数列的递推公式-人教A版高中数学选择性必修第二册上课用PPT
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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 第2课时 数列的递推公式和前n项和公式
当n=1时,a1=4×1-5=-1,依然=31-2=1;
当 n≥2 时,-1 = 3-1 -2,
则 an=Sn--1 =(3n-2)-(3-1 -2)=3n-3-1 =3×3-1 − 3-1 =2×3-1 .
此时若 n=1,an=2×3-1 =2×31-1 =2≠1,
的前几项.
2.解答本题,归纳出通项公式是难点,在写出数列的前几项时,一般不对其
化简,目的是利于观察规律,进而写出通项公式.
【变式训练1】 已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并
归纳出{an}的通项公式.
解:∵a1=3,an+1=2an+1,
∴a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15,
项.
错解:因为 nan=n(n-7)=n -7n=
2
7 2
2
−
49
,
4
所以当n=3.5时取最小值.
答案:3.5
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何
防范?
提示:1.忽视n∈N*这一条件致错.
2.忽视二次函数图象的对称性只得到一个解致错.
正解:nan=n(n-7)=n -7n=
2
7 2
2
−
49
.
4
因为n∈N*,所以当n=3或4时,数列{nan}的项最小.
答案:3或4
防范措施 1.数列是特殊的函数,只是自变量的取值范围是正整数,在解题
时应特别注意,如本例中,n∈N*,n=3或4时数列{nan}的项最小.
2.若一个数列是递增数列,则其首项是这个数列的最小值;若一个数列是
递减数列,则其首项是这个数列的最大值.此外,判断数列的单调性有时需
当 n≥2 时,-1 = 3-1 -2,
则 an=Sn--1 =(3n-2)-(3-1 -2)=3n-3-1 =3×3-1 − 3-1 =2×3-1 .
此时若 n=1,an=2×3-1 =2×31-1 =2≠1,
的前几项.
2.解答本题,归纳出通项公式是难点,在写出数列的前几项时,一般不对其
化简,目的是利于观察规律,进而写出通项公式.
【变式训练1】 已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并
归纳出{an}的通项公式.
解:∵a1=3,an+1=2an+1,
∴a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15,
项.
错解:因为 nan=n(n-7)=n -7n=
2
7 2
2
−
49
,
4
所以当n=3.5时取最小值.
答案:3.5
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何
防范?
提示:1.忽视n∈N*这一条件致错.
2.忽视二次函数图象的对称性只得到一个解致错.
正解:nan=n(n-7)=n -7n=
2
7 2
2
−
49
.
4
因为n∈N*,所以当n=3或4时,数列{nan}的项最小.
答案:3或4
防范措施 1.数列是特殊的函数,只是自变量的取值范围是正整数,在解题
时应特别注意,如本例中,n∈N*,n=3或4时数列{nan}的项最小.
2.若一个数列是递增数列,则其首项是这个数列的最小值;若一个数列是
递减数列,则其首项是这个数列的最大值.此外,判断数列的单调性有时需
4.1.2数列的通项公式与递推公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性)
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式 。
(3)数列的图象表示法
巩固复习
注意
1.不是每一个数列都能写出其通项公式
2.数列的通项公式不唯一
如 -1，1，-1，1，-1，….可写成
an
(1)n
和
an
sin(n
)
2
3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分
_F_n_＝__F__n－__1＋___F_n_－_2_(_n_>_2_)．
数列的周期性
一般地 ，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对
一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做
数列{an}的周期，如数列sin{
n
2
}：1,0，-1,0,1,0，-
1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这
a3＝11＋－aa22＝11－＋33＝－12，
a4＝11＋－aa33＝11－＋1212＝13，
a5＝11＋－aa44＝11－＋1313＝2＝a1，
∴{an}是周期为 4 的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－12.
