完全四点形的调和性

完全四点（线）形的调和性在初等几何中的应用黄毅1 胡志杰1 李锦杰2摘要：本文对高等几何中完全四点（线）形的性质做了具体而系统的整理，并通过初等几何与高等几何的内在联系，通过初等几何中平分角、平分线、共点、共线、平行、作图等几个具体问题的探究及其在中学竞赛中的运用，化难为易，丰富和拓展初等几何的内容。

关键词： 完全四点（线）形 应用 调和性 初等几何高等几何是一门聚集多方面知识体系的优秀学科。

高等几何可以说是在初等几何领域上的一个延伸与拓展。

它可以给出初等几何中某些问题的简单证明，为初等几何提供理论依据和注入新的数学思维。

完全四点（线）形的调和性是高等几何的一项重要内容，在几何学中占有重要地位。

它对初等几何的研究亦具有重要的指导意义。

比如说，它在初等几何的平分角度问题、共点共线问题、中点问题、线段比值问题及平行性等问题的研究中都有广泛的应用。

对高等几何当中某些特殊性质（四点形的调和性）的研究，可以让很多的数学爱好者，更加清楚的了解高等几何的重要性。

同时，也可以促进数学爱好者对初等几何学习的积极性。

本文着重分析完全四点（线）的调和性在初等几何中的一些应用。

一．完全四点（线）形的定义1.1 平面上四个点（无三点共线）以及联结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形。

（其中，每一个点称为顶点，每一条直线称为边，不共顶点的两边称为对边，对边的交点为对边点，以对边点为顶点的三角形为对角三角形。

）1.2 平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形称为完全四线形。

（其中，每一条直线称为边，每一个点成为顶点，不共边的两个顶点为对顶点，对顶点连成对顶线，一对顶线为边的三角形成为对角三角形。

） 二 .完全四点（线）的调和性质2.1完全四点形（图一中的四点形ABCD ）的两个对边点X 、Y 的连线交第三对对边于S 、T ，则(XY ，ST) = –1.（图一） （图二）2.2完全四线形（图二中的四线形abcd ）的两条对顶线x, y 的交点O 与第三对对X t顶点相连得直线s,t,则(xy,st) = –1.2.3在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点.2.4在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点.三.完全四点（线）形的调和性在初等几何中的应用 3.1 解决平分角问题例1 如图，AD 垂直于BC ，M 是AD 上的任意一点，BM 交AC 于E ，CM 交AB 于F ，证明:AD 、BC 平分DE 与DF 所成的角。

证明:连直线EF 分别交直线AD 、BC 于X ，Y 。

考察完全四点形AFME ，由完全四点形的调和性，得 (EF, XY) = – 1, 即 D(EF, XY) = – 1 ， 又因为DX ⊥DY ，所以AD 、BC 平分∠EDF 。

3.2解决平分线段问题例2：求证梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底.证明：如图, 四边形ABCD 为梯形, AD//BC, E, F 分别为两腰和对角线的交点. EF 交AD, BC 于P, Q. 考察完全四点形EAFD. 设AD ×BC=G ∞. 由完全四点形的调和性知(BC, QG ∞) = –1, 因为AD//BC, 故 G ∞ 是无穷远点, 从而Q 为BC 的中点.3.3解决点共线问题 例3：求证三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线. 证明：如图所示，ABC ∆的三条外角平分线与对边交与Ｇ，Ｈ，Ｉ。

设ABC ∆的三条内角平分线交与点Ｍ。

AD ,BE,CF 交与点M ，则有迪沙格定理知，两个三角形对应边连线的交点共线。

设AB 与DE 交与G ’，AC 与DF 交与H ’，BC 与EF 交与I ’,则G ’,H ’,I ’,三点共线。

又ACB ∠的外角平分线交AB 与G ，ABC ∠的外角平分线交AC 与H ，CAB ∠的外角平分线交BC 与I ，所以有 （BA,FG ）=-1,(BC,DI)=-1,(CA,EH)=-1.在完全四点形CDME 中由调和性知BI（BA ，FG ’）=-1.所以有（BA,FG ）=（BA ，FG ’）=-1.，即G 与G ’重合。

