 ， l 3 : cx2ay 3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2.【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线 l 1, l 2 ,l 3 交于一点，则线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a,(*)cx 2ay3b,a 2b a 2b 3c有唯一解，故系数矩阵Ab 2c 与增广矩阵 Ab 2c 3a 的秩均为 2，于是 A 0.c 2ac2a3ba 2b 3c由于Ab 2c 3a 6(ab c)[ a 2 b 2c 2abac bc]c2a3b=3(a b c)[( a b) 2 (b c)2(ca) 2 ] ,但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：由 a b c 0 ，则从必要性的证明可知，A 0，故秩 (A)3.由于a 2b 2(ac 2 ) 2[ ( )b2 ]b 2cba ab=2[( a 1 b) 2 3 b 2 ]0 ，故秩 (A)=2.2 4 于是，秩(A)= 秩 ( A) =2.因此方程组 (*) 有唯一解，即三直线l 1 , l 2 , l 3 交于一点 .方法二 ：必要性x 0设三直线交于一点 ( x 0 , y 0 ) ，则 y 0 为 Ax=0 的非零解，其中1a 2b 3c Ab 2c 3a .c 2a3b于是 A0 .a 2b 3c而Ab 2c 3a 6(a b c)[ a 2 b 2c 2 ab ac bc ]c 2a3b=3( a b)[( a ) 2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 ] ,cb 但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：考虑线性方程组ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,将方程组 (*) 的三个方程相加，并由a+b+c=0 可知，方程组 (*) 等价于方程组ax2by3c,(* *)bx2cy3a.a2b2(2)2[()2]因为b2c ac b a a b b=-[ a2 b 2(a b) 2 ] 0 ,故方程组 (* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1 ,l 2 , l3交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
【数学二】2003年全国考研研究生入学考试真题
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） x y 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是 .（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . （5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则 ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ] （2）设dx x x a n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xx y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 （A ） .22xy - (B) .22x y (C) .22yx - (D) .22y x [ ] （4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）设⎰=401tan πdx x x I ,dx x x I ⎰=402tan π, 则 (A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ]（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin 1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x x x ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u 所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f a x --+→)2(lim 存在，证明： (1) 在(a,b)内f(x)>0;(2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'b a dx x f aa b f .)(2))((22ξξη 十 一、（本题满分10分） 若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a。
2003考研数一真题及解析
2003考研数一真题及解析2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( )(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.x(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( )(A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：(1) dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x ee→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x →-=(等价无穷小替换ln(1)x x +)220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-； 曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =-由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数20()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(．【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)XN μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN nμ，将其标准~(0,1)X N 得：)1,0(~1N n X μ-由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=， 即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(．方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题 (1)【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确． 方法2：排除法y取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确； 取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xy x y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).Z F n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =， 分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()baV f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+=切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．x切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为：122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 2102)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续． 