例题感悟
一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时 常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周 期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周 期 数 列 的 递 推 公 式 的 一 般 形 式 为 an ＋ k ＝ an(n∈N* ， k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的 周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公 式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发 现规律．
(3)数列的图象表示法
巩固复习
注意
1.不是每一个数列都能写出其通项公式
2.数列的通项公式不唯一
如 -1，1，-1，1，-1，….可写成
an
(1)n
和
an
sin(n
)
2
3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分
_F_n_＝__F__n－__1＋___F_n_－_2_(_n_>_2_)．
数列的周期性
一般地 ，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对
一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做
数列{an}的周期，如数列sin{
n
2
}：1,0，-1,0,1,0，-
1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这
a3＝11＋－aa22＝11－＋33＝－12，
a4＝11＋－aa33＝11－＋1212＝13，
a5＝11＋－aa44＝11－＋1313＝2＝a1，
∴{an}是周期为 4 的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－12.
例题感悟
一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时 常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周 期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周 期 数 列 的 递 推 公 式 的 一 般 形 式 为 an ＋ k ＝ an(n∈N* ， k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的 周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公 式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发 现规律．
新教材高中数学第4章第2课时数列的通项公式与递推关系pptx课件新人教A版选择性必修第二册
1)2，∴两式相除得an＝
2
，
−1 2
1
2
3
4
又∵a1＝12＝1，不适合an＝
2
，
2
an－1
表示an与它的前一项________(或
n
表示an与__之间的关
前几项)之间的关系
系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点3 数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第_项起到第__项止的各项之和称为数列{a
1
n
n}的前n项
a1＋a2＋…＋an
1
2
3
4
3．设数列{an}满足a1 ＝1，且an＋1 －an ＝1(n∈N*)，则数列{an}的通
n
项公式为an＝________．
n
[由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝1 + 1 + ⋯ + 1＝n－1，
−1 个
因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，
第四章
4.1
第2课时
数列
数列的概念
数列的通项公式与递推关系
1．理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．
(逻辑推理)
学习
2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几
任务
项．(数学运算)
3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推
理、数学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
1
1
3
[由已知，得a2＝1＋ ＝2，a3＝1＋ ＝ ．]
数学人教A版选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式课件
第1项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 … 第n项 …
项
…
…
Байду номын сангаас
首项
所以，数列的一般情势可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
{an} 与 各表示什么？
{an}表示的是数列，an表示 数列中的第n项；
二、类比探究，深化概念
活动1、发现数列与函数之间存在关系 问题1：通过列表我们发现，数列中的每一项和序号之间形成了 一种一一对应的关系，这种关系是我们高一学过的什么知识？ 活动2、合作探究从而明确数列与函数间的关系 问题2：函数的概念是什么？ 问题3：数列与函数之间是什么关系？ 问题4：既然数列是函数，那它的自变量、因变量是什么？ 问题5：数列的定义域是什么？
① 1 2 3 4 …n…
… … a1 a2 a3 a4
an
y ②
O ③
总结：①列表法；②图像法；③公式法
以(n,an)为坐标的 无限(或有限)个孤
立的点
x
四、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这 个公式叫做这个数列的通项公式.（通项公式实际上就是相应数列的函数解析式）
定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.
从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次 叫做这个数列的第1项（或首项）、第2项、第3项、…、第n项。
只有有限项的数列叫做有穷数列， 有无限多项的数列叫做无穷数列。
一、数列
项数
1、 2、 3、 4、 5、 6、…、n、…（n∈N*）
树木的分杈、花瓣的数量、 植物种子的排列......都遵 循了某种数学规律.
4-1 第二课时 数列的递推公式与数列的前n项和 课件-人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册
人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册
第四章 数列
4.1 数列的概念
第二课时 数列的递推公式与数列的前n项和
学习目标
1.了解递推公式是给出数列的一种方法.(重点) 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项.(重点) 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法和研究数列的单调性的方 法.(重点、难点)
证明如下：由 an＋1＝3an 得aan＋n 1＝3. 因此可得aa21＝3，aa32＝3，aa43＝3，…，aan－n 1＝3. 将上面的 n－1 个式子相乘可得aa21·aa32·aa43·…·aan－n 1＝3n－1. 即aan1＝3n－1，所以 an＝a1·3n－1， 又 a1＝2，故 an＝2×3n－1.
