Laplace拉氏变换公式表

419

附录A 拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1拉氏变换的基本性质1

线性定理

齐次性)

()]([s aF t af L =叠加性

)

()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式

=

−=][ ′− −=−=−−−−=−∑1

1

)1()

1(1

22

2)

()()

0()()(0)0()(])([)0()(])

([

k k k k n

k k n n n

n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ⋮）（初始条件为0时

)(])([s F s dt

t f d L n n

n =3

积分定理

一般形式

��∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=+

+=+=

n

k t n n k n n n

n t t t dt t f s s s F dt t f L s

dt t f s dt t f s s F dt t f L s

dt t f s s F dt t f L 10

102

2022

]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个

共个

共⋯⋯⋮初始条件为0时

�

n

n n s

s F dt t f L )

(]))(([=∫∫个

共⋯4延迟定理（或称t 域平移定理）)

()](1)([s F e T t T t f L Ts −=−−5衰减定理（或称s 域平移定理）)

(])([a s F e t f L at +=−6终值定理)

(lim )(lim 0

s sF t f s t →∞

→=7初值定理)

(lim )(lim 0

s sF t f s t ∞

→→=8

卷积定理

)

()(])()([])()([210

210

21s F s F d t f t f L d f t f L t

t =−=−∫∫τττττ

420

2．表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号

拉氏变换E(s)

时间函数e(t)

Z 变换E(z)

11

δ(t)12Ts

e −−11∑∞

=−=0)

()(n T nT t t δδ1−z z 3s

1)(1t 1

−z z 42

1s t

2

)1(−z Tz 53

1s 2

2t 3

2)1(2)1(−+z z z T 61

1

+n s !n t n )(!)1(lim 0aT

n n n a e z z a n −→−∂∂−7a

s +1at e −aT

e z z

−−82)(1a s +at

te

−2

)(aT aT e z Tze −−−9)(a s s a +at

e

−−1)

)(1()1(aT aT e z z z e −−−−−10)

)((b s a s a b ++−bt at e e −−−bT aT e z z

e z z −−−−

−112

2ωω+s t ωsin 1

cos 2sin 2+−T z z T

z ωω122

2ω+s s t

ωcos 1

cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω132

2)(ωω

++a s t e at

ωsin −aT

aT aT e T ze z T

ze 22cos 2sin −−−+−ωω142

2)(ω+++a s a s t

e

at

ωcos −aT

aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15

a

T s ln )/1(1

−T

t a /a

z z −

421

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=−−−−⋯⋯（m n >）

式中系数n n a a a a ,,...,,110−，m m b b b b ,,,110−⋯都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。①

0)(=s A 无重根

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=−=−++−++−+−=n

i i

i

n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)(⋯⋯（F-1）

式中，n s s s ,,,21⋯是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：

)

()(lim s F s s c i s s i i

−=→（F-2）

或

i

s

s i s A s B c =′=

)()

(（F-3）

式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

[]⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡−==∑=−−n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝t s n i i i

e c −=∑1

(F-4)

2

0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r s s s s s s s B s F −−−=

+⋯=

n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −+

+−++−+−++−+−++−−⋯⋯⋯11

111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…,n s 为F(s)的n-r 个单根；