【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n n n n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 220111()22(1)4,(,).1422n n nn f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰ 221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n nn ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxy xDDeedxdye e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLLxe dy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e DDx y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 00()2y x x x L xe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332kW W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==，从而 222231231(1)(1)22kk x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a k W kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d xdy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dxdy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dxdy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21x x e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--=解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]tttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0ba f x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为 22200()2()2()t t tt f x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰， 所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tttg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（，从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量．【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数．方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ． 因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b ca b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++- 16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点． 方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333k kC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品.则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立． 【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>>1[1()]nF x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003年考研数学试题详解及评分参考
相互独立，于是 Z 2 ~ c 2 (1) ，从而
c2 n 1 = : F (n,1) . 故选 (C) . X 2 Z2 1
三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线， 该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 解 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是
2
有 a2 =
p p 2 p 2 1 x cos 2 xdx = [ x 2 sin 2 x - ò 2 x sin 2 xdx] ò 0 0 p 0 p
p 1 p [ x cos 2p 0 - ò cos 2 xdx] = 1 . 0 p æ1 ö æ1 ö æ1ö æ1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç (4) 从 R 2 的基 a 1 = ç , a = 到基 b = , b = 2 1 2 ç 0÷ ç - 1÷ ç1÷ ç 2÷ ÷ 的过渡矩阵为 è ø è ø è ø è ø æ2 3 ö 【答】 应填 ç ç - 1 - 2÷ ÷. è ø
s s za , X + za ) ，由于 za = z0.025 ， 1 - 0.025 = 0.975 = F (1.96 ) ，数据代入， n 2 n 2 2 1 1 得置信区间为 (40 ´1.96, 40 + ´ 1.96) = ( 39.51, 40.49 ) 16 16
(X 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设函数 f ( x) 在 (-¥,+¥) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f ( x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 【答】 应选 (C). 【解】 在 y 轴左侧，因 f ¢( x) 由正变负再变正，故 f ( x ) 由增变减再变增，从而有一个极 大值点和一个极小值点；而在 y 轴右侧，因 f ¢( x) 由负变正，故 f ( x) 由减变增，从而有 一个极小值点；又在点 x = 0 左右领域， f ¢( x) 由正变负， f ( x) 由增变减，且 f ( x) 在点
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案 .doc
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132 .【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey =平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。
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2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132 .【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21Λ]=[nααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21Λ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey =平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。
数4--03真题初步答案
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题答案一、填空题：7-12小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1） 2e【分析】 本题属∞1型未定式，化为指数函数求极限即可.【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→【评注】 对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可直接用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算，因此本题也可这样求解：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=.2)1ln(2lim 0e ex xx =+⋅→完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第（1）小题.（2）)21(21--e【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有.011=⎰--dx xex【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11=⎰⎰---=11022xxxdedx xe=][2110dx e xex x⎰----=)21(21--e .【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第（2）小题.（3）2a【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .（4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【分析】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A . 【详解】 由2AB A B =+, 知222AB B A E E -=-+ 即有 E E A B E A 2)(2)(=---， E E B E A 2)2)((=--， E E B E A =-⋅-)2(21)(， 可见 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A E -，写成逆矩阵的定义形式，从而确定()A E -的逆矩阵. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.（5） -1【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1. 