八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解人教四年制
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
1. pq x q p x +++)(2
型式子的因式分解。 2. 十字相乘法因式分解。
二. 教学重点、难点： 1. 重点：
pq x q p x +++)(2型式子因式分解。 2. 难点：
常数项分解成两个数时，如何确定符号。
三. 教学要点：
1. q p x q p x ?+++)(2型二次三项式子的特点是： （1）二次项的系数是1。 （2）常数项是两个数之积。
（3）一次项系数是常数的两个因数之和。 对这个式子先去括号，得到：
pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++= ))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=
利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。 2. 十字相乘法：
将))((2211c x a c x a ++计算得：
211221221211221221)(c c x c a c a x a a c c x c a x c a x a a +++?=+++=
反之：))(()(22112112212
21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++
利用这个等式，我们可以用下面的写法，尝试把某些二次三项式如c bx ax ++2
分解因式，先把a 分解成21a a a =，把c 分解成21c c c =，并且排列如下：
2
2
1
1c a c a
这里按斜线交叉相乘的积的和就是1221c a c a +，如果它正好等于二次三项式
c bx ax ++2中一次项的系数b ，那么c bx ax ++2就可以分解成))((2211c x a c x a ++，其中1a 、1c 是上图中上面一行的两个数，2a 、2c 是下面一行的两个数。
例如：把二次三次式101132
++x x 分解因式。 我们知道：313?=，5210?=写成
5
3
2
1
后发现113251=?+?，所以)53)(2(101132
++=++x x x x
【典型例题】
[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672
+-x x 分析：
（1）232
++x x 的二次项的系数是1，常数项212?=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2
型式子。
（2）672
+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-?-=，一次项系数=-7)1(-
)6(-+，
这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2
+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：
（1）因为212?=，并且213+=，所以)2)(1(232
++=++x x x x
（2）因为)6()1(6-?-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672
--=+-x x x x [例2] 把下列各式因式分解。
（1）22-+x x （2）1522
--x x 分析：
（1）-+x x 2
2的二次项系数是1，常数项2)1(2?-=-，一次项系数2)1(1+-=，这是一个pq x q p x +++)(2
型式子。
（2）1522--x x 的二次项系数是1，常数项3)5(15?-=-，一次项系数)5(2-=-
3+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子。
以上两题可用))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++式子分解。
解：
（1）因为2)1(2?-=-，并且2)1(1+-=，所以)1)(2(22
-+=-+x x x x （2）因为3)5(15?-=-，并且3)5(2+-=-，所以)3)(5(1522+-=--x x x x 注意：
（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。 （2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。
[例3] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）2
2865y xy x -+ 解：
（1）)12)(3(3722
--=+-x x x x
1
2
3
1--
7)1(1)3(2-=-?+-?
（2）)53)(12(5762
-+=--x x x x
5
3
1
2-
713)5(2-=?+-?
（3）)45)(2(8652
2y x y x y xy x -+=-+
y
y
45
21-
y y y 6)2(5)4(1=?+-?
[例4] 将40)(3)(2
----y x y x 分解因式。
分析：可将y x -看成是一个字母，即a y x =-，于是上式可化为4032
--a a 二次项系数是1，常数5)8(40?-=-，一次项系数5)8(3+-=-，所以可用)(2
q p x ++x ))((q x p x pq ++=+式子分解。
解：因为5)8(40?-=-，并且5)8(3+-=-，所以
40)(3)(2----y x y x )5)(8(]5)][(8)[(+---=+---=y x y x y x y x
[例5] 把2
2
2
2
65x y x y x --分解因式。
分析：多项式各项有公因式2x ，第一步先提出各项公因式2
x ，得到： )65(652
2
2
2
2
2
--=--y y x x y x y x ，经分析652
--y y 它符合
pq y q p y +++)(2型式子，于是可继续分解。
第二步，按pq y q p y +++)(2
型二次三项式分解，得到：
)1)(6()65(222+-=--y y x y y x
解：)1)(6()65(652
2
2
