复合控制

基于多尺度的复杂系统动力学建模与控制中相关问题1 引言在系统理论和控制工程中，一些实际物理系统的数学模型经常可以表示成高阶的常微分或偏微分方程。

当系统存在较小的惯量、电容、电导或时间常数时，其数学模型的阶次会变得很高，数值特征也常会出现病态情况。

对于此类系统，模型降阶简化处理是一个极为重要的问题。

在以往的研究中，经常忽略系统中的小变量，但是这种处理方式会影响控制系统分析和设计时的精度。

事实上，系统中的这些小参数变量在动态响应过程中会表现为“摄动”，因此，奇异摄动方法成为了这些复杂物理系统的简化手段。

奇异摄动的基本思想是首先忽略快变量以降低系统阶数，然后通过引入边界层校正来提高近似程度。

这两个降阶的系统就可以用来近似原系统的动力学行为。

这实际上相当于在两个时间尺度范围内分别独立完成设计任务。

对动态系统，这种分解实际上就是一种时标的分解。

有一些复杂系统可能要进行多时标分解[1]。

2 工程实例2.1 特殊的刚性臂系统常规意义的刚性机械臂和刚性机械臂操作刚性负载都是刚体动力学系统，学者们研究的重心是系统各部分物体刚体运动之间的相互作用极其对系统动力学行为的影响。

然而，在实际的工程实践中宏微机器人、轮式机器人等虽具有刚性杆件，但是它们的动态系统更加复杂。

在一个大机械手末端附上一个小机械手所构成的系统常被称为宏-微机器人系统，在该系统中, 微机器人的物理参数如杆件的长度与质量等一般比宏机器人小很多，因此可以将微机器人的这些参数看成大于零的摄动量，文献[2]利用奇异摄动方法建立了快慢时标分离的系统模型,慢变子系统和快变子系统分别用来表征宏机器人和微机器人的运动，而后作者基于该模型设计了鲁棒控制器，并作了数值仿真。

含执行机构动力学的刚性机械臂是一个典型的奇异摄动系统。

在该系统中马达中的电枢电流被看成不可忽略的快变量，文献[69]利用奇异摄动理论分解了此类机械臂系统，得到了表征刚性机械臂运动的慢变子系统和表征执行机构动力学的快变子系统。