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .（6） 6【分析】 本题涉及的公式有 22()()[()]D X E X E X =-，XY ρ=()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++【详解】方法1：22()()[()]D X E X E X =-，同理()2D Y =cov(,)X Y ρ=22()()[()]()E X Y D X Y E X Y D X Y +=+++=+()()2cov(,)D X D Y X Y =++=6方法2：因为 2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=⨯⨯+=⋅⋅DY DX XY ρ【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X Cov XY E ⋅+=),()(，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.二、选择题：1～6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7） [ D ]【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【详解】当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，22121001lim()limlim 0u x x u u e u xe x u x uu -→∞→→--==等， 所以有斜渐近线y x =.另外，在 0x = 处21x xe y =无定义，且∞=→21lim x x xe ，可见 0x =为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例6.30-31】.（8） [ A ]【分析】被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可.【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅--=--++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ-=⋅---=----→→x x x x f x f x x ， 可见，()f x 在1x =处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ 故应选(A).【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数)()(0x x x x g ϕ-=在点0x x =处可导的充要条件是.0)(0=x ϕ完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例2.6】和《考研数学大串讲》P.19的公式.（9） [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（10） [ C ]【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和.【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似，矩阵A E -与矩阵B E -相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--，可见有 秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C).【评注】 若B A ~，则)(~)(B f A f ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360相似矩阵及其性质.（11） [ B ]【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.【详解】 φ≠AB 推不出{}{}{}P AB P A P B =, 因此推不出,A B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则{}0P AB =，但{}{}P A P B 是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).【评注】 当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有φ≠AB . 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的.完全类似例题见《数学复习指南》P.415第二大题第（7）小题.（12） [ C ]【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.【详解】 只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A); 若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).【评注】 ① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布. ② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布. ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关.完全类似结论见《数学复习指南》P.458的[注]. 三 、（本题满分8分）【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可.【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于()f x 在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使()f x 在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换1y x =-，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三P.24第三题.四 、（本题满分8分）【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .v f y u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x + 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.完全类似例题《数学复习指南》P.171【例7.20,7.22】. 五 、（本题满分8分）【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则sin t t A e tde π--=-⎰=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、（本题满分9分）【分析】 先由()f t 的导数为零确定驻点()t a ，它是关于a 的函数，再把此函数对a 求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可.【详解】 由0ln )(=-='a a a t f t，得唯一驻点 .ln ln ln 1)(aaa t -= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值. 令0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=--=--='a a a a aa a a t ， 得唯一驻点.ee a =当ee a >时，0)(>'a t ；当ee a <时，0)(<'a t ，因此ee t e11)(-=为极小值，从而是最小值.【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的.类似例题见《数学复习指南》P.144【例6.11-12】. 七、（本题满分9分）【分析】 梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x . 两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =-'++ 当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f -=-' 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y ]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx x x x +-⎰ O C B x =.12Cx x ++当0x =时，01f =（）. 由于1x =时，0f =（1） ,故有20C +=，从而2C =-. 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290第七题. 八、（本题满分8分）【分析】 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到; 由于()y t )随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T0)(1表示. 