Laplace拉氏变换公式表

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附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1拉氏变换的基本性质1
线性定理
齐次性)
()]([s aF t af L =叠加性
)
()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式
=
−=][ ′− −=−=−−−−=−∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ⋮）（初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n =3
积分定理
一般形式
��∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共⋯⋯⋮初始条件为0时
�
n
n n s
s F dt t f L )
(]))(([=∫∫个
共⋯4延迟定理（或称t 域平移定理）)
()](1)([s F e T t T t f L Ts −=−−5衰减定理（或称s 域平移定理）)
(])([a s F e t f L at +=−6终值定理)
(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=7初值定理)
(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=8
卷积定理
)
()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =−=−∫∫τττττ
420
2．表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
Z 变换E(z)
11
δ(t)12Ts
e −−11∑∞
=−=0)
()(n T nT t t δδ1−z z 3s
1)(1t 1
−z z 42
1s t
2
)1(−z Tz 53
1s 2
2t 3
2)1(2)1(−+z z z T 61
1
+n s !n t n )(!)1(lim 0aT
n n n a e z z a n −→−∂∂−7a
s +1at e −aT
e z z
−−82)(1a s +at
te
−2
)(aT aT e z Tze −−−9)(a s s a +at
e
−−1)
)(1()1(aT aT e z z z e −−−−−10)
)((b s a s a b ++−bt at e e −−−bT aT e z z
e z z −−−−
−112
2ωω+s t ωsin 1
cos 2sin 2+−T z z T
z ωω122
2ω+s s t
ωcos 1
cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω132
2)(ωω
++a s t e at
ωsin −aT
aT aT e T ze z T
ze 22cos 2sin −−−+−ωω142
2)(ω+++a s a s t
e
at
ωcos −aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15
a
T s ln )/1(1
−T
t a /a
z z −
421
3．用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式
1110
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=
=−−−−⋯⋯（m n >）
式中系数n n a a a a ,,...,,110−，m m b b b b ,,,110−⋯都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

①
0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=−=−++−++−+−=n
i i
i
n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)(⋯⋯（F-1）
式中，n s s s ,,,21⋯是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)
()(lim s F s s c i s s i i
−=→（F-2）
或
i
s
s i s A s B c =′=
)()
(（F-3）
式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡−==∑=−−n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t s n i i i
e c −=∑1
(F-4)
2
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r s s s s s s s B s F −−−=
+⋯=
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −+
+−++−+−++−+−++−−⋯⋯⋯11
111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…,n s 为F(s)的n-r 个单根；
422
其中，1+r c ，…,n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1−r c ，…,1c 则按下式计算：
)
()(lim 11
s F s s c r s s r −=→)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r −=→−⋮
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r −=→−(F-5)
⋮
)
()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s −−=−−→原函数)(t f 为
[]
)()(1s F L t f −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−++−+−++−+−=++−−−n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ⋯⋯⋯11111
1
111)()()(t
s n
r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=−−−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++−+−=112211
1
)!2()!1(⋯（F-6
）。