同理可知，H 与H ’,I 与I ’重合，所以G ，H ，I 三点共线。

3.4解决作图问题例4.1 用无刻度直尺完成以下作图：已知一线段BC 中点Q 及其线外一点A ，求过A 作该线段的平行线。

方法：1.连接BA ，并在其延长线上取一点E 。

2.连接CA ，QE 交与点F. 3.连接BF,CE 交与点D 。

4.连接AD ，则直线AD 为所求直线。

例4.2 已知一线段BC 和一直线L,并且BC 平行L ，求BC 的中点方法：1.在直线L 上取两点A ，D 2.连接BA,CD 交与点E 3.连接BD ，CA 交与点F4.连接EF 交BC 与Q ，那么点Q 即BC 中点3.5 解决平行问题例5：如图，在ABC ∆中，AD 是A ∠的内角平分线，在AD 上任取点H ，连BH 交AC 与E ，连CH 交AB 与F ，EF 交BC 与G ，求证：垂直于AG 的直线平行于AD 。

证明：如图，设,G BAD DAC DA αβ∠=∠=∠=。

视四边形AEHF为完全四线形，则由调和性知(.,.G)1AB AC AD A =-,又由线束交比的定义知，s i n (,)s i n (,G )s i n s i n (.,.G )1s i n (,G )s i n (,)s i n ()s i n ()A B A D A C A A B A C A D A A B A A C A D αβαβα===-+- 故sin sin()βαθ=+，sin sin()βθα=-所以sin()sin()θαθα-=+，即cos sin 0θα=，故cos 0θ=或sin 0α=，于是 2πθ=或απ=，但是α是ABC ∆的一个内角，不可能等于π，所以2πθ=，从而AG AD ⊥，即垂直于AG 的直线平行于AD ，并且AG 为A ∠的外角平分线。

A G3.6解决线共点问题例6.设X 、Y 、Z 是完全四点形ABCD 的三个对顶点，XZ 分别交AC 、BD 于L 、M ，证明：YZ 、BL 、CM 共点。

证明：如图，在完全四点形ABCD 中，边AC 上的四个点A 、C 、Y 、L 是一组调和点，即()1,-=YL AC 。

又在完全四点形YBZL 中，设LB 与YZ 交于N ，MN 交YL 于'C ，边YL 上的四点Y 、L 、'C 、A 是一组调和点，即()1,'-=AC YL 。

由于()()1,,-==YL AC AC YL ,故'C C ≡,所以 YZ 、BL 、CM 共点。

3.7中学竞赛问题例7 （全国高中数学联赛，1999）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。

在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。

求证：∠GAC=∠证明 如图， 过A 作AC 的垂线AH ，连BD 分别交 根据角平分线的性质知（BD，IH ）=–1。

连GE 交AH 于H ’，交AC 于J 。

根据完全四点形CEFG 的调和性知 （BD ，IH ’）=–1，由 （BD ，IH ）=（BD ，IH ’）知H 与H ’重合。

由AC 与AH 垂直，且 （GE ，JH ）=（BD ，IH ）=–1知AC 与AH 是∠GAE 的内外平分线。

所以 ∠GAC=∠EAC例8（加拿大奥林匹克数学试题5，1994）ΔABC 为锐角三角形，AD 为BC 边上的高，H 为D 内一点。

直线BH 、CH 分别交AC 、AB 于E 、F ，证明∠EDH=∠FDH 。

证明：如图，连EF 交BC 的延长线于G AEHF 的调性知A BHAC'MXDY L C NZB（BC ，DG ）= —1，因为 AD ⊥BC ，所以AD 是∠EDF 的平分线，所以 ∠EDH=∠FDH 。

例9（第36届IMO 预选题）∠EDH=∠FDH 。

ΔABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，点X 是ΔABC 的一个内点，ΔBC 相切，并与CX 、XB 分别相切于点Y 、Z 。

证明：证明: 因为D 、Y 、Z 是切点，所以XD 、BY 、CZ 点）。

设YZ 交BC 于P '，则由完全四点形XYJZ 1),(-='P D BC 。

同理由AD 、BE 、CF 共点（ΔABC 的葛尔刚点） 和完全四点形的调和性得1),(-=DP BC所以P 与P '重合，即YZ 、EF 、BC 共点。

于是由切割线定理知 PZ PY PD PF PE ⋅==⋅2，所以E 、F 、Y 、Z 共圆。

参考文献：【1】梅向明，刘增贤，王汇淳，等.高等几何【M 】.第三版.北京：高等教育出版社，2008【2】闻仲良.高等几何【M 】.成都：四川大学出版社，2005 【3】朱德祥.高等几何【M 】.北京：高等教育出版社，1999【4】梁林，袁丽晴，马嘉芸.高等几何中完全四点（线）形的调和性应用于初等几何中某些问题的初探【J 】.楚雄师范学院学报第十七卷第三期，2002D。