【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈ 由kt A -=0，得 TAk =， 因此 ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=⎰-T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A【评注】 函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-badx x f a b .)(1本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑.九、（本题满分13分）【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（1321,,βααα）为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵（321321,,,,βββααα）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββαααM =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a M M M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a M M M .(1) 当1-≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββαααM ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201M M M .由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βαααM ，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.【评注1】 涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠r （),,,1321βααα=3, 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 即向量组（I ）与（II ）不等价.【评注2】 向量组（I ）与（II ）等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.本题完全类似分析思路的例题见《数学复习指南》P.347【例4.13】和《数学最后冲刺》P.94【例14】.十、（本题满分13分）【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A ，又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A .两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*，αλαA A =，即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1( 由式(1),(2)解得1=b 或2-=b ;由式(1),(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ； 当2-=b 时，.4=λ【评注】 本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂. 一般来说，见到*A ,首先应想到利用公式E A AA =*进行化简.本题类似的例题见《数学复习指南》P.365【例5.7】和《数学最后冲刺》P.90【例3】.十一、（本题满分13分）【分析】 先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F x = ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
2003考研数三真题与解析
2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .1 若x 0,(1) 设 f ( x)x cos ,其导函数在 x0 处连续，则.0, x若x 0,的取值范围是(2) 已知曲线 yx 3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2.(3) 设 a0 ， f (x)g( x)a,若 0 x 1,0,其他， 而 D 表示全平面，则If ( x) g( y x)dxdy =.D(4) 设 n 维向量( a,0, ,0, a) T ,a0 ； E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 AET ，B E1T，其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a .a(5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若Z X0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为.(6) 设总体 X 服从参数为2 的指数分布， X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时， Y n1 n X i2 依概率收敛于 .n i 1二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .(1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且f (0) 存在，则函数 g( x)f ( x) ()x(A) 在 x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点 x 0 .(C) 在 x 0 处右极限不存在 .(D) 有可去间断点 x0 .(2) 设可微函数 f ( x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( )(A) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数等于零 . (B) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数大于零 .(C)f ( x 0 , y) 在 y y 0 处的导数小于零 .(D)f (x 0 , y) 在 yy 0 处的导数不存在 .(3) 设 p na na n ， q na na n， n 1,2,，则下列命题正确的是()(A) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1(B) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1a b (C) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1(D) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1a b b(4) 设三阶矩阵 Ab ab ，若 A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ()b b a(A)a b 或 a 2b0 . (B) a b 或 a 2b 0 . (C) a b 且 a 2b0 .(D)a b 且 a 2b 0 .(5) 设1 ,2 , , s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )(A) 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k2 2k s s 0 ，则1 ,2 , , s 线性无关 .(B) 若1, 2,,s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有k1 1k2 2k s s 0.(C) 1 ,2 ,,s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1 ,2 ,, s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A 1 ={ 掷第一次出现正面} ， A 2 ={ 掷第二次出现正面 } ， A 3 ={ 正、反面各出现一次 } ， A 4 ={ 正面出现两次 } ，则事件 ( )(A)A 1, A 2 , A 3 相互独立 . (B) A 2 , A 3 , A 4 相互独立 .(C)A 1 , A 2 , A 3 两两独立 .(D) A 2 , A 3 , A 4 两两独立 .三 、(本题满分 8 分)设 f ( x)1 1 1 , x [ 1 ,1) ，试补充定义 f (1)使得 f ( x) 在 [ 1,1] 上连xsin x(1 x) 22 续.四 、 (本题满分 8 分 )设 f (u, v) 具有二阶连续偏导数， 且满足2 f2 f1，又g( x, y) f [ xy,1(x 2 y 2 )] ,u 2v 222g2g求x 2y 2 .五 、 (本题满分 8 分 )计算二重积分Ie ( x 2 y 2 ) sin( x 2y 2 )dxdy.D其中积分区域 D{( x, y) x 2y 2}.六、 (本题满分 9 分 )求幂级数 1( 1) n x 2n ( x 1) 的和函数 f (x) 及其极值 .n 12n七、 (本题满分 9 分 )设 F ( x) f (x) g( x) , 其中函数 f (x), g (x) 在 ( ,) 内满足以下条件：f ( x) g( x) ，g ( x) f ( x) ，且 f (0)0 , f ( x)g (x)2e x .(1) 求 F ( x) 所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F ( x) 的表达式 . 