方法技巧
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)累差法：形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
(2)累乘法：形如aan＋n 1＝f(n)的递推公式，可以利用 a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝an(n≥2，n ∈N*)求通项公式.
学习任务二 由递推公式写出通项公式 [例 2] (链接教材第 8 页练习 3 题)(1)已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋n（n1＋1）， n∈N*，求通项公式 an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－1n)an－1(n≥2)，求通项公式 an.
解：(1)∵an＋1－an＝n（n1＋1）， ∴a2－a1＝1×1 2， a3－a2＝2×1 3， a4－a3＝3×1 4， … an－an－1＝（n－11）n.
[微点拨] 用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关 系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
第四章 数列
4.1 数列的概念
第二课时 数列的递推公式与数列的前n项和
学习目标
1.了解递推公式是给出数列的一种方法.(重点) 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项.(重点) 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法和研究数列的单调性的方 法.(重点、难点)
证明如下：由 an＋1＝3an 得aan＋n 1＝3. 因此可得aa21＝3，aa32＝3，aa43＝3，…，aan－n 1＝3. 将上面的 n－1 个式子相乘可得aa21·aa32·aa43·…·aan－n 1＝3n－1. 即aan1＝3n－1，所以 an＝a1·3n－1， 又 a1＝2，故 an＝2×3n－1.
方法技巧
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)累差法：形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
(2)累乘法：形如aan＋n 1＝f(n)的递推公式，可以利用 a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝an(n≥2，n ∈N*)求通项公式.
学习任务二 由递推公式写出通项公式 [例 2] (链接教材第 8 页练习 3 题)(1)已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋n（n1＋1）， n∈N*，求通项公式 an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－1n)an－1(n≥2)，求通项公式 an.
解：(1)∵an＋1－an＝n（n1＋1）， ∴a2－a1＝1×1 2， a3－a2＝2×1 3， a4－a3＝3×1 4， … an－an－1＝（n－11）n.
[微点拨] 用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关 系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
高中数学第4章数列的概念第2课时数列的通项公式与递推公式pptx课件新人教A版选择性必修第二册
知识点 2 数列{an}的前n项和 1．数列前n项和的概念
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的 前n项和，记作Sn，即Sn＝____a_1_＋__a_2＋__…__＋__a_n____.
2．前n项和Sn与an的关系 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式 子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
[规律方法] 由递推公式写数列的项 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的 关系，依次代入计算即可． (2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整 理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的 项的形式．
结构 an＝f(n)
an＝f(an－1)(n>1)
想一想：递推公式与通项公式有怎样的区别与联系？ 提示：(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的 数列都有递推公式． (2)用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前 几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示． 练一练：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则a5＝___1_3___.
对点训练❶ (1)在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n2an－1(n≥2)，
则 a5＝( B )
A．－136
B．136
C．－83
D．83
(2)数列{an}满足 an＋1＝1－a1n，且 a1＝2，则2
D．1
[解析] (1)由 an＝(－1)n2an－1 知 a2＝23，a3＝－2a2＝－43. a4＝2a3＝－83，a5＝－2a4＝136. (2)由 an＋1＝1－a1n及 a1＝2，得 a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可发现 数列{an}是周期为 3 的周期数列：2，12，－1,2，12，－1，…. 而 2 020＝673×3＋1，故 a2 020＝a1＝2.
4.1.2数列的递推公式和前n项和课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
【思考】数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
1 , = 1,
=
− −1 , ≥ 2.
题型3.根据数列的前n项和公式求通项公式
【例4】已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+2n，求{an}的通项公式.
S1
Sn − Sn−1
的通项公式.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，
即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求
通项公式.
注意验证 = 时是否满足.
