中考代数综合题

中考代数综合题

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

方法点拨

（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；

（2）认识综合题的结构是解综合题的前提；

（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；

（4）帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．

* 审题(读题、断句、找关键)；

* 先宏观(题型、知识块、方法)；

后微观(具体条件，具体定理、公式)

* 由已知，想可知(联想知识)；

由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；

* 观察——挖掘题目结构特征；

联想——联系相关知识网络；

突破——抓往关键实现突破；

寻求——学会寻求解题思路．

（5）准确计算，严密推理是解综合题的保证．

类型一、函数综合

1．已知函数和y＝kx+1(k≠0)．

（1）若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；

（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点

答案与解析举一反三

【思路点拨】

本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．

【答案与解析】

解：

（1）∵两函数的图象都经过点(1，a)，

∴解得

（2）将代入y＝kx+1，消去y，得．

∵k≠0，

∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．

∵△＝1+8k．

∴1+8k≥0，解得k≥．

∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．

【总结升华】

两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．

【变式】如图，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线

与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q 的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

答案与解析

【答案】

解：

（1）解方程，得=-3，=1.

抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.

将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得

解这个方程组，得

抛物线解析式为.

（2）由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.

设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得

解这个方程组，得

直线AC的函数关系式为y=x+3.

由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，

故解方程组得点Q坐标为（-1，2）.

（3）作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点.

设直线的函数关系式为y=kx+b.

∴解这个方程组，得直线的函数关系式为y=-2x.

令x=0，则y=0.

点M的坐标为（0，0）.

类型二、函数与方程综合

2．已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；

（2）若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小

答案与解析举一反三

【思路点拨】

本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】

解：

（1）对于关于x的二次函数，

由于△＝(-m)2－4×1×，

所以此函数的图象与x轴没有交点．

对于关于x的二次函数，

由于△＝，

所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．

故图象经过A，B两点的二次函数为．（2）将A(-1，0)代入，得．

整理，得．

解之，得m＝0，或m＝2．

①当m＝0时，．令y＝0，得．

解这个方程，得，．

此时，B点的坐标是B(1，0)．

②当m＝2时，．令y＝0，得．

解这个方程，得x

3＝-1，x

4

＝3．

此时，B 点的坐标是B(3，0)． （3）当m ＝0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为

x ＝0，

所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小． 当m ＝2时，二次函数为，此函数的图象开口

向上，对称轴为x ＝1，

所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小． 【总结升华】

从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解

【变式】已知：关于x 的一元二次方程：

.

（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；

（2）当抛物线与x 轴的交点位于原点的两侧,且到原点的

距离相等时,求此抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线(b ＜0)

与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围. 答案与解析 【答案】