八、 (本题满分 8 分 )设函数f ( x) 在 [0， 3]上连续，在 (0， 3)内可导，且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3)1 .试证：必存在(0,3) ，使 f ( ) 0.九、 (本题满分 13 分 )已知齐次线性方程组(a1 a1 x1 a1 x1a1 x1b)x1( a2a2 x2a2 x2a2 x2a3 x3a n x n0,b) x2a3 x3a n x n0,(a3b) x3a n x n0,a3 x3(a n b) x n0,n其中a i 0. 试讨论a1, a2,,a n和b满足何种关系时，i 1(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 (本题满分13 分 )设二次型f (x1,x2,x3)XT222222(b0) ，AX ax1x2x3bx1x3中二次型的矩阵 A 的特征值之和为1，特征值之积为 -12.(1)求 a, b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、 (本题满分13分)设随机变量 X 的概率密度为1, 若x [1,8],f ( x)3x23其他 ;0,F(X ) 是 X 的分布函数.求随机变量 Y F (X ) 的分布函数.十二、 (本题满分13 分 )设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为X ~120.3，0.7而 Y 的概率密度为 f ( y) ，求随机变量 U X Y 的概率密度 g(u) .2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1) 【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量， x 是函数f(x) 的自变量f ( x) f (0)x cos1lim x 1 cos1f(0)lim lim x0 ，x 0x0x0x x 0x要使该式成立，必须lim x10 ，即 1 .x 0当 x(,0)(0,) 时，f( x)x1 cos1x 2 sin1x x要使 f ( x)0 在x0 处连续，由函数连续的定义应有lim f( x)lim x1 cos 1x 2 sin1f (x) 0x0x 0x x由该式得出 2 .所以f( x) 在x0处右连续的充要条件是 2 ．(2)【答案】 4a 6【详解】设曲线与x 轴相切的切点为( x0,0) ，则yx x00 .而 y 3x23a 2，有 3x023a2又在此点 y 坐标为0(切点在x轴上)，于是有x033a2 x0 b 0，故b x033a2 x0x0 ( x023a2 ) ，所以22(322)224446.b x0x0aa a a(3)【答案】 a2【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．If ( x) g( y=2dxdy= a21x 1212 dx dy a[( x 1) x]dx ax)dxdy a0x0 D0x 10y x 1(4) 【答案】 -1【详解】这里T为 n 阶矩阵，而T2a 2 为数，直接通过 AB E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有AB (ET)(E 1T)=ET1 T1 TTaaaET1 T1 (T )T =ET1 T2aTaaaE( 1 2a 1 )TE ，1a1, a于是有1 2a0 ，即 2a 2a 1 0 ，解得 a1. 已知 a0 ，故 a1 ．a2(5) 【答案】 0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质D ( X a) DX ， Cov( X ,Ya) Cov( X ,Y ) ，又因为 Z 仅是 X 减去一个常数，故方差不会变， Z 与 Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．Cov(Y, Z ) Cov (Y, X 0.4)E[(Y (X 0.4)] E(Y ) E( X0.4)E(XY) 0.4E(Y) E(Y) E( X )0.4E(Y)E(XY)E(Y )E( X ) Cov ( X ,Y ) ，且 D ZD X . 又 Cov (Y, Z ) Cov ( X , Y) ，所以Cov(Y, Z )Cov(X ,Y) XY0.9.D YD ZD XD Y(6) 【答案】1．2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X 1 , X 2 , , X n ，当方差一致有界时， 其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：1np1n).X iEX i (nn i 1n i 1【详解】本题中X 12, X 22 , , X n 2 满足大数定律的条件，且EX i 2 DX i(EX i ) 2 = 1(1)21 ，422因此根据大数定律有1 n 2依概率收敛于1 n2 1Y nX i EX i.n i 1n i 12二、选择题(1) 【答案】 (D)【详解】 方法 1：直接法：由f (x) 为奇函数知， f (0) 0 ；又由 g( x)f ( x) ，知g (x) 在xx 0 处没定义，显然 x 0 为 g( x) 的间断点，为了讨论函数g( x) 的连续性，求函数g(x) 在 x0 的极限．lim g ( x) lim f ( x) lim f (x) f (0) 导数的定义f (0)存在，x 0 x 0x x 0x故 x 0 为可去间断点．方法 2：间接法：取f ( x)x ，此时 g( x) =x1, x 0,可排除 (A) (B) (C)三项．x 0, x0,(2) 【答案】 ( A)【详解】 由函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微， 知函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都等于零． 从而有df ( x 0 , y) fdyy y 0y( x, y ) ( x 0 , y 0 )选项 ( A) 正确．(3) 【答案】 ( B)【详解】由 p na n an， qna n an，知 0 pa ， 0q a n2nnn2若a n 绝对收敛，则 a n 收敛 . 再由比较判别法，p n 与q n 都收敛，后者n 1n 1n 1n 1与 q n 仅差一个系数，故q n 也收敛，选 (B) ．n 1n 1(4) 【答案】 (C)【分析】A 的伴随矩阵的秩为 1， 说明 A 的秩为 2，由此可确定a, b 应满足的条件．【详解】 方法 1：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系n r Anr A *1 r A n 1 0 r An 1知秩 ( A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有a b b 1 b b1 b b A b a b(a 2b) 1 a b(a 2b) 0 a b0 b b a1 b aa b( a 2b)( a b)2 0有 a 2b0 或 a b ．当 a b 时，b b bAb b b b b b2 1 1 b b b3 1 10 0 00 0 0显然秩 A1 2 ， 故必有 a b 且 a 2b0 ． 应选 (C)．n r An 方法 2：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系， rA *1 r A n 1 ，0 r An 1知 r A *1 ， r A2 . 对 A 作初等行变换a b b 2 1 13 1 1Ab a bb b aa b b b a a b 0 b aa b当 a b 时，从矩阵中可以看到A 的秩为 1，与秩 A2 ，不合题意 (排除 (A) 、 (B))故 ab ，这时ab bAb a a b 02 b a 3b aa bba 2b bb11 01b a0a b12 00110113故 a 2b0 ，且 ab 时，秩 ( A )=2 ，故应选．(5) 【答案】 (B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】 (A): 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k 22k s s 0 ，则1 ,2 ,,s 必线性无关 .因 为 若1, 2,, s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1, k 2 , , k s ， 使 得k 11k 22ks s0 ，矛盾． 可见 (A) 成立．(B):若 1, 2, , s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 ( 而 不 是 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 ) 数k 1 , k 2 , ,k s ，都有 k 11k2 2k ss0. (B) 不成立．(C)1 ,2 ,, s 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组1 ,2 ,, s 的秩为 s ，则1 ,2 ,, s 线性无关，因此 (C)成立．(D)1 ,2 ,, s 线性无关，则其任一部分组线性无关， 则其中任意两个向量线性无关，可见 (D) 也成立．综上所述，应选 (B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的 ． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1 1k2 2k ss0成立，则 1,2 ,, s 线性相关．