拉普拉斯变换基本应用
2第二章拉普拉斯变换及其应用
斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
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2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
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2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等 于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分 重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
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2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。 它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
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2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原
拉普拉斯变换微分方程
拉普拉斯变换微分方程拉普拉斯变换是数学中广泛使用的一种算法，用于研究各类微分方程，特别是线性时不变系统的稳定性和动态行为。
在本文中，我们将了解到拉普拉斯变换微分方程的基本原理和应用。
一、拉普拉斯变换的定义和性质拉普拉斯变换是一种复杂的算法，可以将给定的函数f(t)转换为一个复函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫_0^∞ e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，e^(-st)是指数函数，t是实变量。
f(t)是一个连续函数，可以是实函数或复函数。
拉普拉斯变换有一些基本性质，如下所示：1. 线性性：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + bG(s)，其中，a和b是任意常数，f(t)和g(t)是任意函数。
2. 位移性：L{f(t-a)} = e^(-as) F(s)，其中，a是任意常数。
3. 拉普拉斯变换与导数的关系：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)，其中，f'(t)表示f(t)的导数，f(0)表示f(t)在t=0时的值。
二、拉普拉斯变换微分方程的基本原理拉普拉斯变换可用于求解线性常系数微分方程，例如：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y =f(t)其中，a_n、a_(n-1)、...、a_0是常数，f(t)是给定的函数，y表示未知函数。
将上式两边同时取拉普拉斯变换，得到：L{a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y} = L{f(t)}根据拉普拉斯变换和导数的关系，上式等价于：a_n s^n Y(s) - a_(n-1) s^(n-1) y(0) - ... - a_0 y(0) = F(s)其中，Y(s)表示y(t)的拉普拉斯变换。
将y(0)、y'(0)、...、y^(n-1)(0)带入上式，可得到Y(s)的表达式，从而求解y(t)。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。
拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。
1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。
在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。
2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。
这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。
3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。
这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。
4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。
拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。
5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。
它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。
Chapter4-拉普拉斯变换及其应用
– 调制：L
对照：F
f t ea t F s a
f t e j0t F 0 1 例子： L u t ，由频移性质，则：L u t cos 0t s 1 1 1 s 1 j0t j0t L u t e e 2 s j s j s 2 2 2 0 0 0
s
4） t 在零点有冲激 f f t k t f1 t F s k F1 s f 0 f1 0 lim sF1 s
s
15
– 终值定理：求系统稳态点
L
f t F s ，L f t 存在，sF s 在除原点
3
s
L t
2
2
s
3
3
3!
7
• 积分下限的选取： – f (t) 在 t = 0 处是第一类间断点，下限取 0 均可
F s L
f t
0
f e st dt
此时，f t |t 0 ~ t ，f t |t 0 ~ t , – f (t) 在 t = 0 处是 (t)或其高阶导数，下限取 0
0 sin 0t u t 2 ，不满足终值定理条件！ 2 s 0
αt
1 e u t ， 0，不满足终值定理条件！ s 初值：取决于高频成分；终值：取决于低频成分。
17
§4.3 拉普拉斯逆变换
已知F s ，求 f t
N s • 极点、零点： F s L f t D s
0 ( j ) t
dt
第23讲拉普拉斯反变换的方法
第23讲拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换是将一个函数从复平面映射到时域的一种变换方法。
它在许多工程和科学领域中有着广泛的应用，例如控制系统理论、信号处理、电路分析等。
本文将介绍拉普拉斯反变换的基本原理和常用方法，以及一些应用实例。
1.拉普拉斯变换的基本原理拉普拉斯变换是将一个函数从时域映射到复频域的一种线性变换方法。
它可以将时域函数的微分、积分等运算转化为复频域的代数运算，从而方便地解决了许多复杂的问题。
拉普拉斯变换的表达式如下所示：\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \]其中，\(F(s)\)是拉普拉斯变换后的函数，\(f(t)\)是时域函数，\(s\)是复频域中的一个变量。
2.拉普拉斯反变换的基本原理拉普拉斯反变换是将一个函数从复频域映射回时域的一种方法。
它可以将复平面上的函数进行反变换，得到原函数的表达式。
拉普拉斯反变换的表达式如下所示：\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{\sigma-jT}^{\sigma+jT}e^{st}F(s)ds \]其中，\(f(t)\)是拉普拉斯反变换后的函数，\(F(s)\)是复频域内的函数，\(j\)是虚数单位。
3.拉普拉斯反变换的常用方法拉普拉斯反变换的计算方法有很多种，主要包括部分分式法、换元法、卷积法等。
-部分分式法：将拉普拉斯变换后的函数拆解成若干个简单的分式，然后利用拉普拉斯表进行反变换。
这种方法适用于函数含有多个不同的极点的情况。
-换元法：通过选择合适的变量变换，将复频域上的函数转化为一个已知的拉普拉斯变换表达式，然后利用表格进行反变换。
这种方法适用于函数存在一些特殊的形式的情况。
-卷积法：利用拉普拉斯变换的卷积定理，将原函数的拉普拉斯变换与已知函数的变换进行卷积运算，然后进行反变换。
第2章拉普拉斯变换及其应用
(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有： （式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程 求待定系数 系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一 个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：
0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )
拉普拉斯变换基本应用
拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。
(2)希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。
三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤：（一）、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
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.拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用在工程学上应用拉普拉拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，使问题得以解决。
可以将微分方程化为代数方程，斯变换解常变量齐次微分方程，转换为复频拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，在工程学上，域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图域（s上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。
(2)希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、 ..模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。
三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤：（一）、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
保存检测后图像进行分。
（二）、用Matlab软件编辑代码编写拉普拉斯算子对图片进行处理的程序。
（三）、用拉普拉斯算子得到的图像处理后的一系列结果。
四·用MATLAB实现步骤(1)打开计算机，安装和启动MATLAB程序。
(2)窗口左边的current folder下的就是读取图片的默认路径，图片放置于程序所保存的文件夹内。
(3)调用MATLAB工具箱中的拉普拉斯算子编写函数程序。
(4)调入、显示获得的图像，图像存储格式应为“.jpg”。
(5)对该程序进行编译，检在错误并纠正。
(6)运行，并显示结果，比较差异。
五·利用MATLAB语言编写的数字图像处理的源代码i=imread('img.jpg'); % 读入图片i1=rgb2gray(i); % 把rgb图像转换成灰度图像bw1=edge(i1,'log',0.005); % 做阈值为0.001的高斯—拉普拉斯（Log）算法figure(1),imshow(i); % 显示原图title('原图像');figure(2),imshow(i1); % 显示灰度图像..title('灰度图像');figure(3),imshow(bw1); % 显示高斯—拉普拉斯（Log）边缘检测后的图title('边缘检测后图像');i=imread('img.jpg');figure(4),subplot(1,3,1);imshow(i);title('原始图像'); % 显示原始图像J=double(i); % 将图像转化为归一化的double类图像K=[0 -1 0 % 拉普拉斯运算模板-1 4.5 -10 -1 0] ;L=imfilter(J,K,'replicate'); % 图像进行滤波subplot(1,3,2);imshow(L,[]);title('拉普拉斯算子增强图像');H = fspecial('unsharp');sharpened = imfilter(i,H,'replicate'); % 对图像进行拉普拉斯锐化subplot(1,3,3);imshow(sharpened);title('锐化处理后图像');k=[1 1 1;1 -8 1;1 1 1]; % 对角线的中心为8的拉普拉斯运算模板L1=J-imfilter(J,k,'replicate'); % 用原图减去此滤波结果（以还原失去的灰度色调）figure(5);subplot(1,2,1);imshow(L1,[]); % 显示图像title('中心为8的拉普拉斯算子');k=[1 1 1;1 -6 1;1 1 1]; % 对角线的中心为8的拉普拉斯运算模板L2=J-imfilter(J,k,'replicate'); % 用原图减去此滤波结果（以还原失去的灰度色调）subplot(1,2,2);imshow(L2,[]);title('中心为6的拉普拉斯算子');I_origin = imread('girl.jpg'); % 读入图片[size_x, size_y, size_z] = size(I_origin); % 读取图像的大小if size_x > 1080 % 对图像进行适当的压缩..I_origin2 = imresize(I_origin, 1080 / double(size_x));elseI_origin2 = I_origin;end% ---- 方法一% 先将彩色图像转化为灰度图像然后进行边缘检测I_gray = rgb2gray(I_origin2); % 将图像转化为灰度图figure('Name', '对灰度图的边缘检测');subplot(1, 2, 1), imshow(I_origin2), title('原图');subplot(1, 2, 2), imshow(I_gray), title('灰度图');Edge_gray = edge(I_gray, 'log'); % 对灰度图像进行边缘检测% ---- 方法二%将彩色图分解为RGB分量再进行边缘检测、、、% ---------------提取RGB分量并显示Instance_R = I_origin2(:, :, 1);Instance_G = I_origin2(:, :, 2);Instance_B = I_origin2(:, :, 3);figure('Name', '原图的RGB分量');subplot(2, 2, 1), imshow(I_origin2), title('Origin');subplot(2, 2, 2), imshow(Instance_R), title('Vector R');subplot(2, 2, 3), imshow(Instance_G), title('Vector G');subplot(2, 2, 4), imshow(Instance_B), title('Vector B');% ---------------对RGB分量进行边缘检测并合并Edge_R = edge(Instance_R, 'log');Edge_G = edge(Instance_G, 'log');Edge_B = edge(Instance_B, 'log');rgb = im2uint8(cat(3, Edge_R, Edge_G, Edge_B));figure('Name', 'RGB分量的边缘检测');subplot(2, 2, 1), imshow(I_origin2), title('Origin');subplot(2, 2, 2), imshow(Edge_R), title('Laplace Vector R');subplot(2, 2, 3), imshow(Edge_G), title('Laplace Vector G');subplot(2, 2, 4), imshow(Edge_B), title('Laplace Vector B');figure('Name', '两种检测方法的对比');subplot(1, 2, 1), imshow(Edge_gray), title('方法一');subplot(1, 2, 2), imshow(rgb), title('方法二');% 灰度图的边缘检测与彩色图分别除去RGB分量的边缘检测对比..figure('Name', 'image_sub1');subplot(2, 2, 1), imshow(Edge_gray), title('Gray');subplot(2, 2, 2), imshow(cat(3, zeros(size(Edge_R)), Edge_G, Edge_B)), title('Without R');subplot(2, 2, 3), imshow(cat(3, Edge_R, zeros(size(Edge_G)), Edge_B)), title('Without G');subplot(2 ,2, 4), imshow(cat(3, Edge_R, Edge_G, zeros(size(Edge_B)))), title('Without B');% 对彩色图执行RGB边缘检测后取灰度化与灰度化边缘检测对比figure('Name', 'image_sub2');subplot(1, 2, 1), imshow(Edge_gray), title('Gray');subplot(1, 2, 2), imshow(rgb2gray(rgb)), title('RGB to Gray');六·MATLAB程序文件夹内容七·实验结果..（一）对原图先转为灰度图像然后用拉普拉斯算子进行边缘检测。