拉普拉斯变换的应用及综合举例(D)
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常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用
estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt
9.3拉普拉斯逆变换
步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
微分方程(组)
Laplace
得到象函数 求 解
Laplace
正变换
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解
P218 例9.6
解 (1) 令 Y ( s )
由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法
很容易得到象原函数。
(真分式的部分分式分解)
此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换
P227 ( 9.16 )式
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 Re s ,
c
j
该直线处于 F ( s ) 的存在域中。
j
二、求 Laplace 逆变换的方法
1. 留数法 利用留数计算反演积分。 定理 设函数 F ( s ) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点
P227 定理 9.2
s1 , s2 , sn 外是解析的，且当 s 时，F ( s ) 0 , 则
1 f (t ) 2π j
n
j
j
F ( s ) e st d s
Res [ F ( s ) e s t , sk ] , (t 0) .
k 1
证明 (略)
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质与公式
常数的拉普拉斯变换
A L[A]= S
常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[Af (t )]=AL[f (t )] = AF ( s)
函数和的拉普拉斯变换
L[f1 (t ) + f 2 (t )]=L[f1 (t )] + L[f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
函数f(t)的拉氏变换即是将该函数乘以 -st 的拉氏变换即是将该函数乘以e 函数 的拉氏变换即是将该函数乘以 然后从0→ 内定积分 内定积分。 称为拉氏变换的核， 然后从 →∞内定积分。 e-st称为拉氏变换的核， 其结果得出仅含有s参数的另一个函数 其结果得出仅含有 参数的另一个函数F(s) ， 参数的另一个函数 它建立在s变量域。 它建立在 变量域。拉氏变换的实质是将时间函 变量域 数表达式转换为拉氏运算子s的函数表达式。 数表达式转换为拉氏运算子 的函数表达式。 的函数表达式
指数函数的拉普拉斯变换
1 L[e ]= s +α
-α t
原函数导数的拉普拉斯变换
df (t ) L[ ]=SL[ f (t )] f (0) dt
更多变换参见P409“常用拉普拉斯变换表” 常用拉普拉斯变换表” 更多变换参见 常用拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换应用实例
单隔室静注给药
dX =kX dt
X
=
k0 S (S + k )
查拉氏变换表，找到“ 查拉氏变换表，找到“A/S(S+a)”，对应原函数 ， 其中A＝ “A (1 e αt ) ”其中 ＝k0，a = k
α
k X = 0 ( ekt ) 1 k
单隔室非血管给药 两边取拉氏变换： 两边取拉氏变换：
x(-t+3)的拉普拉斯变换
一、介绍拉普拉斯变换是一种用来分析和处理连续时间信号的数学工具。
它在控制理论、信号处理和电路分析等领域有着广泛的应用。
本文将围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，探讨其在实际问题中的应用。
二、x(-t+3)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种用于将连续时间信号转换为复频域的数学工具。
对于表达式x(-t+3)，它的拉普拉斯变换可以通过以下步骤来求解。
1. 根据拉普拉斯变换的定义，我们需要将表达式x(-t+3)乘以e^(-st)，其中s为复变量。
这样得到的新表达式为x(t)e^(-3s)e^(-st)。
2. 我们需要对新表达式进行积分运算。
将x(t)e^(-3s)e^(-st)关于t进行积分，得到积分表达式∫x(t)e^(-3s)e^(-st)dt。
3. 对积分表达式进行求解，得到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
三、应用举例x(-t+3)的拉普拉斯变换在实际问题中有着重要的应用。
以下举例说明其在控制理论和信号处理中的应用。
1. 控制理论在控制系统中，经常需要对输入信号进行变换和处理。
对于一个以时间t为自变量的输入信号x(t)，我们希望将其延迟3个时间单位后输入系统中。
这时就需要用到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
通过对输入信号进行拉普拉斯变换，可以方便地对系统的动态特性进行分析和控制。
2. 信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行时移和频率变换。
对于表达式x(-t+3)，其拉普拉斯变换可以帮助我们分析信号在频域中的特性。
可以通过变换后的频域表达式来设计滤波器、降噪和提取信号特征等。
四、结论本文围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，介绍了其求解步骤和在控制理论和信号处理中的应用。
拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，对于分析和处理连续时间信号有着重要的意义，希望本文的内容对读者有所启发和帮助。
一、引言拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域中被广泛应用的数学工具，它能够将时域中的函数变换到复频域中，为我们探索和分析系统的动态特性提供了有力的工具。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
第十五章 拉普拉斯变换
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[eat ] 1 , ( p a) pa
解 £[sin t] sin te ptdt.] 0 用分部积分法可得sin te pt的一个原函数为 1 e pt ( p sin t p2 2
cost),因此有
£[sin t]
p2
1
2
e
pt
(
p
sin
t
cos
t
)
0
p2 2
,(p
0)
用同样方法可求得 £[cost] p , ( p 0) p2 2
显然,对任何 0,有
(t)dt
0
(t)dt
(t)dt (t)dt
0
1 dt 1
0
于是, 按 (t)函数的定义以及广泛意义积分运算与求极限运算
的可交换次序性,得
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt 1
此积分的物理意义为:在t 0时刻出现宽度无限小,幅度无限
pa
pa
故£[shat] a , ( p | a |);类似的有, £[chat] p , ( p | a |)
p2 a2
p2 a2
性质2(位移性质) 设£[ f (t)] F( p),则有 £[eat f (t)] F( p a)
证明 由式(27-1)知
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第七章拉普拉斯变换
2
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
拉普拉斯变换及其应用
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
① A(s)=0无重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4
拉氏变换应用举例
例：求典型一阶系统的单位阶跃响应
第二章 拉普拉斯变换及其应用
4 积分定理
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函 数除以 。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
5 位移定理
上式表明， 即可，
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
7 相似定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
具体实例如下：
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
例：求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。
第2章拉普拉斯变换及其应用
(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有： （式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程 求待定系数 系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一 个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：
0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )
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(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t ) 3 2
e 2t ,
t
y(t )
1 2
e
t
1 2
t
2
3 2
.