其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有 k 11k 22ks s0 ，则 1 , 2 , , s 线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6) 【答案】 C【分析】 (1) A, B 两事件相互独立的充要条件：P AB P A P B(2) A, B,C 三事件相互独立的充要条件：(i) A, B, C 两两相互独立；(ii) P ABCP AP BP C【详解】 方法 1：因为1 ，P A 21 A 31 1 P A 1， P ，P A 4，且2224P A 1A 21 ，P A 1 A 31 11 ，P A 1 A2 A 30 ，4，P A 2 A 3，P A 2 A 4444可见有P A 1A 2 P A 1 P A 2 ，P A 1A 3 P A 1 P A 3 ，P A 2A 3PA 2PA 3，PA1A2A3PA1PA2PA3，PA2A4PA2PA4．故 A1 , A2 , A3两两独立但不相互独立； A2 , A3 , A4不两两独立更不相互独立，应选(C) ．方法 2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见 (A) 不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确 . 因此只要检查 (C) 和 (D)P A2 A3A4P0 PA2P A3111 P A4442故(D) 错，应选 (C)．三【详解】为使函数 f ( x) 在1,1]上连续，只需求出函数 f (x) 在 x1的左极限 lim f( ) ，[x1x2然后定义 f (1) 为此极限值即可．lim f ( x)lim[11x 1]x 1x1x sin(1x)1lim[11]1lim(1 x) sin xsin x(1(1x)sin xx1x)x 1令 u 1 x ，则当 x 1 时， u0，所以lim f ( x)1lim u sin(1u)u sin(1u)x 1u01lim u sin(1u)1lim u sin(1u)u (sin cos u cos sin u)u sin u u 0u01lim u sin(1u)1limcos(1u)等2u2洛22u u0u01lim 2 sin(1u)10=1洛22=u0定义 f (1)1，从而有 lim f ( x)1f (1)， f(x) 在 x1处连续．又 f ( x) 在[1,1) x12上连续，所以 f ( x) 在 [ 1,1] 上连续．2四【详解】由复合函数z f [( x, y), ( x, y)] 的求导法则，得g f( xy)f 1( x2y2 )f f 2y xx u x v x u vg f( xy)f 1 ( x2y2 )f f 2xy u y v x u y .v从而2 g y 2 f y 2 f x f x 2 f y 2 f xx2u2u v v u v v2y2 2 f2xy 2 f x2 2 f fu2u v v2v2 g x 2 f x 2 f y f y 2 f x 2 f yy2u2u v v u v v2x2 2 f2xy 2 f y2 2 f fu2u v v2v2 g 2 g2y22f( x2y2)2 f( x2y2)(2 f 2 f)=x2y2.所以x 2y2( x)2v2u2v2u五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设x r cos, y r sin，有I e ( x2y2) sin( x2y2 )dxdy e e ( x2 y2 ) sin( x2y2 ) dxdyD De2e r 2sin r2rdr e2e r2d2d sin0000记 A e t sin tdt ，则A e t sin tdt e t d cost e t cost000e1 e t d sin te1 e t sin t00因此A 1(1 e) ， I e(1 e )2(1 e ).22t r 2r 2 dr 2 e e t sin tdt.e t costdte t sin tdt = e 1 A.六【分析】 (1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2)等比级数求和公式x n 1 x x2x n1( 1 x 1)n 01x【详解】先对和函数 f (x)1( 1)n x2n求导n 12nf ( x)( 1)n x2 n 1x( 1)n x2 n 2x( 1)n x2nn 1n 1n0x( x2 ) n x1xn 01x2 1 x2对上式两边从0 到x积分x(t )dt x t dt f ( x) f (0)1ln(1 x2 )f0 1t 202由 f (0) 1，得f ( x) 11ln(1 x2 )( x 1).2为了求极值，对 f ( x) 求一阶导数，12x xf ( x)1 x2 1 x22令 f (x)0 ，求得唯一驻点 x0．由于1x2，f(0)10f ( x)x2 )(12由极值的第二充分条件，得 f ( x) 在 x0 处取得极大值，且极大值为 f (0) 1．七【分析】题目要求 F ( x) 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对 F ( x)求导，并将其余部分转化为用 F ( x) 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】 (1) 方法1：由F ( x) f (x)g (x) ，有F (x) f (x) g( x) f ( x) g (x) =g2( x) f 2 ( x)[ f ( x) g(x)]2 2 f ( x) g( x) = (2e x) 22F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0) 0 ．方法 2：由F (x) f ( x) g (x)，有F ( x) f ( x)g( x) f (x)g ( x) =[ f ( x)]2[g ( x)] 2[ f ( x)g ( x)] 2 2 f ( x)g ( x)又由f ()() 2x. 有f ( x)xf (x)g( x)g (x) f (x)g ( x)2e ，，，于是x g x eF ( x)4e2 x 2 f (x) g( x)4e2 x2F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0)0(2)题 (1) 得到F ( x)所满足的一阶微分方程，求 F (x) 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程dyP( x) y Q( x) 的通解为dxy e P ( x ) dxQ( x)eP ( x) dxCdx2dx2x2dx 2 x4 x 2 x 2 x所以()e [ 4e dx C]= e [ 4e dx C ]=e Ce .F x e将 F(0)0 代入上式，得 01C, C 1 .所以 F ( x)e2 x e 2 x.八【分析】题目要证存在(0,3) ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知 f (3) 1 ，只需要再证明存在一点 c[0,3) ，使得 f (c) 1 f (3) ，然后在 [ c,3] 上应用罗尔定理即可．条件 f (0) f (1) f (2) 3 等价于f (0)f (1) f ( 2)1．问题转化为1介于 f (x) 的最3值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法 1：因为f ( x)在[0，3]上连续，所以 f ( x) 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值 M 和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是m f (0)M ， m f (1)M ， m f (2) M ．三式相加3m f (0) f (1) f (2) 3M .从而f ( 0 ) f( 1 )f( 2 )m31 M .由介值定理知，至少存在一点c[0,2] ，使f (c)f (0) f (1) f (2)1.3因为 f ( c) f (3) 1 ，且f (x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理知，必存在(c,3) (0,3) ，使 f ( )0.方法2：由于f (0) f (1) f (2) 3，如果 f (0), f (1), f (2) 中至少有一个等于1，例如f (2) 1 ，则在区间[ 2, 3]上对 f ( x) 使用罗尔定理知，存在(0, 2)(0, 3)使f ( ) 0. 如果 f (0), f (1), f (2) 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间 (0, 2) 内至少存在一点使f () 1．在区间 [ ,3] 对 f ( x) 用罗尔定理知，存在( ,3) (0,3) ，使 f ( )0. 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的 (-1) 倍加到其余各行，即可计算出行列式的值．【详解】方程组的系数行列式a1 b a2a3a na1a2 b a3a nA a1a2a3 b a na1a2a3a n bnb a i a2a3a ni 1nb a i a2b a3a ni 1nb a i a2a3b a ni1nb a i a2a3a n bi11a2a3a n1a2b a3a nn(b a i ) 1a2a3 b a ni11a2a3a n b1a2a3a nn 0b00n0 = b n 1 (b(b a i ) 0 0b a i ).i1i1000bn(1)当 A0 ，即b0且 b a i0 时，秩A n ，方程组仅有零解．