2
2
2
2
+-=--=--y y x y y x x y x y x [例6] 将xy y x 16815
5
-分解因式。
解：xy y x 16815
5
-)49)(49()1681(2
2
2
2
4
4
-+=-=y x y x xy y x xy )23)(23)(49(2
2
-++=xy xy y x xy
注意：多项式分解因式的一般步骤是：
（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。
（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。
（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。
【模拟试题】
一. 填空题：
1. =--2832
x x （ ）（ ） 2. =--2
2
352y xy x )7(y x -（ ） 3. =+-2
2
144320y xy x )74(y x -（ ） 4. =+-519182
x x （ ）（12-x ） 5. =++-611352
2mn n m －（ ）（ ） 6. =--2
35116a a （ ）（ ）
7. =-+652
x kx （23-x ）（ ）=k 8. )25)(74(14432
y x y x y xy m --=+-，则=m
9. )5)(74(43202
n x y x m xy x +-=+-，则=m ，=n 10. 分解因式=++-+16)3(8)3(2
2
4
2
x x x x 。
二. 选择题：
1. 16102++x x 分解因式为（ ） A. )8)(2(++x x B. )8)(2(+-x x C. )8)(2(-+x x
D. )8)(2(--x x 2. 2
2
3013y xy x --分解为（ ） A. )10)(3(y x y x -- B. )2)(15(y x y x -+ C. )3)(10(y x y x ++
D. )2)(15(y x y x +-
3. 把352962
+-x x 分解因式为（ ） A. )53)(72(--x x B. )52)(73(--x x C. )52)(73(+-x x
D. )53)(72(+-x x
4. 把22244n mn m x -+-分解因式为（ ） A. )2)(2(n m x n m x +-++ B. )2)(2(n m x n m x +--+ C. )2)(2(n m x n m x +---
D. )2)(2(n m x n m x -+++
5. 在下列二次三项式中，不是pq x q p x +++)(2
型式子的是（ ） A. 20122
++x x B. 10092
++x x C. 14132--x x
D. 5292
-+x x
三. 解答题：
1. 将下列各式因式分解。
（1）652-+x x （2）302--x x （3）144302
++x x 2. 将下列各式因式分解。
（1）17182
4
-+-m m （2）4
2
2
4
2073y y x x -- （3）x x x 8235
-- 3. 因式分解。 （1）k k n k n a a a
35624--++ （2）8
5472++
x x 4. 因式分解。
（1）24)7(10)7(2
2
2
--+-x x x x （2）2
22
2
2
2
4
)()(2z y z y x x +++- 5. 已知02847152
2
=+-y xy x ，求
y
x
的值。 6. 已知062
2
=--b ab a （0≠a ，0≠b ），求
b
a
a b +的值。 7. 已知026292
2
=++-+b a b a ，求b a 32-的值。
试题答案
一.
1. 7-x ；4+x
2. y x 5+
3. y x 25-
4. 59-x
5. 35-mn ；27+mn
6. a 72-；a 53+
7. 32+x ；6
8. 220x
9. 214y ；y 2- 10. 2
222)23()2()1(-+++x x x x 二.
1. A
2. D
3. B
4. B
5. B 三.
1. 解：
（1）)1)(6(652
-+=-+x x x x （2）)5)(6(302+-=--x x x x （3）)6)(24(144302++=++x x x x 2. 解：
（1）)1)(17()1718(17182
2
2
4
2
4
---=+--=-+-m m m m m m )1)(1)(17(2
-+--=m m m
（2）)53)(2)(2()53)(4(20732
2
2
2
2
2
4
2
2
4
y x y x y x y x y x y y x x +-+=+-=-- （3）)2)(2)(2()2)(4()82(822
2
2
2
4
3
5
+-+=+-=--=--x x x x x x x x x x x x x 3. 解：
（1）)73)(52()356(356222424+-=--=--++n n k n n k k k n k
n a a a a a a a a a （2）)54)(12(8
1)5148(885472
2++=++1=++x x x x x x
4. 解：
（1）)27)(127(24)7(10)7(2
2
2
2
2
--+-=--+-x x x x x x x x )27)(4)(3(2
----=x x x x
（2）2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
4
)()]([)()(2z y x z y x z y z y x x --=+-=+++- 5. 解：02847152
2
=+-y xy x 0)45)(73(=--y x y x
∴ y x 37=或y x 54= 当y x 3
7=时，（1）37
37
==y y
y x
（2）当5
4=x y 时，54
54==
y y
y x 6. 解：062
2=--b ab a 0)2)(3(=+-b a b a b a 3= b a 2-=
当b a 3=时，31
333133=+=+=+b b b b b a a b
当b a 2-=时，2
1
222122-=--=-+-=+b b b b b a a b
7. 解：026292
2=++-+b a b a 0)169()12(22=++++-b b a a
0)13()1(2
2=++-b a 1=a 3
1-=b
1
-b
=
?