题型2.根据数列的递推公式求通项公式
【例3】已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列
的通项公式.
1
【变式】若数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝
，n∈N*，a2 024=_______.
1－an
题型1.数列的周期性
【变式1】 数列{an }满足a1 =1Biblioteka A.2B.31
,a
2 n+1
=
1+an
1−an
C.−2
n ∈ ∗ ，则a2025 =(
A )
1
D.−
3
【变式2】在数列{an }中，a1 = 1，a2 = 3，a3 = 5，an an+3 = 1，则
0
log 5 a1 + log 5 a2 + ⋯ + log 5 a2029 =___.
题型2.根据数列的递推公式求通项公式
【例2】如何由a1 1, an 3an 1 (n 2, 且n N ), 得到an 3n 1 (n N ) ?
【思考】数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
1 , = 1,
=
− −1 , ≥ 2.
题型3.根据数列的前n项和公式求通项公式
【例4】已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+2n，求{an}的通项公式.
S1
Sn − Sn−1
的通项公式.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，
即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求
通项公式.
注意验证 = 时是否满足.
题型2.根据数列的递推公式求通项公式
【例3】已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列
的通项公式.
1
【变式】若数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝
，n∈N*，a2 024=_______.
1－an
题型1.数列的周期性
【变式1】 数列{an }满足a1 =1Biblioteka A.2B.31
,a
2 n+1
=
1+an
1−an
C.−2
n ∈ ∗ ，则a2025 =(
A )
1
D.−
3
【变式2】在数列{an }中，a1 = 1，a2 = 3，a3 = 5，an an+3 = 1，则
0
log 5 a1 + log 5 a2 + ⋯ + log 5 a2029 =___.
题型2.根据数列的递推公式求通项公式
【例2】如何由a1 1, an 3an 1 (n 2, 且n N ), 得到an 3n 1 (n N ) ?
数列的概念(第2课时 数列的递推公式)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
an＋an＋1＝an＋2.
斐波那契数列
二、目标展示
学习目标
1.通过实例理解数列的递推公式是表示数列的一种 形式，会用递推公式求出数列的前几项.
2.通过例题了解累加法和累乘法求数列通项公式的 方法.
核心素养
数学抽象 数学运算
逻辑推理 数学运算
预预习习检检测测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
课后练习
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
2.已知数列{an}满足 an＝an1－1＋1(n≥2，n∈N*)，若 a4＝53，则 a1 等于（ ）
A.1
B.32
C.2
D.85
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 023等于（ ）
第四章 §4.1 数列的概念
一、情情景境导引入入
一情、景情导境入引入
从第1个月开始, 以后每个月的兔子总 对数是 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
问题1：你发现这个数列的规律了吗？
一情、景情导境入引入 问题2：兔子的对数所的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
B.6
C.7
√D.8
因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1234
2.已知数列{an}满足 an＝an1－1＋1(n≥2，n∈N*)，若 a4＝53，则 a1 等于 （）
√A.1
斐波那契数列
二、目标展示
学习目标
1.通过实例理解数列的递推公式是表示数列的一种 形式，会用递推公式求出数列的前几项.
2.通过例题了解累加法和累乘法求数列通项公式的 方法.
核心素养
数学抽象 数学运算
逻辑推理 数学运算
预预习习检检测测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
课后练习
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
2.已知数列{an}满足 an＝an1－1＋1(n≥2，n∈N*)，若 a4＝53，则 a1 等于（ ）
A.1
B.32
C.2
D.85
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 023等于（ ）
第四章 §4.1 数列的概念
一、情情景境导引入入
一情、景情导境入引入
从第1个月开始, 以后每个月的兔子总 对数是 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
问题1：你发现这个数列的规律了吗？
一情、景情导境入引入 问题2：兔子的对数所的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
B.6
C.7
√D.8
因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1234
2.已知数列{an}满足 an＝an1－1＋1(n≥2，n∈N*)，若 a4＝53，则 a1 等于 （）
√A.1