14
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
P232 例9.24
(跳过?)
拉 解 (1) 由于 f ( t ) sin t t f ( x ) sin( t x ) d x , 0 普 拉 因此原方程为 f ( t ) a t f ( t ) sin t . 斯 变 (2) 令 F ( s ) [ f ( t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得 换
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
一、求解常微分方程(组) 二、综合举例 *三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
1
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 一、求解常微分方程(组) 九 (n) n n1 n2 (n1) [ f (t ) ] s F ( s) s f (0) s f ( 0 ) f (0) . 章 工具 拉 步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； 普 (2) 求解代数方程得到象函数； 拉 斯 (3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。 变 换 得到象函数 微分方程(组) 解 Laplace Laplace 求
求解得 X ( s )
,
Y ( s)
1 s( s 1)
2
.
8
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 2s 1 , , 2 求解得 X ( s ) 2 变 2 2 s ( s 1) s ( s 1) 换
s1 2 3 X ((ss)) 1 2 )Ys()s 2Y ( s ) . (s 3 X ( ) sY . s1 s1
1 s1 , Y (s)
1 s1 .
求解得 X ( s )
6
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 X (s) , Y (s) . 求解得 变 s1 s1 换
m s X ( s) k X ( s) F ( s) ,
2
记
2 0
k m
,
有 X ( s)
s1 s s( s 1) 2 2 sY ( ( s ) ( s 2 X ( s ) ( s2 sY s ) 1 ( s ) 1 . s Y s ) 1) X ) ( 2 X . 2 s ( s 1) s
2s 1 s ( s 1)
2 2
拉 解 设物体的运动方程为 x x ( t ) , 根据 Newton 定律有 普 m x ( t ) F 0 ( t ) , x ( 0 ) x ( 0 ) 0 . 拉 斯 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得 变 换
Y ( s) 1 s( s 1)
2
.
1 s
1 s 1
1 ( s 1)
2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t ) t t e ,
t
y( t ) 1 e t e .
t
t
9
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 斯 变 2 s sX ( s ) s Y ( s ) e , 换
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x ( t ) f ( t ) , x ( 0 ) x ( 0 ) 0 .
18
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 . 九 (2) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , F ( s ) [ f ( t ) ] , 章 拉 普 拉 斯 变 换 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
2 2
代入初值即得 s 2Y ( s ) 2Y ( s ) 0 ,
Y (s)
s
2 2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
y(t )
1
[ Y ( s ) ] sin t .
3
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
解 (1) 令 X ( s )
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得
s X ( s ) 3 s X ( s ) 3 sX ( s ) X ( s )
3 2
6 s1
,
求解此方程得 X ( s )
3! ( s 1)
4
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
休息一下 ……
11
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
解 (1) 令 X ( s )
2
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换有
2( s 1) ( s 1) 1
2
s X ( s ) 2 sX ( s ) 2 X s
ms
2Байду номын сангаас
X ( s ) F0 ,
X (s)
F0 m
1 s
2
.
求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为 x ( t )
F0 m
t.
16
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 例 设有如图所示的 R 和 L 串联电路，在 t 0 时刻接到直流 九 电势 E 上，求电流 i ( t ) . P233 例9.25 章 K 拉 普 拉 斯 变 换 解 由 Kirchhoff 定律知，i ( t ) 满足方程
P229 例9.19
拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 1 换 s sX s ) 1 s ) Y s()s Y ( s ) , ( 1) X ( X ( ) , (s s1 s1 整理得
x(t )
1
[ X (s) ] t e
3
t
.
4
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 解 (1) 令 X ( s )
[ x(t ) ],
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有
s X ( s ) s 1 4 [ sX ( s ) 1 ] 3 X ( s )
F (s) a [ t ] F (s) [ sin t ]
a s
2
F (s)
1 s 1
2
,
F (s)
a s
2
a s
4
.
(3) 求 Laplace 逆变换，得 f ( t ) a t
at 6
3
.
15
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
P230 例 9.20
R i ( t ) L i ( t ) E ,
i(0) 0 .
E L
R
令
I (s)
[ i(t ) ],
在方程两边取 Laplace 变换得
E s ,
R I ( s ) L sI ( s )
求解此方程得
E 1 1 I (s) s R s ( R sL ) s
2
1 s1
,
3 4( s 3 )
X (s)
s 6s 6 ( s 1) ( s 3 )
2
2
7 4( s 1)
1 2( s 1)
2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x ( t )
7 4
e
t
1 2
te
t
3 4
e 3t.
5
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
[
12
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 3 1 1 2 换 s X ( s ) 2 sY ( s ) 2 s X (s)
t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x ( t ) y ( t ) e .
7
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 变 1 2 s2 2 2 换 s sY X ( s s sX , ( sY (1)) ( s ) sX)( ) ( s ) Y ( s ) , 2 整理得