定积分的概念与性质练习

第一节 定积分的概念与性质一、选择题1. A ；2. C . 二、填空题1. （1）1; （2）0; （3）4π. 2. （1）12x dx ⎰>130x dx ⎰， （2）21ln xdx ⎰ >()221ln x dx ⎰，（3）2xdx π⎰<20sin xdx π⎰，（4）43ln xdx ⎰ < ()423ln x dx ⎰.三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分221x dx -⎰是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无关.将区间[]0,1n 等分，得1i x n =，取() 1,2,,i ii n nξ==作和 ()2321113344001114n n n n ii i i i n n i S x i n nn n ξ---===+⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑ 于是 1lim 4n n S →∞=即 13014x dx =⎰.四、 细棒的质量()0lx dx ρ⎰.五、113x e dx -+⎰311x e dx +-=-⎰.设()()11,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，从而 ()()()13f f x f -≤≤，即141x e e +≤≤.于是 314144x e dx e +-≤≤⎰从而 141344x e e dx -+-≤≤-⎰.六、 设()()221,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点14x =. ()17101,,1482f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以 min ()f x =1, max ()f x =78.17≤≤, 由定积分性质，得120127≤≤⎰.第二节 微积分基本公式一、填空题1.2； 2. ()()33sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.二、 cos y x '= ； 0cos01x y ='==； 2cos02x y ππ='==.三、 ()220x t x d I x te dt xe dx--'==⎰， 令()0,I x '=得驻点0x =； 当0x <时，()0,I x '<当0x >时，()0,I x '> 所以， 当0x =时，函数()I x 有极小值.四、1. ()11340015sin cos cos144x x dx x x ⎡⎤+=-=-⎢⎥⎣⎦⎰；2.()[]22444000tan sec1tan 14xdx x dx x x ππππ=-=-=-⎰⎰；3.()[][]22200sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x πππππππ=+-=-+=⎰⎰⎰.4.()()122232121011612266xx x f x dx x dx dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 五、 222sin 0322000sin sin arctan cos arctan 1224limlim lim3312xx x x t x x dt x x x x →→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎰. 六、 当 0x <时，()000xF x dt ==⎰当 0x π≤<时，()()011sin 1cos 22xF x tdt x ==-⎰当 x π≥时，()01sin 012x F x tdt dt ππ=+=⎰⎰.故 ()()0, 011cos , 021, .x F x x x x ππ<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩七、设连续函数()f x 满足()()13,f x x f x dx =求()f x 的表达式解 设 ()1a f x dx =⎰所以 ()()1110003a f x dx x f x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰12031arcsin )22x a x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦3,24aa =- 得 65a =所以 ()3f x x =第三节 定积分的换元法和分部积分法一、填空题1. 51512；2. 3. 3324π； 4. 0.二、1. ()203sin x x dx π+⎰22233cos 128x x ππ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦.2.3333222223dx x ⎡==+=⎢⎣⎰⎰3. 3300tan ln cos ln 2xdx x ππ=⎡-⎤=⎣⎦⎰.4. (22330001252(1)1399xx x ⎡=+=+=⎣⎰⎰. 5.()2662200sec cos 14sin 15tan sec tdt tdt t t t ππ=++⎰ ()()()662002sin 11arctan 2sin 22812sin d t t t πππ===⎡⎤⎣⎦+⎰. 6.21-⎰=211--+⎰⎰214 =⎰220sin sin 4cos 1cos tx t tdt t π=+⎰令 ()2204cos cos t t dt π=-=⎰14(1)422ππ-•=-.三、1.ln3ln3ln3ln3000xxx xxe dx xdexe e dx ----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰ln3112ln 3ln 3333x e -⎡⎤=--=-+⎣⎦. 