拉氏变换表(包含计算公式)
[新版]laplace拉氏变换公式表
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附录A拉普拉斯变换及反变换3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(l i m s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i ec -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为[])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
拉氏积分变换L
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
(完整版)典型常见函数拉氏变换表
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
L
d dt
f
(t)
SF(s)
f
(0)
L
d
2f dt
(t
2
)
S 2F(s)
Sf (0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
Lf (t)g(t)= F sGs
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
典型常见时间函数拉氏变换表
序号 5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …) e -at
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换4194204213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；422其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉普拉斯变换及Z变换表
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
s s1
c r 1 lim
z 2 ze aT cos T z 2 ze aT cos T e 2 aT
2
sa (s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
z za
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1)3
lim (1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
1 s n 1
1 sa
tn n!
e at te
at
1 (s a) 2
a s(s a) ba ( s a )( s b)
F (s)
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 A( s ) a n s n a n 1 s n 1 中系数 a 0 , a1 ,..., a n 1 , a n ， b0 , b1 , bm 1 , bm 都是实常数； m , n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
表a2常用函数的拉氏变换和z变换表拉氏变换es时间函数et42112用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开然后逐项查表进行反变换
(2021年整理)Laplace拉氏变换公式表
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附录A 拉普拉斯变换及反变换1。
表A—1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时,F （s ）可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A （s ）＝0的根。
i c 为待定常数,称为F （s ）在i s 处的留数,可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2) 或iss i s A s B c ='=)()( (F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
拉氏变换定义 计算 公式及常用拉氏变换反变换
拉氏变换定义计算公式及常用拉氏变换反变换拉氏变换定义计算公式及常用拉氏变换反变换拉氏变换定义.计算.公式及常用拉氏变换反变换****拉普拉斯转换及反华转换****定义：如果定义：就是一个关于的函数，使当就是一个为丛藓科扭口藓变量；是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯转换由以下式子得出：2．表a-2常用函数的拉氏变换和z变换表3．用换算法展开拉氏反华转换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设f(s)是s的有理真分式b(s)bmsm bm1sm1b1s b0f(s)（n m）a(s)ansn an1sn1a1s a0式中系数a0,a1,...,an1,an，b0,b1,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。
按代数定理可将f(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
①a(s)0无重根这时，f(s)可以进行为n个直观的部分分式之和的形式。
cicncc1c2f(s)i（f-1）s s1s s2s sis sni1s si式中，s1,s2,,sn就是特征方程a(s)＝0的木。
ci为未定常数，称作f(s)在si处的留数，可以按下式排序：或ci lim(s si)f(s)（f-2）a(s)s s式中，a(s)为a(s)对s的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（f-1）可求得原函数n nci stf(t)l f(s)l＝(f-4)ce ii1s si i1a(s)0有重根设a(s)0存有r重根s1，f(s)展毛为(s s1)(s sr1)(s sn)cicncrcr1c1cr1rr1(s s1)(s s1)(s s1)s sr1s sis sn式中，s1为f(s)的r重根，sr1，…,sn为f(s)的n-r个单根；其中，cr1，…,cn仍按式(f-2)或(f-3)排序，cr，cr1，…,c1则按下式排序：cr lim(s s1)rf(s)cr1lim[(s s1)rf(s)]dslim(j)(s s1)rf(s)(f-5)j!s s1ds1d(r1)c1lim(r1)(s s1)rf(s)(r1)!s s1ds原函数f(t)为f(t)lcrcicn cr1c1cr1l1rr1(s s1)s sr1s sis sn(s s1)(s s1)crtr1cr1tr2c s1(r1)!r2)!2t c1 e i ciest(r1。
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1
拉氏变换及反变换公式
1. 拉氏变换的基本性质 1
线性定理
齐次性
)()]([s aF t af L =
叠加性
)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±
2
微分定理
一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑
1
1
)
1()
1(1
2
2
2
)
()()
0()()
(0)0()(])
([)
0()(])([k k k k n
k k
n n
n
n
dt
t f d
t f
f
s
s F s dt
t f d
L f sf s F s dt t f d
L f s sF dt t df L ）
（
初始条件为0时
)(])
([
s F s dt
t f d
L n
n
n
=
3 积分定理
一般形式
∑
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+
=
+
=
n
k t n
n k n n
n
n t t t dt t f s
s
s F dt t f L s
dt t f s
dt t f s
s F dt t f L s dt t f s
s F dt t f L 1
1
2
2
2
2
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共
初始条件为0时
n
n
n s
s F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个
共
4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts
-=--
5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=
7 初值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
8 卷积定理
)()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =-=-⎰⎰τττττ
2
2． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t)
1
2 Ts
e
--11
∑∞
=-=
)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 2
1s
t
2
)
1(-z Tz
5 3
1s
2
2
t
3
2
)
1(2)
1(-+z z z T
6 1
1+n s
!
n t
n
)(
!
)1(lim
aT
n
n n
a e
z z
a
n -→-∂∂
-
7 a
s +1 at
e
- aT
e
z z -- 8 2
)
(1a s + at
te
- 2
)
(aT
aT e
z Tze --- 9 )(a s s a + at
e
--1 )
)(1()1(aT
aT
e
z z z
e
-----
10 )
)((b s a s a
b ++- bt
at
e
e
---
bT
aT
e
z z e
z z ----
- 11 2
2
ω
ω
+s t
ωsin 1
cos 2sin 2
+-T z z T z ωω
12 2
2
ω
+s s t
ωcos
1
cos 2)cos (2
+--T z z T z z ωω
13 2
2)(ω
ω
++a s t e
at
ωsin - aT
aT aT
e
T ze
z T ze
22cos 2sin ---+-ωω 14 2
2
)(ω
+++a s a s
t e
at
ωcos -
aT
aT
aT
e
T ze z
T
ze
z 22
2
cos 2cos ---+--ωω
15
a
T s ln )/1(1-
T
t a
/
a
z z
-
3
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
11
10111)
()()(a s a s
a s a
b s b s
b s
b s A s B s F n n n
n m m m m ++++++++==
---- （m n >）
式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑
=-=
-+
+-+
+-+
-=
n
i i
i n
n i
i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1
2
21
1)(
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)()(lim s F s s c i s s i i
-=→
或
i
s s i s A s B c ='=
)
()(
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n
i i i
e c -=∑1
② 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=+
=n
n i
i r r r r r
r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+
+-+
+-+
-+
+-+
-++-- 1
1111111)
()
()
(
式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
4
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r
s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d c r
s s r -=→-
)()(lim
!11)
()(1s F s s ds
d
j c r
j j s s j r -=
→- (F-5)
)()(lim
)!1(1
1)
1()1(11s F s s ds
d
r c r
r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11111
1111
)()()
( t
s n
r i i
t s r r r r i e
c e c t c t r c t r c ∑+=---+
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=1
122
111
)!2()!1( （F-6）。