此外，文献[3] [4]通过引入缩放比例系数，分析拐角处和滑动系数的影响，利用奇异摄动解决了非完整约束轮式机器人施加动力学控制时的全局闭环稳定性问题。

文献[5]进一步利用奇异摄动滑动流形提出了受限机器人的一般性建模方法。

文献[6]则针对末端执行器与刚性环境接触的受限机械臂,建立了其奇异摄动模型。

2.2 具有梁杆结构的柔性多体系统具有梁杆结构的柔性臂和刚、柔性臂操作柔性负载都是强耦合，高度非线性的分布参数动力学系统。

与常规的刚性臂系统相比，该系统的动力学模型要复杂的多，通过一种控制策略很难满足控制要求。

因此，很多学者研究了柔性臂的模型简化和分解控制问题，研究满足实际实验可实现的控制策略所要求的无限维系统离散化方法，以及有限维空间与无限维空间之间的关系。

一个典型的方法是将系统模型分解为快、慢两个子系统，一个是反映系统整体运动的慢子系统，另一个是反映高频模态的快子系统。

文献[7]研究了单连杆柔性臂的奇异摄动建模,摄动参数取为最小刚度系数的平方根。

建立了快慢两个降阶子系统,其中慢子系统与等效的刚性臂同阶, 而快子系统是以慢状态变量参数化的线性系统。

依据复合控制的思想, 首先基于慢子系统设计一个非线性反馈控制项,再设计快控制项用以稳定快动力学即可。

文献[8]针对多连杆情形的奇异摄动模型,研究了输出反馈方法。

理论研究表明, 刚性机械臂的数学模型可以反馈线性化,而对柔性臂的动力学, 反馈线性化将引起零动力学不稳定。

文献[9]利用奇异摄动的思想,采用边界层校正来稳定零动力学,从而解决了这一问题。

文献[10]综述研究了奇异摄动理论在控制系统中的应用，分析了奇异摄动控制系统的双时标特性，研究了系统的可控性，可观性和稳定性。

2.3 航空航天航空航天领域的研究对象通常具有很强的军事背景,因此对可靠性和精度的要求十分严格。

导弹、飞行器等系统的动力学模型常包含俯仰角、横滚角、偏航角、速度等多个变量，控制器设计十分繁杂，利用奇异摄动对其进行解耦就显得十分必要。

文献[11][12]针对考虑执行机构及旋翼动态影响的某型号直升机系统，通过分析执行机构的慢模态和快模态动态特性，采用三重时间尺度的奇异摄动解耦方法，采用高增益PI控制, 与内回路补偿和速度反馈补偿相结合的方式进行了控制器设计。

通过选取适当的参数, 保证了整个闭环系统的渐近稳定.文献[13]利用奇异摄动，研究了高超飞行器的跟踪问题。

根据高超飞行器姿态动力学各个状态变量对时间的变化存在很大的差异，按不同频带，可将攻角、倾斜角、侧滑角看成慢变量，将滚动角速度、偏航角速度、俯仰角速度看成快变量，这样原来飞行器状态就被分成了内外两个回路，作者在此基础上提出了模型参考和动态逆内外环解耦相结合的控制方法。

与之类似，文献[14]在针对F215飞机设计飞行轨迹指令综合跟踪器时,将整个控制系统分解为空间位置、速度、姿态和角速度控制回路,由于各回路之间时间常数相差很大, 可以利用奇异摄动方法结合动态逆技术实现回路之间的解耦,在保证的精度的同时简化了设计过程。

文献[15]在倾针转弯导弹自动驾驶仪综合问题中，利用奇异摄动理论和控制舵面解耦技术，通过引入变换矩阵，将原本因弹体动力学的交叉耦合和具有不确定参数的多变量系统分解成滚动回路和偏航回路两个单变量系统, 并用极点配置理论设计了协调转弯自动驾驶仪。

由于中制导问题中导弹的质心运动模型是一个六阶的非线性常微分方程, 对其直接应用最优控制方法将会出现端点受约束的十二阶非线性微分方程的求解问题。

考虑到导弹的飞行距离较长时, 质心运动模型中各状态变化的快慢是不同的，文献[16]将系统的比能、弹道偏角、顺射距离、偏射距离看成慢变量，飞行高度、弹道清倾角看成快变量，故可采用奇异摄动进行双时标控制，只是此处的双时标控制是系统内解和左右两个边界层校正项之和。

此外，文献[17]针对常规反馈线性化方法用于导弹加速度控制中会引发零动力学不稳定(即非最小相位特性) 的问题,提出了基于奇异摄动的稳定反馈控制方案,并放宽了对攻击角度的限制, 而且也无需关于导弹速度、空气密度等因素“慢变”的假设。

文献[18]研究了三轴稳定挠性卫星姿态控制问题。

文献[19]研究了F28 飞机的径向动力学H∞控制。

2.4 过程控制与制造业在过程控制领域, 在制造业领域,递阶结构应用非常广泛,一般说来,机器级具有较快的时标, 而工厂级的响应较慢。

许多学者已经利用奇异摄动技术来分析制造过程的动力学特点。

文献[20]以温度压力作为状态变量,将整个蒸汽锅炉系统分解为两个关联子系统:蒸汽产生系统和蒸汽加热系统。

并通过建立蒸汽锅炉的奇异摄动模型近似消除二者的耦合,从而降低系统的维数。

文献[21]将奇异摄动技术引入温室气温控制中,除了考虑作为慢时标的作物的生长过程外,能够进一步考虑以往被忽略的温室的动力学过程的影响, 在此基础上设计的最优控制律显示出较好的效果。