i1(2)当 b0时，A0，原方程组的同解方程组为a1 x1a2 x2a n x n0.n0 可知，a i(i由a i1,2,, n) 不全为零．不妨设 a10 ，得原方程组的一个基础解系i1a2,1,0,,0)T，(a3,0,1,,0)T，, na n,0,0,,1)T.1(2a1(a1a1n时， A0.这时 b0 ，原方程组的系数矩阵可化为(3)当 b a ii 1na1a i a2a3a ni1na1a2a i a3a ni1A na1a2a3a i a ni 1na1a2a3a n a ii 1a1na i a2a3a ni 1n na i a i00将第 1行的(1)倍i1i 1n n加到其余各行a i0a i0i1i 1n na i00a ii1i1n从第 2行到第 n行a1i 1a i a2a3a n同乘以1倍1100n1010a ii110010000将第 i行的 ( a )倍1100i加到第 1行，.i 2,3,, n10001001由此得原方程组的同解方程组为x2x1， x3x1，, x n x1．原方程组的一个基础解系为(1,1, ,1)T .十【分析】特征值之和等于 A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于 A 的行列式，由此可求出 a, b 的值；进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要 )，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．a0b【详解】 (1)二次型f的矩阵为A020. 设 A 的特征值为i (i 1,2,3) ，由题设得b02123a11a22a33 a 2 ( 2) 1，a0b123| A |0204a 2b212.b02解得 a 1,b2．(2)求矩阵 A 的特征值，令102E A020(2)2(3) 0，202得矩阵 A 的特征值122, 3 3.对于基础解系10 2 122, 解齐次线性方程组 (2EA) x 0 ，系数矩阵为 00 ，得 2 041 (2,0,1)T ，2(0,1,0)T .4 02对于 33 ，解齐次线性方程组 ( 3E A)x 0 ，系数矩阵为 0 5 0 ，得2 01基础解系3(1,0, 2)T .由于 1,2 ,3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将1, 2, 3 单位化，由此得1( 2 ,0, 1 )T ， 2 (0,1,0)T ， 3 ( 1 ,0,2 )T .5 55 5令矩阵2155Q1230 1 0 ，1 0255则 Q 为正交矩阵．在正交变换 XQY 下，有2 0 0 Q T AQ0 2 0 ，0 03且二次型的标准形为f2 y 12 2 y 223y 32 .【评注】本题求 a, b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为abE A0 2 0(2)[ 2(a 2) (2ab 2 )].b2设 A 的特征值为1 , 2,3，则12,2 31232 (a 2) 1， 1 2 3a 2,2 3(2a b 2 ). 由题设得 2(2a b 2 )12.解得 a 1,b2 ．第一步求参数见 《数学复习指南》 P361 重要公式与结论 4，完全类似例题见 《文登数学全真模拟试卷》数学三 P47 第九题．十一【分析】先求出分布函数 F ( x) 的具体形式，从而可确定 YF(X) ，然后按定义求 Y的分布函数即可．注意应先确定 Y F (x) 的值域范围 (0F(X)1) ，再对 y 分段讨论．【详解】易见，当 x1时， F (x) 0; 当 x 8时， F ( x) 1．对于 x [1,8] ，有x1 3 x 1.F ( x)dt133 t 2设 G ( y) 是随机变量 YF (x) 的分布函数． 显然，当 y0 时， G ( y) =0；当 y 1时，G ( y) =1 ． 对于 y [ 0,1) ，有G ( y) P{ Yy} P{F(X) y}P{3 X 1y}P{ X ( y 1)3} F [( y 1)3 ] y.于是， YF ( x) 的分布函数为0,若 y 0,G ( y)y, 若 0y1,1,若 y 1.十二 【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布， 一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意 X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度 g(u) ，一般应先求分布函数G (u) P{ U u}P{ X Y u} ，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值 X 1和 X2．全概率公式：如果事件A 1, , A n 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为(总体的样本空间 ) ；并且0,1,2, , .则对任一事件B 有nP B P( A i )P(B | A i )．i 1【详解】设 F ( y) 是 Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y 的分布函数G (u) P{ X Y u}P{X 1}P{X Y 0.3P{ X Y u X 0.3P{Y u 1 X u X 1}P{ X2}P{ X Y u X 2} 1}0.7P{X Y u X2}1}0.7P{Y u 2 X2} ．由于 X 和 Y 相互独立，所以P{Y u 1} P{ Y u1X 1}， P{Y u 2}P{ Y u 2 X2}所以G (u)0.3P{ Y u1}0.7 P{ Y u 2}0.3F (u1)0.7 F (u2).由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度g (u)G (u)0.3F(u1) 0.7F (u2) 0.3 f (u 1)0.7 f (u2).。
2003年考研数学二试题及答案
超级狩猎者2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）1 2（1）若x 0 时，(1 ax ) 4 1 与x sin x 是等价无穷小，则a= .（2）设函数y=f(x) 由方程 4xy 2ln x y 所确定，则曲线y=f(x) 在点(1,1)处的切线方程是.（3）xy 2 的麦克劳林公式中nx 项的系数是.a（4）设曲线的极坐标方程为 e (a 0) ，则该曲线上相应于从0 变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.1 1 1T T（5）设为3 维列向量， 1 1 1是的转置. 若，则1 1 1T= .2（6 ）设三阶方阵A,B 满足A B A B E，其中 E 为三阶单位矩阵，若1 0 1A 0 2 0 ，则B .2 0 1二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{a n}, {b }, {c } 均为非负数列，且lim n 0a , limb 1,limc ,则必有n nn nn n n(A) a n b n 对任意n 成立. (B) b n c n 对任意n 成立.lim a c 不存在. (D) 极限lim b n c n 不存在. [ ] (C) 极限n nn nn3n 1 n （2）设a x x dxn 1n 120 lim na 等于, 则极限nn3 31(A) (1 e) 2 1. (B) (1 e )2 1 .3 31(C) (1 e )2 1. (D) (1 e) 2 1. [ ]1超级狩猎者（3）已知yxln xy x x是微分方程y ( ) 的解，则( )x y y的表达式为2y（A ）.2x2y (B) .2x2x (C) .2y2x(D) .2y[ ]（4）设函数f(x) 在( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]yO xtan x x（5）设 4 I 4I dx , dx1 20 0x tan x, 则(A) I1 I 2 1. (B) 1 I1 I 2 .(C) I2 I1 1. (D) 1 I 2 I1. [ ]（6）设向量组I：1, 2, , 可由向量组II ：1, 2 , , s 线性表示，则r(A) 当r s时，向量组II 必线性相关. (B) 当r s时，向量组II 必线性相关.(C) 当r s时，向量组I 必线性相关. (D) 当r s时，向量组I 必线性相关.[ ] 三、（本题满分10 分）设函数 f (x) ln(1x ,1,xxx0,0,0,xaxe42超级狩猎者问a 为何值时，f(x) 在x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是f(x) 的可去间断点？四、（本题满分9分）2x 1 2t ,2d yu 所确定，求. 设函数y=y(x) 由参数方程(t 1)122ln t ey du dxx 91u五、（本题满分9分）arctan xxe计算不定积分dx.32( 21 x )六、（本题满分12分）设函数y=y(x) 在( , ) 内具有二阶导数，且y 0, x x( y) 是y=y(x) 的反函数.2d x dx3(1) 试将x=x(y) 所满足的微分方程(y sin x)( ) 02dy dy变换为y=y(x) 满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件七、（本题满分12分）3y (0) 0, y (0) 的解.24讨论曲线y 4ln x k 与y 4x ln x的交点个数.