常用函数的拉氏变换[1]
基本函数的拉氏变换
基本函数的拉氏变换引言：在探索基本函数的拉普拉斯变换之前，首先需要了解什么是拉普拉斯变换以及其在数学和工程学中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学方法，用于解决微分方程。
它将一个函数从时间域转换到复频域，从而让我们可以更轻松地处理微分方程的操作。
它提供了一个重要的数学工具，用于求解控制系统和信号处理等应用中的许多问题。
本文将阐述基本函数的拉普拉斯变换，主要包括单位阶跃函数、单位冲击函数、指数函数和正弦函数的拉普拉斯变换表达式及其应用。
一、单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数一般表示为u(t)，表示斜坡从0到1的标准阶跃，如图1所示。
阶跃函数在控制系统中具有重要的作用。
单位阶跃函数通常被用作激励输入来测试系统的性能。
拉普拉斯变换后，单位阶跃函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{u(t)\}={1\over s}$$二、单位冲击函数的拉普拉斯变换单位冲击函数一般表示为δ(t)，表示在t=0时刻的无穷大脉冲信号，如图2所示。
冲击函数在控制系统中也具有重要的作用。
在线性系统中，冲击响应又称为单位脉冲响应或简称脉冲响应。
拉普拉斯变换后，单位冲击函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\delta(t)\}=1$$三、指数函数的拉普拉斯变换指数函数一般表示为e-at，其中a为常数，表示一个衰减的曲线，如图3所示。
指数函数在控制系统和信号处理中常常用于表示衰减或增加的信号。
拉普拉斯变换后，指数函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{e^{-at}\}={1\over s+a}$$当a>0时，指数函数随时间的增长而不断衰减。
而当a<0时，指数函数随时间的增长而不断增加。
四、正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数一般表示为sin(ωt)，其中ω为常数，描述一个振荡信号，如图4所示。
正弦函数在控制系统和信号处理领域中也广泛应用。
拉普拉斯变换后，正弦函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\sin\omega t\}={\omega\over s^2+\omega^2}$$这里我们用欧拉公式将正弦函数转换为指数函数的形式，即：$$\sin\omega t={e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\over 2j}$$用欧拉公式可以对任意角频率的函数进行拉普拉斯变换。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
拉氏变换常用公式
时常使用推普推斯变更归纳之阳早格格创做1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 战a 为常数.2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数.3、单位阶跃函数4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数.A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，爆收正在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）5、单位斜坡函数6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数.根据欧推公式：推式变更为： 共理余弦函数的推式变更为：22]cos [ωω+=s Ast A L7、脉动函数t t t t t t At f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=00,000)(，其中，A 战t 0为常数.脉动函数不妨瞅干是一个从t ＝0启初的下度为A /t 0的阶跃函数，取另一个从t ＝t 0启初的下度为A /t 0的背阶跃函数叠加而成.8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况.9、单位脉冲函数劈里积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或者称为狄推克(Disac)函数，量值为无贫大且持绝时间为整的脉冲函数杂属数教上的一种假设，而没有成能正在物理系统中爆收.然而是，如果系统的脉动输进量值很大，而持绝时间取系统的时间常数相比较非常小时，不妨用脉冲函数来近似天表示脉动输进.当形貌脉冲输进时，脉冲的里积大小利害常要害的，而脉冲的透彻形状常常本来没有要害.脉冲输进量正在一个无限小的时间内背系统提供能量.单位脉冲函数)(0t t -δ不妨瞅做是单位阶跃函数u （t-t 0）正在间断面t=t 0上的导数，即差异，如若对于单位脉冲函数)(0t t -δ积分：积分的截止便是单位阶跃函数 u （t-t 0）利用脉冲函数的观念，咱们不妨对于包罗没有连绝面的函数举止微分，进而得到一些脉冲，那些脉冲的量值等于每一个相映的没有连绝面上的量值.10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数. 推氏变更为：当A=21时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，爆收正在t=t 0时刻的加速度函数常常写成)(0t t a -，图像如下：11、单位加速度函数：。
(完整版)典型常见函数拉氏变换表
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
L
d dt
f
(t)
SF(s)
f
(0)
L
d
2f dt
(t
2
)
S 2F(s)
Sf (0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
Lf (t)g(t)= F sGs
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
典型常见时间函数拉氏变换表
序号 5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …) e -at
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式
拉氏变换是一种常用的数学方法，它可以用来求解方程的根。
它最初由拉氏在1877年提出，用于解决线性方程组。
它的基本思想是：将方程分解为两个简单的子问题，然后用递归方法进行求解。
拉氏变换的基本公式是：
Xn+1=f(Xn)
其中，Xn为当前迭代的值，f(Xn)为函数，是一个由Xn生成新值的函数。
拉氏变换最常用于解决非线性方程，其原理是：通过迭代不断更新Xn,使得当前迭代的值Xn+1接近满足方程的解，从而解决方程。
拉氏变换的基本步骤是：
(1)选择一个初始值XO;
(2)计算新值Xn+1=f(Xn);
(3)以Xn+1替换Xn,重复上述步骤，直至满足要求的精度；
(4)最后得到的Xn+1即为方程的解。
拉氏变换具有优越的收敛性，但是它运算较慢，而且容易陷入局部
最小值，因此经常需要多次迭代。
拉氏变换虽然有一定的局限性，但是它仍然是一种重要的数学方法,在计算机科学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解非线性方程、求解最优化问题等。
总之，拉氏变换是一种优越的数学方法，在计算机科学和工程学等领域有着重要的应用。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。
本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。
1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。
它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。
2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。
这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。
详细的运算规则可以参考相应的数学教材。
3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。
3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。
通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。
3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。
通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。
3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。
通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。
综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换4194204213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；422其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
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附录A 拉普拉斯变换及反变换
419
420
421
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
1110
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=
=---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i
-=→ （F-2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n i i i
e c -=∑1
(F-4)
②
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=
+ =
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11
111
111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
422
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→- )()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()
( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）。