2.221111ln ln ln 222e eee x x x x xdx xd x dx ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()222111244ee x e ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦3. ()12221120001arctan arctan 2221x x x x x x dx x dx x⎡⎤+=+-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ ()[]21120011111111arctan 24212424x dx x x x πππ+-⎛⎫⎛⎫=+-=+--= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰. 4.1111ln ln ln eee ex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰[][]()1111ln ln 21eex x x x x x e -=--++=-.5.()11sin ln ln sin et x dx x t e tdt =⎰⎰令11111sin sin cos sin1cos sin t t t t te tdt e t e tdt e e t e tdt ⎡⎤⎡⎤=-=--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰10sin1cos11sin t e e e tdt =-+-⎰所以()1sin ln ex dx ⎰1(sin1cos11)2e e =-+ 6. 044422022sin sin sin 111x x xxx x e e e xdx xdx xdx e e e ππππ--=++++⎰⎰⎰ 令x t =- ，0044420221sin sin sin 111x tx t x e e xdx tdt xdx e ee πππ---=-=+++⎰⎰⎰ 所以 4444222200021sin sin sin sin 111x xxx x e e xdx xdx xdx xdx e e e πππππ-=+=+++⎰⎰⎰⎰ 31342216ππ==. 四、解 设1,x t -= 则 dx dt = 所以()2110110111()11t f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ []()001011ln(1)ln(1)ln 2ln 11t tte dt t e e e -----⎡⎤=++=-++=+⎣⎦+⎰. 五、证明 右边()()()12ba x a xb df x '=--⎰()()()()()11[]222b ba ax a x b f x x a b f x dx ''=-----⎰()()()1[2]2b ba a x ab f x f x dx =--+⎰()baf x dx =⎰=左边.第四节 反常积分一、是非题1. 错2. 错3. 正确4. 错. 二、解 1.[]111ln(1)1dx x x+∞+∞=+=+∞+⎰. 所以 这反常积分发散.2. 00ln(1)ln 21x xxe dx e e -∞-∞⎡⎤=+=⎣⎦+⎰. 所以 这反常积分收敛，其值为ln 2.3.(1110lim 11x -→⎡==+=⎣⎰. 所以 这反常积分收敛，其值为1.4.20222220202211111111sin sin sin cos cos dx dx dx x x xx x x x x ππππππ---⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 001221lim cos cos cos lim cosx x x xππ-+→→=++- 因为 0011lim cos lim cos x x x x-+→→和不存在 故 这反常积分发散. 5.()02222xx x xx x e dx xe dx xe e +∞+∞+∞-----∞⎡⎤+==--=⎣⎦⎰⎰.所以 这反常积分收敛，其值为2.6.()222ln 11ln ()211x xdx xd x x =-++⎰⎰ 22ln 112(1)2(1)x dx x x x =-+++⎰22ln 11()2(1)21x xdx x x x=-+-++⎰222ln 1ln 2(1)41x x C x x =-++++于是()202ln 1x x dx x +∞+⎰2220ln 1lim ln 2(1)41bb x x x x εε+→+∞→⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦ 2222220ln ln 11lim ln ln 2(1)2(1)4141b b b b b εεεεε+→+∞→⎡⎤=-++-⎢⎥++++⎣⎦ 2220ln 1lim ln(1)02(1)4εεεεε+→⎡⎤=-+++=⎢⎥+⎣⎦. 所以 这反常积分收敛，其值为0.三、解()()1ln(ln ), 1ln 1(ln ), 1ln ln 1kkk x C k dxd xx C k x x x k -++=⎧⎪==⎨+≠⎪-+⎩⎰⎰当时当时 当1k =时()[]22ln(ln )ln kdx x x x +∞+∞==+∞⎰，此反常积分发散.当1k ≠时()()11-22, 11(ln )11ln 21ln -1k kkk dx x k k x x k +∞+∞-+∞<⎧⎪⎡⎤==⎨⎢⎥->⎣⎦⎪⎩⎰当时,当时， 所以 当1k ≤时， 此反常积分发散当1k >时， 此反常积分收敛，其值为()1-1ln 2-1k k . 令 ()()1-1-11ln 2 ln 2 -1-1kk f k a a k k ==设 ()111(ln )11k f k a a k k -'=-+--令 ()0f k '=，得驻点 11ln ln 2k =-()2211[1(1)ln ](1)k k a f k k a -++-''=-13ln 211(ln ln 2)(ln 2)0ln ln 2f ⎛⎫''-=-> ⎪⎝⎭因而 ()f k 在11ln ln 2k =-点取得最小值.。