拉氏变换1(重点)
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拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
第2节拉氏变换1
[
− αt
f (t ) = F (s + α )
]
[
− αt
cos ωt
]
s +α cos ωt = 2 2 (s + α ) + ω
s L[cos ωt ] = 2 s +ω2 Le
[
−αt
]
5
延时定理
L[ f (t − α ) ⋅1(t − α )] = e
f (t ) ⋅ 1(t )
−αs
F (s )
f (t − α ) ⋅ 1(t − α )
0
0
α
6 初值定理
lim
t →0+
f (t ) = lim sF (s )
s→∞
例：
ω 求 lim sin ωt = lim s ⋅ 2 =0 2 s +ω s→∞ t →0
+
7 终值定理
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞ s→0
∞ 0
− σt
dt < ∞，其中 σ — 正实数
∞
∫
0
x (t ) e
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
∞ 0 − st
1
0
t
1 − st ∞ 1 dt = − e = s 0 s
拉普拉斯变换
e −σ ⋅t , t ≥ 0 定义函数：ϕ (t ) = 0, t < 0
+∞
拉氏积分变换L
代入初始条件，得：
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
第1节 拉氏变换概念及性质
注意 : 若f1 (t ) f 2 (t )，a b，则其ROC为整个S平面 若两信号之差过程发生零极点相抵消的情况, 收敛域可能扩大 .
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j
(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt
n!
n
5、 (t) 的导函数
s
e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j
(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt
n!
n
5、 (t) 的导函数
s
e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s
拉氏变换
确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换1例题及详解
2021/11/7
自动控制原理
17
６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
2021/11/7
I(s) R
u=Ri
U(s) RI(s)
U(s)
-
uL
L
diL dt
IL(s) sL
UL(s)
UL (s) sLIL (s)
1
uC C
t
0 iC dt
I C(s)1/sC
自动控制原理
UC(s)
UC(s)
1 sC
IC (s)
26
作业： 求拉普拉斯变换
1. f (t) 0.5(1 cos3t)
L[ f (t t0 )u(t t0)] est0 F (s)
2021/11/7
自动控制原理
12
例1： f(t) 1
Tt 例2： f(t)
T
f (t) u(t) u(t T )
F(s) 1 1 esT ss
f (t) t[u(t) u(t T )]
T
f (t) tu(t) (t T )u(t T ) Tu(t T )
2
2021/11/7
自动控制原理
22
3.F2 (S )有相等的实根(重根)
F(s)
F1(s) (s s1)2
k1 s s1
k2 (s s1)2
F(s)(s s1)2 k1(s s1) k2
自动控制原理第一讲_拉氏变换
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
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1 sn
F(s)
4．初值定理
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
5．终值定理
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：已知
F(s)
s(s2
5 s
，求f(t)的终值。
2)
f
()
lim
t
f
(t)
lim
s0
sF ( s)
lim
s0
s2
5 s
2
5 2
二、拉氏反变换及其计算方法
3.积分定理
L
f
(t)dt
1 F(s) s
1 s
f
(1) (0 )
式中 f (1)(0 ) 为 f (t）dt 在t时间坐标轴的右端
趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
L
f (t )(dt )2
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0 ) 1 s
f (2) (0 )
L f (t )(dt )n
补充
微分方程→代数方程
一、拉氏变换及其特性
（一）拉氏变换的定义
时间函数f(t)，当t<0时， f(t)=0， t≥0时， f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为
L f (t) F(s) f (t)estdt 0
式中 s= + j j 虚数单位
L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。
1
s as b
s
s as b
1
ss as b
序号
f(t)
F(s)
13
e at sin t
s a2 2
14
e at cos t
sa
s a2 2
15
1 a2
(at
1
e at
)
1
s2 s a
16
n 1
2
e n t sinn
1 2t
n2 s2 2ns n2
序号
f(t)
F(s)
(s
bm sm bm1sm1 bm2 sm2 p1 )r (s pi )(s pj )L L
L[x(t)] X (s)
L[ y(t)] Y (s)
L[m(t)] M (s)
L[n(t)] N (s)
序号 1 2 3 4 5 6
常用函数的拉氏变换对照表
f(t)
F(s)
(t)单位脉冲函数
1(t) 单位阶跃函数u(t) t 单位斜坡函数r(t)
e at te at sint
1
1
s 1 s2 1
d 3 y d 2 y dy
dx
5
dt 3
6
dt 2
dt
2y 4 dt
x
解：利用线性定理和微分定理，可得
5s3Y (s) 6s2Y (s) sY (s) 2Y (s) 4sX(s) X(s)
(5s3 6s2 s 2)Y (s) (4s 1)X (s)
Y (s)
4s 1
X(s) 5s3 6s2 s 2
2．微分定理
L
df (t) dt
sF(s)
f
(0 )
式中f(0+)表示当t在时间坐 标轴的右端趋于零时的f(t) 值，相当于初始条件。
d2 f (t)
L
dt 2
s2F(s)
sf
(0 )
f
(1)(0 )
dn f (t)
L
dt n
snF(s) sn1
f (0 ) sn2
f
(1)(0 )L
s2
2
,
L cos t
s2
s
2
eatsint
s a2 2
eatcost
sa
s a2 2
（二）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t) f2(t)] L[ f1(t)] L[ f2(t)] F1(s) F2(s)
L[kf (t)] kL[ f (t)] kF(s)
sf
(n2)(0 )
f
(n1)(0 )
式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f
L
d
n f (t)
dt n
snF (s)
(n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各 阶导数在t时间坐标轴的右端
趋于零时的 f(t) 值，如果所
有这些初值为零，则
例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各 阶导数初值为零。
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
tn(n 1，2，3，L )
9
t en at (n 1，2，3，L )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
b
beat aebt
F(s)
s
s2 2
n! sn1 n!
s an1
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就
称为拉氏反变换，计作 L1 F(s) f (t)
L1[F (s)] f (t) 1 r j F (s)estds
2 j r j
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
s
17
1 2
s2 2ns n2
arctan
1
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
n2
18
1 2
s
s2
2n
s
2 n
arctan
根据表格直接写出结果
L (t) 1,
L1(t) 1 ,
s
Lt
1 s2
L
eat
s
1
a
,
L
eat
s
1
a
Lsin t
x(t) L1[ X (s)]
y(t) L1[Y (s)]
m(t) L1[M (s)]
n(t) L1[N (s)]
(二).拉氏反变换的计算方法
1.查表法
LLL111111(((ttt))),,, LLL11111ss1s111(((ttt))),,, LLL111ss11s1222ttt
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
1
1
sn F(s) sn
f
(1) (0 )
1 sn1
f (2) (0 ) ....... 1 s
f (n) (0 )
式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的 各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有
L
Hale Waihona Puke f(t)dt
n
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
F(s)
B(s) A(s)
bm sm bm1sm1 bm2sm2 b1s b0 ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0