精馏塔的数学模型是一个阶次很高的非线性模型，不便于实时计算和理论推导分析，因此需要建立精馏塔的简化模型。

文献[22]以一个二元精馏塔模型为例,基于奇异摄动理论, 将每一段的状态由一个代表板的状态来表示, 代表板的滞液量是该段所有塔板滞液量的和, 代表板的组分代表该段的组分，而其它塔板的滞液量为集结板滞液量与摄动量的成积，因而得到了保持三对角结构的简化模型。

活性污泥污水处理过程是一个多时间尺度的大规模非线性系统，其中一些变量不可测，一些参数不确定，文献[]将奇异摄动法和灵敏度分析法相结合，选取包括参数、莫诺特式以及微生物浓度的反应速率项为摄动量，按照摄动情况将污水的组分分成快变和慢变两组，最终建立了活性污泥过程的奇异摄动模型，并把具有脱氮过程的子系统作为先进控制和优化设计的基础模型。

此外，在液压控制系统中，选取体积弹性模量的倒数为摄动量，可以将系统方程写成标准的奇异摄动形式[23]。

在冶金过程中，连续铸锭结晶器部分的传热模型是一种奇异摄动模型[24]。

文献[25]考虑了产量计划问题,提出的最优控制律可以抑制施加在资源容量和需求的随机干扰。

2.6 电机与电力系统在电力系统领域,常用的交流调速系统中都存在双时标特性,例如,在锁相调速系统中,机械变量的时间常数较之电磁变量慢很多[26]。

直接驱动系统存在着电气和机械两种不同的时间尺度, 磁链、电流和电压等电气量的动态特性远高于速度和位移等机械量的动态特性, 即电气时间常数远小于机械时间常数。

因此,文献[27]利用奇异摄动将永磁直接驱动系统的数学模型分解成快变、慢变电气子系统, 降低系统阶数和复杂度。

并分别在这两个子系统中分别对电机位置和速度进行估计。

文中提出了基于滑模观测的反电势位置估计法, 仅利用便于测量的电压和电流就能估计出电机的磁极位置。

文献[28][29]基于奇异摄动环形永磁力矩电机的二阶滑模控制、永磁直线同步电动机的滑模控制问题由于架空输电线往往处于悬链状态, 因此输电线的松弛振荡是一类典型的快慢变系统。

文献[30]推导了架空输电线具有初始垂度的非线性动力学模型,该模型所存在的阻力、惯性力和恢复力及干扰力等参数随时间的自然单位相比变化快慢有数量级上的差别，因此该模型是具有快慢变量耦合的数学模型。

此外，文献[31-33]已经在电力网络是RL 电路的假设下推得了互联电力系统的双时间尺度模型和同步发电机的双时间尺度模型。

文献34]利用奇异摄动技术提出一种新的鉴相器模型,并导出了稳定条件和捕捉带。

2.7 其它文献[35]研究了分层模糊控制结构中存在的非线性奇异摄动现象。

它将系统变量分为三种时间尺度, 阀和伺服机构是最快的子系统, 局部控制系统次之, 而最慢的时间尺度则用以表亦整个系统的动力学行为。

使用奇异摄动技术, 使得分析这类大规模分层递阶的模糊控制系统较为方便。

而文献[36]将一类竞争神经网络的行为分为短期记忆和长期记忆,从而也可用奇异摄动方法来分析网络平衡点的稳定性。

生理学神经元模型[37]也是是典型的快慢变模型。

3 总结参考文献Piece-wise stability analysis of nonlinear robot arm via singular perturbationsA singular perturbation approach to modeling and control of manipulators constrained by a stiff environment Dynamic modelling and tracking control of nonholonomic wheeled vehiclesA slow manifold approach for the control of mobile robots : not satisfying the kinematic constraints。