《用二分法求方程的近似解-》导学案.doc

《§3.1.2用二分法求方程的近似解》导学案

高一数学组编写人：刘慧影审核人：房淑萍使用日期：

【学习目标】：

1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

【学习重、难点】

学习重点:：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

学习难点：为何由I a — b丨＜￡便可判断零点的近似值为3(或b)?

【学法指导及要求】：

1、认真研读教材P89-P9I页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道

习题，不会的先绕过，做好记号；

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错

题本上，多复习记忆。

【知识链接】

1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

(1)对于函数y = /(x),我们把使__________ 的实数兀叫做函数y = /(x)的零点.

(2)方程/(x) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与x轴________________________ o函数

y = /⑴ ___________ ?

(3)如果函数)u /(x)在区间［a,b］上的图彖是连续不断的一条曲线，并且

有______________ ，那么，函数y = /O)在区间(“)内有零点.

【学习过程】

%1.自主学习

探究任务：二分法的思想及步骤

问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.

解法：

第一次，两端各放______ 个球，低的那一端一定有重球；

第二次，两端各放________个球，低的那一端一定有重球；

第三次，两端各放______ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

%1.合作探讨

思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求)=lnx + 2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？

一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

区间端点的符号中点的值中点函数值的符号(2, 3)f(2)v0, f(3)>0 2.5f(2.5)<0

(2.5,3)f(2.5)v0, f(3)>0 2.75f(2.75)>0

(2.5,2.75)f(2?5)v0, f(2.75)>0 2.625f(2.625)>0

(2.5,2.625)f(2.5)<0, f(2.625)>0 2.5625f(2.5625)>0

2.53125f(2.53125)<0

(2.5,2.5625)f(2.5)v0,

f( 2.5625)>0

(2.53125, 2.5625)f(2.53125)v0,

2.546875f(2.546875)>0

f( 2.5625)>0

2.5390625f(2.5390625)>0

(2.53125,2.546875)f(2?53125)v0,

f(2.546875)>0

(2.53125,2.5390625)f(2.53125)v0,

2.5351562 5f(2.53515625)>0

f(2.5390625)>0

请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：(1) X2-2X-1=0；(2) lgx=3-x； (3)

X3-3X-1=0O实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。认真阅读P89-90页，回答下面问题

(1) 什么是二分法？

(2)用二分法可求所有函数零点的近似值吗？得用二分法求函数零点必须满足什么条件?

(3)为什么由丨a — b丨＜￡便可判断零点的近似值为8 (或b) ?

注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区I'可，根据所要求的精确度, 用此区I'可的某个数值近似地示真正的零点。

(2) “二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。

3.给定精确度￡,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

(1)确定 ____________________ , 验证_____________________ ，给定______________ ;

(2)求区间；

⑶计算____________________ ;①若__________________________ ，则C就是函数的零点；

%1若___________________ ，则令___________________ (此时零点x o e (a, c))；

%1若___________________ , 则令_______________________ (此时零点x()w(c, b)) o

(4)判断是否达到精确度e :即若 ______________ ,则得到零点近似值肌或b)；否则重复⑵?

⑷.

4.求函数零点的近似值时，所要求的_________________ 不同，得到的结果也不相同，精

确￡是指在计算过程中得到某个区间”后，若___________________ ,即认为己达到所要求

的精确度，否则应继续计算，直至u ______________ 为止。

5.用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程屮所得到的各

个__________ 、___________ 、___________ 等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点

所在区间。

三.巩固练习

1.下列各函数均与X轴相交，则不能用二分法求零点的是( )

归纳反思：判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是 ,且该零点为变号零

点.因此，用二分法

求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用?

2.用二分法求图象是连续不断的函数(x)在XG(1,2)内零点的近似值的过程中，得到

f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0,则函数的零点落在区间( )

A、(1, 1.25)

B、(1.25, 1.5)

C、(1.5, 2)

D、无法确定

3.方程log3x4-x = 3的近似解所在区间是( )

A (0, 2)

B (1, 2)

C (2, 3)

D (3, 4)

4.下列函数，在指定范围内存在零点的是( )

A. y = x2-x xE (-°° , 0)

B. y =| x | -2 xG [一1, 1]

C. y = — 5 xG [1,2]

D. y = x3 -1 xE ( 2, 3 )

例1利用二分法求方程2” +3兀=7的近似解.

例2.借助图象求方程lnx + x = 2的近似解区间

练2、.求函数f(x) = x3+x2-2x-2的一个正数零点(精确到0.1)

【归纳小结】

1.请学生冋顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些;