a
3
)
2
1
-
2
1
(3
-
3
=
+
2=
3
因式分解--十字相乘法练习题
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
十字相乘法因式分解-教学设计
教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1
例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
2公式法,十字相乘法
一元二次解法：（1）公式法 【知识要点】 1．计算方法 一，先将方程变为标准形式)0(02 ≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。 如何变： ① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算 ② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号 ③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数 二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c , △代入公式，即得：-=2b x a ±。 【典型例题】 领练：例一 例①4722=-x x 例② 02 122412=+-x x 例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2 2++=--+ 例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212 ≠=+++-m m mx x m
测试：例二 1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x 3，(2)(3) 56x x --= 4，02222=-+-n m mx x 二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。 方程有两个实数根→△≥0 方程有两个相等的实数根→△＝0 方程有两个不相等的实数根→△＞0 方程没有实数根→△＜0 例三，变式训练 ①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2） 2 16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ; ②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ; ③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范 围是 . ④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
国家公务员行测：十字相乘法简介
公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。
(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 例3、因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 例6、因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。 因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a 解：原式=[-2][ -12] =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4) 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 因式分解的一点补充——十字相乘法 宜昌九中尤启平 教学目标 1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 教学过程设计 一、导入新课 前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
十字相乘法(附答案解析)
十字相乘法 (2020年8月) 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同 样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项
负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数 2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”， 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ；（2）2 2 65y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2 6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 解：（1）)5)(3(1522 -+=--x x x x ； （2）)3)(2(652 2 y x y x y xy x --=+-．
初中数学 十字相乘法练习
第十一讲 十字相乘法 探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳：=+++ab x b a x )(2（ ）（ ） 将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522--x x = ； (2) =-+1032 x x 。 （3） x 2-2x-3= 。 2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x (4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x x x 1 2?x ??7? x 1-
例2．已知，如图，现有a a ?、b b ?的正方形纸片和a b ?的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图 的痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽。 反馈练习 1．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 ． 2．=--3522x x (x －3) (__________)． 3.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张． 4．分解因式： （1）22157x x ++； (2) 2384a a -+； （3）1522--x x (4) 2576x x +- (5) 261110y y -- （6）1032 -+x x 5．先阅读学习，再求解问题： a b b 第3题图
公务员考试十字相乘法解数学题
十字相乘法解数学题 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）
上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600
因式分解之十字相乘法专项练习题
因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x
4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ；
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法 一、十字相乘法分解因式 十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。 简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即 ()()()x a x b x a b x a b ++=+++2 将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++ 得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上 式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2 ++，就需要找到满足下列条件的a 、b ； a b p ab q +==?? ? 如把762 -+x x 分解因式，首先要把二次项系数2 x 分成x x ?，常数项-7分成)1(7-?， 写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为 x x x 67)1(=?+-?，正好是一次项。从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。 2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解 二次三项式ax bx c 2 ++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳 为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762 x x -+，首先要把二次项系数 2分成1×2，常数项6分成()()-?-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227?-+?-=-，正好是一次项系 x -=-+762x ) 1)(7(-+x x x x ? ? ? 7 1 x x x 67=+-
人教版初一数学上册十字相乘法教学设计
【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ；x2 －2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 3.练习 1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36 5、x4-2x3-48x2
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
板块二：选主元 【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++ 【例2】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例3】 分解因式：2222a b ab bc ac --++ 【例4】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【例5】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【例6】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【例7】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：双十字相乘 双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式 22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法. 【例8】 分解因式：222332x xy y x y +-+++ 【例9】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--
【例10】 分解因式：2265622320x xy y x y --++- 【例11】 分解因式：22276212x xy y x y -++-- 【例12】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+ 【例13】 分解因式：22243x y x y ---- 【例14】 分解因式：22534x y x y -+++ 【例15】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+- 【例16】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z ----- 【例17】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证： 2b a c =+ 【例18】 分解因式：2262288x xy y x y +-+-- 【例19】 分解因式：223224x xy y x y ++++ 【例20】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++