八、（本题满分12分）2 1设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点( , ) ，其上任一点P(x,y) 处的法线与y 轴的2 2交点为Q，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线y=f(x) 的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在[0, ]上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x) 的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x ( y)( y 0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以3m3 / min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m2 / min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与( y) 之间的关系式；(2) 求曲线x ( y) 的方程.3超级狩猎者(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f (x) 0. 若极限f (2x a)lim 存在，证明：x a xa(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2) 在(a,b)内存在点，使2bbf a (2ax)dx2f ( )；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使2 22 bf ( )(b a ) f ( x)dx.aa十一、（本题满分10分）2 2 0若矩阵 A 8 2 a 相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P 使0 0 6P .1 AP1 AP十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l : ax 2by 3c 0 ，1l : bx 2cy 3a 0，2l : cx 2ay 3b 0 .3试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.4超级狩猎者124(1 ax )1. 【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim 1，反过来求 a. 注x0 x sin x意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当x 0时，112 2(1 ax ) ax ，4 1~42x sin x ~ x .1122ax(1 ax 4) 14于是，根据题设有lim lim a 1，故a=-4.2x 0 sinx xx 0x 4【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例1.62】.2.. 【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式 4xy 2ln x y 两边直接对x 求导，得y xy 2x4y 3 y ，将x=1,y=1 代入上式，有y (1) 1. 故过点(1,1)处的切线方程为y 1 1 (x1) ，即x y 0.【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55 【例2.13】和【例2.14】.(n)3.. 【分析】本题相当于先求y=f(x) 在点x=0 处的n 阶导数值 f (0) ，则麦克劳林公式中( n)f (0)nx 项的系数是.n!x【详解】因为y 2 ln 2，x 2y 2 (ln 2) ，,( x) xy 2 (ln 2)n，于是有(n) ny (0) ( l n2) ，故麦克劳林公式中(n) nny (0) (ln 2)x 项的系数是.n! n!【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.5超级狩猎者1 24.. 【分析】利用极坐标下的面积计算公式S ( )d2即可.【详解】所求面积为S1222 ( )d 1222ae d1 a2e4a21 4 a(e4a1)= .【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例7.38】.T5.. 【分析】本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.1 1 1 1 1T1 1 1 = 1 1 1 1 1 【详解】由，知，于是1 1 1 1 11T1 1 1 1 3.1a1a2【评注】一般地，若n 阶矩阵 A 的秩为1，则必有.A b b b1 2 nan完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例 2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例13】 .6.. 【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.2【详解】由A B A B E 知，2(A E) B A E ，即(A E)( A E)B A E ，易知矩阵A+E 可逆，于是有( A E)B E.再两边取行列式，得 A E B 1，0 00 1 21因为 A 2 , 所以 BE 0 1 02.【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160 【例11】.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）6超级狩猎者7. 【分析 】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除lim a c 是 0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极(A),(B) ； 而极限n nnlim b c 属1型，必为无穷大量，即不存在 .限n nn【详解 】 用举反例法，取a n2 n 1，b n1， c n( 1,2, ) ，则可立即排除 n n 2(A),(B),(C) ，因此正确选项为 (D).【评注 】 对于不便直接证明的问题， 经常可考虑用反例， 通过排除法找到正确选项 . 完 全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.8.. 【分析 】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解 】 因为n31n 1na nx 12nx dxn 31nd x n n1 x(1)=2n3 n 311n2nn=)n ) ]1}(1 x 21{[1( nnn 1，33 nn1lim na =) ] 1} (1 e )1.lim {[ 1 (2 2 可见nnnn1【评注 】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定 积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法 .9.. 【分析 】 将 y x ln x代入微分方程，再令的中间变量为 u ，求出 (u) 的表达式，x 进而可计算出( ) y.【详解 】将yx ln xyx代入微分方程 y( ) ，得 x yln x 11 2x (ln )ln xln x，即 1 (ln x) .2ln x令lnx=u ，有1 x(u) ，故( )2u y2y= .2x应选(A).【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10.. 【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).7超级狩猎者【评注】本题属新题型，类似考题2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x) 的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.11.. 【分析】直接计算I1,I2 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.tan x 【详解】因为当x>0 时，有tanx>x ，于是 1xx， 1tan x，从而有t a n x4I 1 dx ，0 x4x4I 2 dx ，0 tan 4x可见有I1 I 且2 I ，可排除(A),(C),(D) ，故应选(B). 24【评注】本题没有必要去证明I1 1，因为用排除法，(A),(C),(D) 均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.12.. 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：1, 2 , , 可由向量组II ：1, 2 , , s 线性表示，则当r s时，向量组I 必线性相关.r或其逆否命题：若向量组I：1, 2 , , 可由向量组II： 1 , 2 , , s 线性表示，且向量r组I 线性无关，则必有r s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如0 1 01 , , ，则 1 0 1 02 ，但1, 21 21 , , ，则 1 0 1 02 ，但1, 20 0 1线性无关，排除(A) ；0 1 11 , , ，则1,2 可由 1 线性表示，但 1 线2 11 , , ，则1, 2 可由1 线性表示，但 1 线0 0 0性无关，排除(B) ；1 1 01 ， 1 可由1,2 线性表示，但 1 线性无1 2, ,0 0 1关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。