拉氏变换常用公式
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常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
00)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae
t f t
α，其中，A 和a 为常数。
α
ααα+=
==⎰⎰∞
+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st
t t
)(0
d d ][ 2、阶跃函数
00)(><⎩⎨
⎧=t t A
t f ，其中，A 为常数。
s
A t Ae A L st =
=⎰∞-0
d ][ 3、单位阶跃函数
001
0)(><⎩⎨
⎧=t t t u
s t e t u L st 1d )]([0
=
=
⎰
∞
-
4、斜坡函数
00
)(≥<⎩⎨
⎧=t t At
t f ，其中，A 为常数。
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
Ae s
e At
t Ate At L st
st st
2
0d s
A t e s A st ==⎰∞-
A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
t f
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
e s
e t
t te t L st
st st
2
01d 1s t e s st ==
⎰∞-
6、正弦函数
0sin 0
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
A t f ω，其中A 为常数。
)
(t f t
图2.3正弦函数和余弦函数
)
(t f t
(a)
(b)
根据欧拉公式： 拉式变换为：
2
2
01212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t
e e e j A t A L st
t j t j
同理余弦函数的拉式变换为：2
2]cos [ωω+=s As
t A L
7、脉动函数
t
t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000
,000
)(，其中，A 和t 0为常数。
脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始
的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。
)()()(00
0t t u t A
t u t A t f --=
)1()()()]([00000000st st e s
t A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )(21
sin t j t
j e e j
t ωωω--=
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
t
t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆
=→∆,000
lim )(0
[]
()
A s As
s e A e s A t g L s s ==∆∆
-∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )
1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
1
d )(0)(-0000=-⎩⎨
⎧=∞≠=-⎰
∞
∞
t t t t t t t t t δδ
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即
)(d d
)(00t t u t
t t -=
-δ 相反，如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：
)(d )(0
t t u t t t t
t -=-⎰δ
积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。
10、加速度函数
00
)(2
<≥⎩⎨
⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。
拉氏变化为：
3
00
20
221
2d 2d ][s A
t te e t s A t e At At L st st
st =⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=
=⎰⎰∞
-∞-∞
-
当A=
2
1
时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -，图像如下：
)t 0
t 图单位加速度函数
(a)
(b)
8642
1234
11、单位加速度函数：
02
10)(2
≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a
3
20
221d 211d 2
1)(21s
t te
e t s t e t t u t L st
st st
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-
==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎰
⎰
∞
-∞
-∞
-