拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1） 定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换：正变换 ()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。

0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。

0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。

（3） 原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=⎰（4） 延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+（6） 尺度变换若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()sf at F a aζ=（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9） 卷积定理若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换（1） 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。

（2）留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算，即(1)11[()]()()[()]22j st stst j cF s F s e ds F s e ds F s e j j σσζππ+∞--∞===∑⎰⎰Ñ极点的留数若i p 为一阶级点，则在极点i s p =处的留数21[()()]insti i i s p i r s p F s e X ===-∑若i p 为k 阶级点，则111[()()](1)!ik k st i i s p k d r s p F s e k ds-=-=--4. 系统函数（网络函数）H （s ）（1） 定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即()()()zs R s H s E s =冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对，即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jwH jw H s H jw e ϕ===式中，()H jw 是幅频响应特性，()w ϕ是相频响应特性。

（2） 零极点分布图1212()()()()()()()()()m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s p ---==---L L 式中，K 是系数；1z ，2z ，L m z 为()H s 的零点；1p ，2p ，L ，n p 为()H s 的极点。

在s 平面上，用“d ”表示零点，“X ”表示极点。

将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图。

对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。

（3） 全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。

全通网络函数的幅频特性是常数。

（4） 最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴，则称这种函数为最小相移函数。

具有这种网络函数的系统为最小相移网络。

（5） 系统函数()H s 的求解方法①由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。

②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()()()zs R s H s E s =获得。

③根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。

5. 系统的稳定性若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。

（1）稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞-∞≤⎰（充要条件） ①若系统是因果的，则①式可改写为0()h t dt M +∞≤⎰（2） 对于因果系统，其稳定性的s 域判决条件①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面，则该系统稳定；②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。

内容摘要例题·例题1：求拉氏变换·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质·例题3：拉氏变换的微分性质·例题4：系统函数，求解系统的响应·例题5：用拉氏变换法分析电路·拉氏变换的定义和收敛域二．单边拉氏变换逆变换的求法部分分式展开法三．拉氏变换的基本性质 四．用拉普拉斯变换法分析电路五．一.拉普拉斯求下列函数的拉氏变换 ()()1-=t tu t f分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()s F 表示()t f 单边拉氏变换,以()s F B 表示()t f 双边拉氏变换。

若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。

单边拉氏变换只研究0≥t 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。

本例只讨论时移定理。

请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。

解答()()[]()()()[]s s st u t u t L t tu L s F -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+--=-=e 1111112例4-2求三角脉冲函数)(f t 如图4-2（a ）所示的象函数分析和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。

()⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其他 02t 121t 0t t tf方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于()()()()22222222110101010210e 11e 1e 2e 2e 21e 1e 1d e d e 2d e 1e 1d e 2d e d e sss s s s s st st st st stst sts s s s s s s s tt t t s s t t t t t t t f s F -------------∞--=-++-+--=-++⎪⎭⎫⎝⎛-=-+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----()()()()()()22112--+---=t u t t u t t tu t f ()[]()[]()0e 102st s F t t f L s t tu L -=-=于是方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。

将()t f 微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示。

显然根据微分性质由图4-2（b ）可以看出()()()2222e 11e e 211ss s sss F ----=+-=2()()()()[]()222e 1212d d st δt δt δL t t f L --=-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡()()()()---'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d 222sf f s F s t t f L于是方法四：利用卷积性质求解()t f可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲()t f1自身的卷积于是，根据卷积性质而所以例4-3应用微分性质求图4-3（a）中的象函数下面说明应用微分性质应注意的2(),00=-f()00='-f()()22e1ssFs--=()()22e11sssF--=()()()t ftftf11*=()()()sFsFsF11=()()sssF--=e111()()22e11sssF--=图4-2（c）()()t ftftf321),(,(),1tf()()()t ftftf321,,'''图4-3（a ）解答说明（1）对于单边拉氏变换, ()()(),21t u t f t f =由于故二者的象函数相同，即图4-4（b)()()s s F s F 321==()()()()()，因而，但虽然t f t f s F s F 21212≠=()[]()[]t f L t f L 21'≠'()()，故，由于对于0011=-f t f ()[]()301=-='s sF t f L ()()，故，由于对于2022=-f t f ()[]()122=-='s sF t f L ()()()()()，，一阶导数相同，但和虽然002033232==--f f t f t f 因此()()()()2d 0d 0202+=+=⎰⎰---x x δf x x δt f tt因而这是应用微分性质应特别注意的问题。